2024年数学高考一轮复习对数运算及对数函数试卷

3.4对数运算及对数函数（精讲）一．对数的概念（1）一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常用对数与自然对数常用对数将以10为底的对数叫做常用对数把log10N记为lgN自然对数将以无理数e＝2．71828…为底的对数叫做自然对数把logeN记为lnN二．对数的性质与运算性质(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM．(2)对数的性质：①alogaN＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad．三．对数函数的图象与性质y＝logaxa>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数四.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数运算1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．2.将同底对数的和、差、倍合并．3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．二．对数函数的图象如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．三．比较对数值大小的方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底过渡法寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系四．简单对数不等式1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．2.对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．3.某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．五．盘点易错易混1．对数的底数含字母时易忽视对底数的讨论；2．涉及对数的运算及对数函数问题，一定要确保真数大于0，树立定义域优先的思想．考法一对数的运算【例1-1】（2023·广东潮州）求值：(1)；(2)(3)；(4).【答案】(1)(2)6(3)2(4)4【解析】（1）.（2），因为，所以.（3）.（4）.【例1-2】已知log23＝a，3b＝7，则log3eq\r(7)2eq\r(21)的值为________．【答案】eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab)【解析】由题意3b＝7，所以log37＝b．所以log3eq\r(7)2eq\r(21)＝logeq\o\al(\s\up1(eq\r(84)),\s\do1(eq\r(63)))＝eq\f(log284,log263)＝eq\f(log2（22×3×7）,log2（32×7）)＝eq\f(2＋log23＋log23·log37,2log23＋log23·log37)＝eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab)．【一隅三反】1．（2023广东湛江）计算：(1)；(2)(3)(4)(5)．(6)已知，，求的值．【答案】(1)(2)(3)3(4)(5)(6)【解析】（1）；（2）．（3）原式（4）原式=（5）；（6）..考法二对数函数的三要素及定点【例2-1】（1）（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数的定义域是（

）A． B． C． D．（2）（2023·全国·高三对口高考）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】（1）D（2）D【解析】（1）函数有意义，则有，即解得，所以函数的定义域是.故选：D（2）有意义满足，即，，解得，故选：D【例2-2】（1）（2023春·云南保山）函数的值域为，则实数的取值范围是（2023·全国·高三专题练习）设，则值域是_______（2023·山东）已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因为函数的值域为，所以，为函数的值域的子集，所以，，解得.（2）设，则，于是.设，根据二次函数性质，时，关于单调递减；根据对数函数性质，在定义域上递增.于是由复合函数单调性的性质，在上单调递减，而，于是值域是：.故答案为：（3）∵函数∴当时，的范围是；当时，，，由题意存在最小值，则，解得.故选：D．【例2-3】（2023·山东德州）函数的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，即，所以.故选：B.【一隅三反】1．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．【答案】A【解析】由题意可知，则，当且仅当，时，的最小值为，故选:A．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的定义域是（

）A．或 B．C． D．【答案】B【解析】要使有意义，则，即，解得，所以函数的定义域为，要使有意义，则，解得，所以函数的定义域为.故选：B3．（2023·湖北）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若，则在上单调递减，则，不符合题意；若，则在上单调递增，则，又因为的值域为，所以，解得．故选：A．4．（2023·浙江）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即；若函数的值域是，则需当时，．当时，在上单调递增，此时，不合题意；当时，在上单调递减，此时，即，则，所以，显然，解得，又，所以．综上所述，实数的取值范围是．故选：B考法三对数函数的单调性及应用【例3-1】（2023·安徽）函数的单调递减区间为_________【答案】【解析】函数分为内外层函数，设，，令，得，内层函数，在区间单调递增，在区间单调递减，外层函数单调递增，根据复合函数“同增异减”的判断方法可知，函数在区间单调递减.故答案为：【例3-2】（1）（2023春·云南）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．（2）（2023·山西）函数在上是单调递增的，则此函数在上是（

