福建省南平市塔前中学2022年高二数学理联考试题含解析

福建省南平市塔前中学2022年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的导函数是，若对任意的，都有成立，则A.

B.

C.

D.无法比较参考答案：B略2.已知点A(1,3)、B(5,2)，点P在x轴上，使|AP|–|BP|取得最大值时P的坐标（

）

A.（4,0）

B.

(13,0) C.

(5,0)

D.

(1,0)

参考答案：B3.已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为(

)（A）

(B)

(C)

(D).参考答案：C略4.一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是(

)A．系统抽样 B．分层抽样 C．抽签抽样 D．随机抽样参考答案：A【考点】系统抽样方法；收集数据的方法．【专题】应用题．【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．【解答】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样．将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为预先制定的，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．本题中，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选A．【点评】本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样．5.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.椭圆的焦点坐标是A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.计算的值为

参考答案：A，故选.8.下列命题中，真命题为（

）A．若，则

B．若，则C．若，则

D．若，则参考答案：B9.把直线x﹣y+﹣1=0绕点（1，）逆时针旋转15°后，所得的直线l的方程是（）A．y=﹣x B．y=x C．x﹣y+2=0 D．x+y﹣2=0参考答案：B【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】由已知直线的斜率求出与x轴的夹角，然后求出旋转后与x轴的夹角，即可得到所求直线的斜率，根据点的坐标写出直线方程即可．【解答】解：由题意知直线x﹣y+﹣1=0与x轴的夹角为45°，则绕点（1，）逆时针旋转15°后得到直线l与x轴的夹角为60°，则斜率k=tan60°=，又直线过（1，），所以直线l的方程为y﹣=（x﹣1）化简得：y=x．故选B．【点评】本题的突破点是会根据斜率求夹角、根据夹角求斜率．要求学生会根据一点坐标和斜率写出直线的方程．10.已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是(

) A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）参考答案：D考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．解答： 解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3?+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点和圆上的动点P，则的取值范围是

.参考答案：12.在展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则

，

.参考答案：

解析：13.一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。则连过前3关的概率为_________.参考答案：

解析：由于骰子是均匀正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的．设事件An为“第n次过关失败”，则对立事件Bn为“第n次过关成功”第n次游戏中，基本事件总数为6n

第1关：事件Al所含基本事件数为2(即出现点数1和2两种情况)．所以过此关的概率为P(B1)=1－

P(A1)=；

第2关：事件A2所含基本事件数为方程x+y=a当a分别取2、3、4时的正整数解组数之和，即6个．所以过此关概率为P(B2)=1－P(A2)=；

第3关：事件A3所含基本事件数为方程x+y+z=a当a分别取3、4、5、6、7、8时的正整数解组数之和，即56个．所以过此关概率为P(B3)=1－P(A3)=；

故连过三关的概率为P(B1)×P(B2)×P(B3)=14.双曲线的两条渐近线的夹角为

.参考答案：渐近线为：

∴夹角为：15.已知实数满足，则=

；=

。参考答案：16.1343与816的最大公约数是________．参考答案：解析：1343＝816×1＋527,816＝527×1＋289,527＝289×1＋238,289＝238×1＋51,238＝51×4＋34,51＝34×1＋17,34＝17×2，所以1343和816的最大公约数是17.答案：1717.若行列式=0，则x=

．参考答案：2或﹣3【考点】三阶矩阵．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先将三阶行列式化为二阶行列式，即可求得结论【解答】解：由题意，﹣2×+4×=0∴x2+x﹣6=0∴x=2或﹣3故答案为：2或﹣3【点评】本题考查三阶行列式，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分15分)设函数是奇函数，其中是常数，且．

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若，求的单调区间；(Ⅲ)求在上的最大值与最小值．(用表示)参考答案：解：（Ⅰ）∵为奇函数，

∴即

…1分得对任意≠0恒成立

1分∴

……1分（Ⅱ）由（Ⅰ）知∵

……1分∴当时，，∴当时，在定义域内是减函数

…1分又∵，当时，在上递增

1分∴当时，单调递减，减区间为和

2分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当时，函数在定义域内是减函数当时，函数在定义域内是增函数

……1分∵，

……1分∴在上有

………1分∴当时，的最大值为，最小值为当时，的最大值为，最小值为略19.(本小题满分12分)在三棱锥中,是边长为2的正三角形,平面平面,,分别为的中点.(1)证明:;(2)求锐二面角的余弦值;参考答案：(1)证明:取中点,连结,.∵∴且∴平面,又平面,∴.(2)设OB与CE交于点G，取OB中点为M，作MH^CE交CE于点H，连结FM,FG.平面平面且，,,,从而.,是二面角的平面角.由得,在中,,,故锐二面角的余弦值为

.20.设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且=．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x﹣y++=0相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）过F2的直线L与（Ⅱ）中椭圆C交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存

在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知：=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b），由⊥，即?=﹣3c2+b2=0，a2=4c2，e=；（Ⅱ）由=2c，解得c=1则a=2，b=，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅲ）由要使△F1MN内切圆的面积最大，只需R最大，此时也最大，设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式可知=|y1﹣y2|=，t=，则t≥1，=（t≥1），由函数的单调性可知：当t=1时，=4R有最大值3，即可求得m的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意A（0，b），F1为QF2的中点．设F1（﹣c，0），F2（c，0），则Q（﹣3c，0），=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b），由⊥，即?=﹣3c2+b2=0，∴﹣3c2+（a2﹣c2）=0，即a2=4c2，∴e=．（Ⅱ）由题Rt△QAF2外接圆圆心为斜边QF2的中点，F1（﹣c，0），半径r=2c，∵由题Rt△QAF2外接圆与直线++=0相切，∴d=r，即=2c，解得c=1．∴a=2，c=1，b=．所求椭圆C的方程为：（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2）由题知y1，y2异号，设△F1MN的内切圆的半径为R，则△F1MN的周长为4a=8，∴=（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，∴要使△F1MN内切圆的面积最大，只需R最大，此时也最大．=|F1F2|．|y1﹣y2|=|y1﹣y2|，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韦达定理，得y1+y2=，y1y2=，（△＞0?m∈R）=|y1﹣y2|==．令t=，则t≥1，=（t≥1），当t=1时，=4R有最大值3．此时，m=0，Rmax=．故△F1MN的内切圆的面积最大值为此时直线l的方程为x=1．21.（8分）过椭圆的左焦点作弦AB，，求弦AB的长。