九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）-重难点专项突破09相似三角形中的“手拉手”旋转模型（原卷版）

重难点专项突破09相似三角形中的“手拉手”旋转模型【知识梳理】“手拉手”旋转型模型展示：如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com]【考点剖析】例1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.例2.把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB 相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证∽，则 此时______；（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为．其 中，问的值是否改变？请说明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF图1图2图3例3.如图，已知和是两个全等的等腰直角三角形，且 ，的顶点E与的斜边BC的中点重合．将绕 点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于 点Q．（1）如图1，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：≌；（2）如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：∽；并求当BP=a， 时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．AABCDEFABCDEFPPQ图1图2Q例4.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2020秋•霍邱县期末）如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE，其中一定成立的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023•合肥一模）已知：△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE＝CD，∠BAD＝∠ACE．则的值为（）A． B． C． D．3．（2022•瑶海区三模）如图，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC′沿C′B′方向平移至EB'，连接BE，若CC'＝，则BE的长为（）A．1 B． C． D．24．（2021秋•凤阳县期末）如图，点P在△ABC的边AC上，若要判定△ABP∽△ACB，则下列添加的条件不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝二．填空题（共2小题）5．（2020秋•蚌埠月考）如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论①BC＝DE；②∠ABC＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有．6．（2022•安徽模拟）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC和CDE如图放置（其中∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC，CE＝DE）．CD、CE分别与AB边相交于M、N两点．请完成下列探究：（1）若AC＝2，则AN•BM的值为；（2）过M作MF⊥AC于F，若＝，则的值为．三．解答题（共6小题）7．（2021•瑶海区校级开学）已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：△DAE∽△BAC．8．如图，已知：，求证：AB•CE＝AC•BD．9．（2017秋•禹会区校级期中）如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE．10．（2023•亳州二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求证：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由；（2）如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求证：CE⊥BC．11．（2021秋•当涂县校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：AC＝PC．12．（2020•芜湖三模）（1）（问题发现）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为；②∠BEC＝°．（2）（类比探究）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一条直线上，请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC