北京市高三数学试卷

北京市高三数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，若$f(x)$的图像关于直线$x=2$对称，则该函数的对称轴是：

A.$x=1$

B.$x=2$

C.$x=3$

D.$x=4$

2.在三角形ABC中，$\angleA=30^\circ$，$\angleB=45^\circ$，则$\angleC$的大小为：

A.$75^\circ$

B.$105^\circ$

C.$135^\circ$

D.$180^\circ$

3.下列哪个数是整数：

A.$\sqrt{29}$

B.$\sqrt{36}$

C.$\sqrt{49}$

D.$\sqrt{64}$

4.若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，且$a,b,c,d$均为正数，则下列哪个结论一定成立：

A.$a^2=b^2$

B.$ac=bd$

C.$a+b=c+d$

D.$a-c=b-d$

5.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且$f(1)=0$，$f(2)=0$，则下列哪个结论一定成立：

A.$a>0$

B.$b>0$

C.$c>0$

D.$a+b>0$

6.已知等差数列$\{a_n\}$，若$a_1=3$，公差$d=2$，则$a_5$的值为：

A.$7$

B.$9$

C.$11$

D.$13$

7.下列哪个数是无穷大：

A.$1$

B.$100$

C.$0$

D.$\frac{1}{100}$

8.若$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)=2$，则$x$的值为：

A.$3$

B.$-3$

C.$1$

D.$-1$

9.若$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，则下列哪个结论一定成立：

A.$\sinx=x$

B.$x=\sinx$

C.$\sinx=1$

D.$x=1$

10.若函数$g(x)=\lnx$的图像在$y$轴上的截距为$0$，则$g(x)$的图像是：

A.$y=\lnx$

B.$y=\ln|x|$

C.$y=\lnx^2$

D.$y=\frac{1}{x}\lnx$

二、判断题

1.在直角坐标系中，任意一条过原点的直线都与圆$x^2+y^2=1$相切。（）

2.如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么这个函数只能是常数函数。（）

3.指数函数的图像总是通过点$(1,1)$。（）

4.二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上当且仅当$a>0$。（）

5.在等差数列中，任意三项的中位数等于这三项的平均值。（）

三、填空题

1.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)=________$。

2.在三角形ABC中，$\angleA=60^\circ$，$AB=8$，$AC=10$，则$\triangleABC$的面积是________。

3.若等比数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=3$，公比$q=2$，则第4项$a_4=$________。

4.若函数$g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定义域为$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$，则$g(x)$在$x=2$处的极限是________。

5.若数列$\{a_n\}$满足$a_1=2$，且对任意的$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_{n+1}=3a_n-2$，则数列$\{a_n\}$的通项公式是________。

四、简答题

1.简述二次函数图像的顶点坐标和对称轴的性质，并举例说明。

2.给出一个不等式组，并解释如何通过画图来解这个不等式组。

3.解释什么是等差数列和等比数列，并给出一个例子，说明如何求等差数列和等比数列的前$n$项和。

4.简述极限的概念，并解释如何判断一个函数在某一点的极限是否存在。

5.举例说明如何使用三角函数的性质来解决实际问题，并解释在解题过程中需要注意的关键点。

五、计算题

1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$在$x=2$处的导数值。

2.在直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(4,1)，C(2,5)，求三角形ABC的周长。

3.解不等式组$\begin{cases}2x+3y<6\\x-y\geq1\end{cases}$，并在坐标系中画出解集。

4.已知等比数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=5$，公比$q=\frac{1}{3}$，求第5项$a_5$和前5项的和$S_5$。

5.若函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$在$x=2$处的极限为$L$，求$L$的值，并说明计算过程。

六、案例分析题

1.案例背景：

某学校为了提高学生的数学成绩，决定对高一年级的学生进行一次数学竞赛。竞赛结束后，学校对成绩进行了统计分析，发现参赛学生的成绩分布呈现出正态分布的特征。请分析以下问题：

（1）如何根据正态分布的特性，对这次数学竞赛的成绩进行评价？

（2）如果学校希望提高学生的整体成绩，应该采取哪些措施？

2.案例背景：

某公司为了评估员工的销售业绩，采用了以下考核指标：销售额、客户满意度、销售增长率。最近一年，公司的销售额和客户满意度均有所提高，但销售增长率却出现了下降趋势。请分析以下问题：

（1）如何利用数学工具对公司的销售业绩进行综合评价？

（2）针对销售增长率下降的问题，公司可以采取哪些策略来提高销售业绩？

七、应用题

1.应用题：

某工厂生产一批产品，每件产品的成本为100元，销售价格为120元。已知每增加1元销售价格，产品的需求量减少10件。假设市场需求不受限制，求该工厂的利润最大化的销售价格和最大利润。

2.应用题：

一家公司为了促销新产品，决定在超市设立促销点。根据市场调查，每增加一个促销点，新产品的日销量增加50件。公司的促销成本为每点每天200元。假设公司的目标是使日利润最大化，求最佳促销点数量以及在此情况下的日利润。

3.应用题：

某班级有50名学生，为了了解学生对一门课程的掌握情况，老师进行了随堂测验。测验结果显示，成绩分布呈正态分布，平均分为70分，标准差为10分。若老师希望至少有80%的学生成绩在及格以上（即60分以上），那么及格分数线应设为多少？

4.应用题：

一个简单的线性规划问题：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为40元，每单位产品B的利润为30元。生产产品A需要2小时的原料和3小时的劳动力，生产产品B需要1小时的原料和2小时的劳动力。工厂每天可用的原料为200单位，劳动力为300小时。求：

（1）每天生产产品A和B的最大利润；

（2）如果工厂希望至少生产10单位的产品A，应该如何安排生产？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.B

2.A

3.B

4.B

5.A

6.D

7.B

8.A

9.A

10.A

二、判断题答案：

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.$6x^2-6x+4$

2.12

3.$\frac{80}{9}$

4.不存在

5.$a_n=2\cdot3^{n-1}-2$

四、简答题答案：

1.二次函数图像的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。例如，对于函数$f(x)=x^2-4x+3$，顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为$x=2$。

2.通过画出不等式的解集区域，可以直观地找到不等式组的解。例如，不等式组$\begin{cases}2x+3y<6\\x-y\geq1\end{cases}$的解集是一个位于直线$2x+3y=6$下方，且在直线$x-y=1$右边的区域。

3.等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，等比数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。例如，等差数列$1,3,5,7,9$的前5项和为$1+3+5+7+9=25$。

4.极限的概念是函数在某一点附近的值趋向于某个确定的数。例如，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$表示当$x$趋近于0时，$\frac{\sinx}{x}$的值趋近于1。

5.使用三角函数的性质解决实际问题时，关键在于将实际问题转化为可以应用三角函数公式和性质的形式。例如，求一个三角形的边长或角度。

五、计算题答案：

1.$f'(2)=-2$

2.周长为$5\sqrt{2}+2\sqrt{5}$

3.解集为$x<2$或$x>4$，解集区域为直线$2x+3y=6$下方，直线$x-y=1$右边的区域。

4.$a_5=\frac{5}{9}$，$S_5=\frac{25}{3}$

5.$L=4$

六、案例分析题答案：

1.（1）根据正态分布的特性，可以计算成绩的平均值、中位数、众数和标准差等统计量，以评价学生的整体成绩水平。

（2）提高学生整体成绩的措施可能包括加强教学、提供辅导、调整课程难度等。

2.（1）可以计算销售业绩的综合得分，例如使用加权平均的方法，将销售额、客户满意度和销售增长率按照一定权重进行加权求和。

（2）公司可以采取的策略包括市场调研、产品创新、销售培训等。

知识点总结：

本试卷涵盖的知识点包括：

-函数的基本性质和图像

-不等式和不等式组

-数列（等差数列、等比数列）

-极限的概念和应用

-三角函数的性质和应用

-概率统计的基本概念和方法

-线性规划的应用

-案例分析能力

各题型所考察的知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基础知识的掌握程度，例如函数的定义域、三角函数的性质、数列的通项公式等。

-判断题：考察学生对基本概念的理解和记忆，例如奇函数和偶函数、正态分布的性质等。

-填空题：考