第26章 解直角三角形 单元检测试卷教师用

冀教版九年级数学上册第26章解直角三角形单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=4，则cosB的值是（

）

A.

73

B.

74

C.

34

D.

4【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：cosB=BCAB=34，

故C符合题意.

故答案为：C．

【分析】直接根基cosB=BCAB代入计算2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A.

35

B.

45

C.

3【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义得出，sin∠B=ACAB，代入即可得出答案．

【解答】∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，

∴sin∠B=3.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（

）

A.

100sin35°米

B.

100sin55°米

C.

100tan35°米

D.

100tan55°米【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，

∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．

故答案为：C．

【分析】根据正切函数的定义，由PA=PCtan∠PCA即可算出答案。4.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=a，∠ACB=θ，那么下面各式正确的是（

）A.

AB=a·sinθ；

B.

AB=a·cosθ；

C.

AB=a·tan【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．

因为：tanθ=ABAC=ABa,5.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=5，BC=13，那么tanB的值是（）A.

512

B.

125

C.

1213

D.

5【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=5，BC=13，

∴AB=BC2-AC2=12，

∴tanB=ACAB=512．6.已知∠B是△ABC中最小的内角，则sinB的取值范围是（）A.

0＜sinB＜22​

B.

0＜sinB＜33​

C.

0＜sinB＜32​

D.

0＜sinB≤32【答案】D【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°．

根据题意，知：

0°＜∠B≤60°．

又sin60°=32，

∴0＜n≤32．

故选D．

【分析】在三角形中，最小的内角应不大于60度，找到相应的正弦值即可，再根据sin60°=37.某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=（）

A.

7海里

B.

14海里

C.

3.5海里

D.

4海里【答案】A【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：过P作PD⊥AB于点D，

∵∠PBD=90°﹣60°=30°

且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°

∴∠PAB=∠APB，

∴BP=AB=7（海里）．

故选A．

【分析】先过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求得∠PAD的度数是30°，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．8.如图,从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100m,点A，D，B在同一直线上,CD⊥AB,则A、B两点的距离是(

）

A.

200m

B.

2003m

C.

200(3+1)m

D.

100(3【答案】D【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，

∴∠BCD=90°﹣45°=45°，∠ACD=90°﹣30°=60°．

∵CD⊥AB，CD=100m，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BD=CD=100m．

在Rt△ACD中，∵CD=100m，∠ACD=60°，

∴AD=CD•tan60°=100×3=1003m，

∴AB=AD+BD=1003+100=100（3+1）m．

故答案为：D．

【分析】将实际问题转化为数学问题，可证得△BCD是等腰直角三角形，可求出BD的长，再在Rt△ACD中，利用解直角三角形求出AD的长，然后根据AB=AD+BD，即可求解。9.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，则tan∠CAD的值（

）A.

33

B.

35

C.

13

D.

1【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=53，即ADAB=53，

∴设AD=5x，则AB=3x，

∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，

∴△CDE∽△BDA，

∴CEAB=DEAD=CDBD=12，

∴CE=32x，DE=52x，

∴AE=152x，

∴tan∠CAD=ECAE=15．

故选D．

【分析】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=53，即ADAB=53，设AD=5x，则10.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：3，则AB的长为（

）

A.

12米

B.

43米

C.

53米

D.

63米【答案】A【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题【解析】【解答】解：Rt△ABC中，BC=6米，BCAC=1：3，

∴AC=BC×3=63，

∴AB=AC2+BC2=62+(63)2=12．

故选A．

【分析】根据迎水坡AB的坡比为1：3，可得二、填空题（共10题；共30分）11.比较大小：cos35°________

sin65°【答案】＜【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：cos35°=sin（90﹣35）°=sin55°，

由正弦函数随锐角的增大而增大，得

sin55°＜sin65°，

即cos35°＜sin65°．

故答案为：＜．

【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得正弦函数，根据正弦函数随锐角的增大而增大，可得答案．12.如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则tan∠OCA=________．

【答案】2【考点】余角、补角及其性质，锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，

∴∠BAO=∠ACO，

∵A（2，0），B（0，4），

∴tan∠OCA=tan∠BAO=42=2．

故答案为：2．

【分析】根据等角的余角相等可得∠BAO=∠ACO，根据锐角三角函数的定义求出∠BAO的正切，则tan∠OCA13.如图，一个小球由地面沿着坡比i=1：3的坡面向上前进了10m，此时小球在水平方向上移动的距离为________．【答案】310m【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题【解析】【解答】解：如图，小球沿着坡面向上前进了10m假设到C处，过C作CB⊥AB于B，∵i=1：3，