）A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增（3）（2023·北京）若函数对任意都有，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】（1）C（2）B（3）D【解析】（1）令，对称轴为，因为函数是正实数集上的减函数，所以要想函数在上为减函数，只需函数在上为增函数，且在上恒成立，所以，且，解得.故选：C（2）当时，，设，则，因为函数在上单调递增，函数在上是单调递增的，所以函数在上单调递增，所以，当时，，设，则，，因为在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故选：B.（3）由得，在R上是减函数，则有，解得.故选：D.【例3-3】（1）（2023·广东汕头·统考三模）已知，，，则a，b，c大小为（

）A． B．C． D．（2）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】（1）D（2）A【解析】（1）可以看成与图象的交点的横坐标为，可以看成与图象的交点的横坐标为，可以看成与图象的交点的横坐标为，画出函数的图象如下图所示，

由图象可知，.故选：D.（2）因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以.故选：A.【例3-4】（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，即，即，又，即，故，即，当时，由，无解，综上，实数a的取值范围是．故选:A．【一隅三反】1．（2023春·河南·）已知函数，则的单调增区间为_______.【答案】【解析】令，即，由，则在上递增，在上递减，综上，在上递增，在上递减，而在定义域上递增，所以的单调增区间为.故答案为：2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．【答案】【解析】令，则在为减函数，所以由复合函数的单调性可知在上为减函数，则，解得，即的取值范围为．故答案为：3．（2023·河北）已知在上单调递减，则的取值范围是__________．【答案】【解析】若函数在上是单调减函数，则，解得，即，故答案为：．4．（2023·北京·高三专题练习）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，，又，，所以，且，所以，所以.故选：A5．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，，，由，所以，由，而，则，所以，综上：，故选：A.6．（2023·河南）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由,所以，故由，可得，故，故选：B考法四对数函数的奇偶性及应用【例4】（2023·河南·校联考模拟预测）若函数为奇函数，则（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】，因为为奇函数，所以，即，所以，经检验，满足题意,所以，所以.故选：B.【一隅三反】1．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）“”是“函数是奇函数”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当函数为奇函数，则，解得.所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.2（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）若为奇函数，则（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【解析】因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称，显然当时，没意义，所以当时，也没意义，但是有意义的，所以必定是，即，，，即，则，是奇函数，；故选：C.3．（2023·甘肃）已知函数，则______．【答案】2【解析】因为（），所以，所以，故答案为：2考法五对数函数的图像问题【例5】8（2023·全国·模拟预测）函数在区间上的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，且，所以函数为奇函数，故排除A，B．当时，，，，所以；当时，，，，所以．故排除D．故选：C．【一隅三反】1．（2023·四川自贡·统考三模）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于函数，有，解得，故函数的定义域为，排除AB选项，令可得，解得，即函数只有两个零点，排除C选项.故选：D.2（2023·广东广州·统考三模）函数的大致图象是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】易知函数的定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，排除A；易知当时，，故排除C；因为，，所以，所以排除D．故选：B．3．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能是（

）．A．B．C．D．【答案】D【解析】令得即，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项；函数有意义满足解得或，当时函数无意义，排除B、C选项；对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，又∵当与及时，函数单调递增，结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D；故选：D考法六对数函数的综合运用【例6-1】（2023·四川凉山）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（

）A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍【答案】A【解析】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则，上述两个等式作差可得，则，故.故选：A.【例6-2】（2023春·湖北）（多选）已知函数,下列说法正确的是(

)A．若定义域为R,则 B．若值域为R,则C．若最小值为0,则 D．若最大值为2,则【答案】BCD【解析】对于A，若函数定义域为R,则恒成立,当时,恒成立,满足题意,当时,则有,解得,所以实数的取值范围为,故选项A错误；对于B，若函数值域为R,则能取尽大于零的所有实数，当时,,不满足题意，当时,则有,解得，所以若值域为R,则,故选项B正确；对于C，若函数最小值为0,则有最小值1，由二次函数的图象和性质得,解得,故选项C正确;对于D，若函数最大值为2,则有最大值4,由二次函数的图象和性质得,解得,故选项D正确.故选:BCD.【一隅三反】1．（2023春·四川宜宾）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（

）倍．（参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】