2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一数学下学期期中试题含解析

PAGE江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是()A. B. C. D.【答案】B【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3.又因为低于60分的人数是15人，所以该班的学生人数是15÷0.3=50.本题选择B选项.2.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆内的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x2+y2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=.故选D3.已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理对化简得到或，再结合已知分析判定三角形的形状得解.【详解】由题得,因为,所以或,所以或.因为舍去.所以，.所以三角形是直角三角形.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.在△ABC中，AB=2，AC=3，则BC=______A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.5.过点的直线l与圆有两个交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圆心坐标为，半径为1.再设出直线方程为解不等式即得解.【详解】由题得圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为1.设直线方程为即.由题得.故选：C【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.恩格尔系数越小，即家庭的消费支出中用于购买食物的支出所占比例越小，更多的消费用于精神追求，标志着家庭越富裕.恩格尔系数达59%以上为贫困，50～59%为温饱，40～50%为小康，30～40%为富裕，低于30%为最富裕.下图给出了1980—2017年我国城镇居民和农村居民家庭恩格尔系数的变化统计图，对所列年份进行分析，则下列结论正确的是（）A农村和城镇居民家庭消费支出呈下降趋势B.农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出更多C.1995年我国农村居民初步达到小康标准D.2015年城镇和农村居民食品支出占个人消费支出总额之比大于30.6%【答案】D【解析】【分析】利用统计图对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.从图中看出农村和城镇居民家庭消费支出中用于购买食物的支出所占比例呈下降趋势，但看不出农村和城镇居民家庭消费支出的趋势，故错误.B.农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出更多,是错误的.只能说农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出比例更大，并不代表支出的数量更大.C.1995年我国农村居民初步达到小康标准，是错误的.因为1995年农村居民恩格尔系数是58.6，而恩格尔系数达到40～50%为小康，所以农村居民没有达到小康水平.D.2015年城镇和农村居民食品支出占个人消费支出总额之比大于30.6%是正确的.因为2015年城镇居民和农村居民的恩格尔系数都大于30.6%.故选：D【点睛】本题主要考查统计图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（）A.14米 B.15米 C.米 D.米【答案】D【解析】【详解】以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A（6，﹣2），设圆的半径为r，则C（0，﹣r），即圆的方程为x2+（y+r）2＝r2，将A的坐标代入圆的方程可得r＝10，所以圆的方程是：x2+（y+10）2＝100则当水面下降1米后可设A′的坐标为（x0，﹣3）（x0＞0）代入圆的方程可得x0，所以当水面下降1米后，水面宽为2米．故选：D．8.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则c的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题得,再由余弦定理得，且，且，解不等式即得解.【详解】由题得.由题得且,且，所以，且，且，所以.因为，所以.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理判断三角形的形状，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某同学参加社会实践活动，随机调查了某小区5个家庭的年可支配收入x（单位：万元）与年家庭消费y（单位：万元）的数据，制作了对照表：x/万元2.72.8313.53.9y/万元1.41.51.61.82.2由表中数据得回归直线方程为，得到下列结论，其中正确的是（）A.若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.3万元B.若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.1万元C.若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元D.若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.1万元【答案】BC【解析】【分析】先求出样本中心点的坐标，再求出，即可判断得解.【详解】由题得，，所以.所以.当时，，所以选项B正确，选项A错误;因为，所以若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元，所以选项C正确，选项D错误.故选：BC【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10.已知，，，，且直线AB与CD平行，则m的值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】BC【解析】【分析】对分两种情况讨论，结合直线的斜率公式和平行直线的斜率关系得到关于的方程，解方程即得解.【详解】当时，，，，，直线轴，直线轴，所以直线AB与CD平行.当时，.故选：BC【点睛】本题主要考查平行直线的斜率关系，考查斜率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在中，角的对边分别为，若，则角的值为()A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据余弦定理，代入即可求得角B.【详解】根据余弦定理可知，代入化简可得，即，因为，所以或，故选：BD.【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.12.已知圆与圆相内切，则r等于（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先求出两圆的圆心和半径，再由题得解方程即得解.【详解】由题得圆的圆心为半径为5；圆的圆心为，半径为；由题得.故选：AC【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.13.已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数为__________，方差为__________.【答案】(1).4(2).3；【解析】【分析】设原数据的平均数为，方差为,根据新数据为，利用公式求出新数据的平均数和方差.【详解】设原数据的平均数为，方差为,由于新数据为，所以新数据的平均数为，新数据的方差为.故答案为：4；3.【点睛】本题主要考查数据的平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为，得到黑球或黄球概率是，得到黄球或绿球概率是，则任取一球得到黄球的概率为__________.【答案】；【解析】【分析】设红球、黑球、黄球、绿球的个数分别为,再根据已知求出它们的值，再利用古典概型的概率公式得解.【详解】设红球、黑球、黄球、绿球的个数分别为由题得，所以，由题得，所以，由题得，所以.由古典概型的概率公式得任取一球得到黄球的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15.在中，，，则的周长l的最小值是________.【答案】24；【解析】【分析】利用余弦定理表示第三边，通过基本不等式求解的周长的最小值．【详解】在中，，由余弦定理可得：，的周长．当且仅当时，取等号．故答案为：24【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握分析推理水平.16.设集合，，若存在实数，使，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】根据两圆有交点建立不等式，再根据不等式有解确定实数的取值范围.【详解】由题意得两圆有交点，所以，即有解，因此.【点睛】一般利用圆心距与两半径和与差的关系,判断圆与圆的位置关系.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡制定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由频率/组距求出a、b的值试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是．从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为（2）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，所以，课外阅读时间落在组的有25人，频率为，所以考点：频率分布直方图18.在中，，，已知，是方程的两个根，且．（1）求角的大小；（2）求的长．【答案】,【解析】试题分析：解：（1），所以（2）由题意得∴=∴考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题19.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上.（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程.【答案】（1）3x＋y＋2＝0；（2）(x－2)2＋y2＝8.【解析】【分析】(1)直线AB斜率确定，由垂直关系可求得直线AD斜率，又T在AD上，利用点斜式求直线AD方程；（2）由AD和AB的直线方程求得A点坐标，以M为圆心，以AM为半径的圆的方程即为所求.【详解】(1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－3．又∵点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．(2)由,得,∴点A的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|＝.∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.20.如图所示的四边形ABCD中，已知，，，，设，C点到AD的距离为h.（1）用θ表示h的解析式；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，再根据得解；（2）由正弦定理得，,得，再利用三角函数求最大值得解.详解】（1）由已知，得.在中，由，得.又，且，所以.（2）在中，由正弦定理得，，于是.因为，所以当时，取得最大值.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数60岁及以上258752160岁以下0224921（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.【答案】（1）（2）（天）（3）【解析】【分析】（1）求出调查50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，即得解；（2）利用平均数公式计算即得解；（3）利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，因此该地区A病毒患者中，60岁以下的人数估计有人.（2）（天）（3）样本潜伏期超过10天的患者共六