∴tanA=BCAB=13，

设BC=xm，AB=3xm，

x2+（3x）2=102，

解得：x=10或x=﹣10（不合题意，舍去），

∴AB=310m．

故答案为310m．

【分析】根据i可以求得AB、BC的长度的比值，设BC=xm，则AB=3xm，已知AC=10米，根据勾股定理求出x14.如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）________

tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）

【答案】＞【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：由正方形网格图可知，tanα=13，tanβ=12，

则tanα+tanβ=12+13=56，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴α+β=45°，

∴tan（α+β）=1，

∴tan（α+β）＞tanα+tanβ，

故答案为：＞．

【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan15.如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡的坡度为________．

【答案】1：2.4【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题【解析】【解答】如图，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m，

∴AC=AB2-BC2=1302-502=120m，16.如图，已知点A是第一象限内横坐标为3的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．

【答案】2【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【解答】由题意可知，OM=3

，点N在直线y=﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=2OM=2×3=6

．

如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（起点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．

∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，

∴∠OAC=∠B0ABn，

又∵AB0=AO•tan30°，ABn=AN•tan30°，∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°，

∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，

∴B0Bn=ON•tan30°=6×33=2

．

现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．

如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi．

∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP=∠B0ABi，

又∵AB0=AO•tan30°，ABi=AP•tan30°，∴AB0：AO=ABi：AP，

∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi=∠AOP．

又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP，

∴∠AB0Bi=∠AB0Bn，

∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．

综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为2．

故答案为：2．

【分析】首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B17.在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（12﹣cosB）2=0，则∠C=________°．

【答案】75【考点】特殊角的三角函数值，二元一次方程组的应用-非负数之和为0【解析】【解答】根据非负数的性质求出tanA和cosB的值，然后求出∠A、∠B的度数，最后求出∠C．解：由题意得，tanA=1，cosB=12则∠A=45°，∠B=60°，则∠C=180°﹣45°﹣60°=75°．故答案为：75．【分析】几个非负数之和为0，则每一个数都为0，建立方程组，分别求出∠A，∠B的度数，即可求出∠C的度数。18.等腰△ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边BC与邻边（腰AB或AC）的比值确定，记为f（A），易得f（60°）=1．若α是等腰三角形的顶角，则f（α）的取值范围是________．【答案】0＜f（α）＜2【考点】等腰三角形的性质，解直角三角形【解析】【解答】解：∵BC＞AB﹣AC，BC＜AC+AB，∴BC＞0，BC＜2AB，

∴0＜BCAB＜2，

∴0＜f（α）＜2，

故答案为：0＜f（α）＜2．

【分析】根据三角形三边关系得到BC＞0，BC＜2AB19.如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=23，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为________．

【答案】3-【考点】翻折变换（折叠问题），解直角三角形【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，

∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=23，

∴AC=BC，

∴AF=12AB=3，

∴AC=AFcos∠CAB=332=2，

由折叠的性质得：AB′=AB=23，∠B′=∠B=30°，

∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，

∴∠CDB′=90°，

∵B′C=AB′﹣AC=23﹣2，

∴CD=12B′C=3﹣1，B′D=B′C•cos∠B′=（23﹣2）×32=3﹣3，

∴DE=CD⋅B'DB'C=(3-1)(3-3)23-2=3-32，

∴S阴影=12AC•DE=12×2×3-32=3-32．

故答案为：3-3220.小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A处测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°（如图所示），量得两幢楼之间的水平距离BC为30米，则图书大厦CD的高度为________米．

【答案】203【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】解：作DH⊥AB于H，

则DH=BC=30，

在Rt△ADH中，AH=DH×tanα=103，

在Rt△ABC中，AB=BCtan30°=303，

则CD=AB﹣AH=203（米），

故答案为：203．

【分析】作DH⊥AB于H，根据正切的概念分别求出AB、AH三、解答题（共8题；共60分）21.计算：（π-5）0+38﹣（﹣1）2015﹣3【答案】解：（π-5）0+38﹣（﹣1）2015﹣3tan30°

=1+2﹣（﹣1）﹣3×33

=3+1﹣1【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质【解析】【分析】首先求出（π-5）0、38、（﹣1）2015、22.如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和30°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度．（结果保留根号）

【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

根据题意可得，∠DAB=∠BAC=∠C=30°，BC=100m，

∴AB=BC=100m，

在Rt△ADB中，AB=100m，∠DAB=30°，

∴AD=cos30°·AB=32×100=503m.

