2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期第三次月考数学教学诊断检测试题（附解析）

2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期第三次月考数学教学诊断检测试题一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示）的阴影部分是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解.【详解】对于A，图中阴影部分表示，故A错误；对于B，图中阴影部分表示，故B错误；对于C，图中阴影部分表示，故C正确；对于D，图中阴影部分表示，故D错误.故选：C.2.已知函数的定义域为，且，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由已知可得，即的周期为，可得，即可求范围.【详解】解：，，即，即，所以4上函数的一个周期，，.故选：C.3.直线：，：，若，则实数的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.或1【正确答案】C【分析】根据两直线垂直的公式求解即可.【详解】因为：，：垂直，所以，解得或，将，代入方程，均满足题意，所以当或时，.故选.4.若函数在上不单调，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】由导数在上存在变号零点即可求解.【详解】由题可得，若函数在上不单调，则时，，故，则．故选：A．5.为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（）（结果保留整数）（参考数据：）A.5个月 B.6个月 C.7个月 D.8个月【正确答案】A【分析】由题意可计算出、的值，再令，代入所给函数关系式计算即可得.【详解】由题意可得，，即有，即，则，令，即，即，则.故这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过5个月.故选：A.6.在平面直角坐标系中，已知点角终边上一点，若，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由终边上点的坐标求出，由的范围及求得，最后由公式求值即可.【详解】由点为角终边上一点得，，，又，，∴，∴，∴.故选：D7.若函数且为常数在（为常数）上有最小值，则在上（）A.有最大值12 B.有最大值6C.有最小值 D.有最小值【正确答案】A【分析】构造函数，证明函数为奇函数，利用奇函数的性质可得最大值，由得解.【详解】设，因为，所以的定义域为，关于原点对称，，即为奇函数，且，因为在上有最小值，所以在上有最小值，由奇函数的对称性知，在上有最大值，所以在上有最大值，故选：A8.已知函数（表示不超过的最大整数），，若对任意的，总存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用导数求函数的单调区间和极值，则在极小值和极大值之间，又，列不等式求的取值范围.【详解】，，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，时，有极大值；时，有极小值，时，；时，，若对任意的，总存在三个不相等的实数，，，使得，则有，，，即，所以，解得.故选：D.点睛】关键点点睛：本题除了利用导数研究函数单调性和极值，关键点是理解的意义，得到和的结论.二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知正数满足，则（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】A直接应用基本不等式判断；B由代入目标式，结合二次函数性质判断；C、D利用基本不等式“1”的代换判断.【详解】对于A，因为，且，所以，则，当且仅当时等号成立，正确．对于B，由，得，又，所以，则，所以，当且仅当，即时等号成立，正确．对于C，，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，错误．对于D，由，当且仅当，即时等号成立，正确．故选：ABD10.已知，且，则（）A. B.C. D.【正确答案】BD【分析】A选项，两式平方后相加得到；D选项，由得到；B选项，利用同角三角函数关系得到；C选项，先求出的值，利用正切二倍角公式得到答案.【详解】A选项，因为，两式平方后相加可得，所以，故A错误；D选项，因为，所以，又，故，由于，故，又，所以，故D正确；B选项，，故B正确；C选项，，故，故C错误.故选：BD.11.已知函数关于的方程，下列命题正确的是（）A.若，则方程恰有4个不同的解B.若，则方程恰有5个不同的解C.若方程恰有2个不同的解，则或D.若方程恰有3个不同的解，则【正确答案】BC【分析】由得或，画出的图象，数形结合即可求解在不同条件下的取值范围.【详解】因为，所以，所以或，的图象如图所示，由图可知与有两个交点.对于A，若且，则方程恰有2个不同的解，故A错误；对于B，若，则与有3个不同的交点，此时方程恰有5个不同的解，故B正确；对于C，若方程恰有2个不同的解，当与没有交点时满足题意，此时；当时，方程恰有2个不同的解，此时，故若方程恰有2个不同的解，则或，故C正确；对于D，若方程恰有3个不同的解，则，则与有1个交点，此时或，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“”是“一元二次方程有实数解”的______条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”）【正确答案】充分不必要【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若一元二次方程有实数解，则，解得，所以由推得出一元二次方程有实数解，故充分性成立，由一元二次方程有实数解推不出，故必要性不成立；所以“”是“一元二次方程有实数解”的充分不必要条件.故充分不必要13.已知，，则______．【正确答案】【分析】由已知条件展开可求得，,代入即可.【详解】由得：,由得：,所以，,所以.故14.已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．【正确答案】(01)∪(1,4)【详解】y＝函数y＝kx－2的图象恒过定点M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4.当k＝1时，直线y＝kx－2在x＞1或x≤－1时与直线y＝x＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0,1)∪(1,4)时，两函数图象恰有两个交点．点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．四、解答题：本题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数f（x）＝x2－ax＋2．（1）若f（x）≤－4的解集为[2，b]，求实数a，b的值；（2）当时，若关于x不等式f（x）≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得出实数a，b的值；（2）不等式f（x）≥1－x2等价于，结合基本不等式得出实数a的取值范围．【小问1详解】若f（x）≤－4的解集为[2，b]，则的解集为[2，b]所以，解得【小问2详解】由f（x）≥1－x2得对恒成立即在区间恒成立，所以又，当且仅当时，取等号所以，即，故实数的取值范围为16.已知函数.（1）若时，求的最小值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）.【分析】（1）求导，令，可得，进而可得左右两侧的导数值的正负，可求最小值；（2）分离变换可得，令，可得，利用导数求得最大值即可.【小问1详解】当时，，当时，f′x<0，在上单调递减；当时，f′x>0，在上单调递增，.【小问2详解】由，令，可得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.17.已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的恒成立，求的最小值.【正确答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）对求导，得到，再分和两种情况，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；（2）根据条件，利用（1）中结果得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最小值，即可求解.【小问1详解】易知，因为，所以，当时，恒成立，此时在上单调递增，当时，由，得到，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，综上，时，在上单调递增，时，的减区间为，增区间为.【小问2详解】因为当时，时，，由（1）知，要使对任意的恒成立，则，且恒成立，即恒成立，得到，所以，令，则，由，得到，当时，，时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，故的最小值为.18.若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”．（1）判断是否为“集合”，说明理由；（2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合；（3）求所有满足条件的“集合”．【正确答案】（1）不，理由见解析；（2）；（3），其中.【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可；（2）设，进而研究或是否存在正整数解即可；（3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解.【小问1详解】因为，所以不是“一集合”．【小问2详解】设．若，则或．由，解得（舍去），此时；由化为，而，故方程无正整数解．若，则或，由，解得，此时；由化为，而，故方程无正整数解．综上，所有满足条件的集合为．