答：热气球离地面的高度为50【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得，∠DAB=∠BAC=∠C=30°，BC=100m，根据等边对等角得出AB=BC=100m，在Rt△ADB中，利用余弦函数的定义，由AD=cos30°·AB即可得出答案。23.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）.参考数据：tan48°≈1.11，【答案】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E.

则∠AED=∠BED=90°.

由题意可知，BC=78，∠ADE=48°，∠ACB=58°，∠ABC=90°，∠DCB=90°.

可得四边形BCDE为矩形.

∴ED=BC=78，DC=EB.

在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC，

∴AB=BC⋅tan58°≈78×1.60≈125.

在Rt△AED中，tan∠ADE=AE【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E,则∠AED=∠BED=90°,由题意可知，BC=78，∠ADE=48°，∠ACB=58°，∠ABC=90°，∠DCB=90°.可得四边形BCDE为矩形.根据矩形的性质得出ED=BC=78，DC=EB.在Rt△ABC中，根据正切函数的定义由AB=BC⋅tan58°得出AB的长；在Rt△AED中，根据正切函数的定义由AE=ED⋅tan48°.EB=AB−AE=BC⋅tan58°,得出EB的长，从而得出答案。24.如图，斜坡AB的坡度是i=1：2，坡角B处有一棵树BC，某一时刻测得树BC在斜坡AB上的影子BD的长度是10米，这时测得太阳光线与水平线的夹角为60°，则树BC的高度为多少米？（结果保留根号）．

【答案】解：过点D作DF⊥BG，垂足为F，

∵斜坡AB的坡度i=1：2，

∴设DF=x，BF=2x，则DB=10m，

∴x2+（2x）2=102，

解得：x=25，

故DE=45，BE=DF=25，

∵测得太阳光线与水平线的夹角为60°，

∴tan60°=ECDE=EC45=3，

解得：EC=415，

故BC=EC+BE=（25+415）（m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】根据题意首先利用勾股定理得出DF，DE的长，再利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出答案．25.如图所示，某教学活动小组选定测量小山上方某信号塔PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角为45°，信号塔低端Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到处，测得信号塔顶端P的仰角为68°．求信号塔PQ的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【答案】解：延长PQ交直线AB于点M，则∠PMA＝90°，设PM的长为x米，根据题意，得∠PAM＝45°，∠PBM＝68°，∠QAM＝31°，AB＝100，∴在Rt△PAM中，AM＝PM＝x．BM＝AM－AB＝x－100，

在Rt△PBM中，∵tan∠PBM＝PMBM即tan68°＝xx-解得x≈167.57．∴AM＝PM≈167.57．在Rt△QAM中，∵tan∠QAM＝QMAM∴QM＝AM·tan∠QAM＝167.57×tan31°≈100.54．

∴PQ＝PM－QM＝167.57－100.54≈67.0（米）．因此，信号塔PQ的高度约为67.0米【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点M，则∠PMA＝90°，设PM的长为x米，根据题意，得∠PAM＝45°，∠PBM＝68°，∠QAM＝31°，AB＝100，根据等腰直角三角形的性质得出AM＝PM＝x，BM＝AM－AB＝x－100，

根据正切函数的定义，由tan∠PBM＝PMBM，即可建立方程，从而算出AM＝PM≈167.57,

根据正切函数的定义，由QM＝AM·tan∠QAM算出QM的长，根据线段的和差，由PQ＝PM－QM26.如图，取一根9.5m长的标杆AB，在其上系一活动旗帜C，使标杆的影子落在平地和一堤坝的左斜坡上，拉动旗帜使其影子正好落在斜坡底角顶点D处．若测得旗高BC＝4.5m，影长BD＝9m，影长DE＝5m，请计算左斜坡的坡比(假设标杆的影子BD，DE均与坝底线DM垂直)．【答案】解:延长AE交BD的延长线于点F，作EG⊥DF，垂足为G，∵DC∥AF，∴△BCD∽△BAF．∴BCBA=即4.59.5=解得BF=19（m）．∵EG∥AB，∴△FEG∽△DCB．∴EGCE=即EG4.5=解得FG=2EG．设EG=x，则FG=2x，DG=19-