新教材人教B版必修第一册-3.1.2.2-函数的最大值、最小值-课件(57张)

第2课时函数的最大值、最小值必备知识·自主学习1.函数的最值(1)定义前提函数f(x)的定义域为D,且x0∈D,对任意x∈D条件都有___________都有___________结论最大值为f(x0),x0为最大值点最小值为f(x0),x0为最小值点最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)(2)求函数最值的方法:①配方法:主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围;②换元法:用换元法时一定要注意新变元的取值范围;③数形结合法:对于图像较容易画出的函数的最值问题,可借助图像直观求出;④利用函数的单调性:要注意函数的单调性对函数最值的影响,特别是闭区间上函数的最值.

【思考】最值点是点吗?提示:不是,是实数值,是函数值取得最值时的自变量x的值.2.直线的斜率(1)直线斜率的定义平面直角坐标系中的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),①当x1≠x2时,称为直线的斜率,记作;②当_____时,称直线的斜率不存在.(2)直线的斜率与函数单调性的关系①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都______.②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都______.x1=x2大于0小于03.函数的平均变化率(1)平均变化率的定义:若I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I,且x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2),称

为函数在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率.(2)函数的平均变化率与函数的单调性y=f(x)在I上是增函数⇔________在I上恒成立y=f(x)在I上是减函数⇔

______在I上恒成立

【思考】函数图像上任意两点连线的斜率大于0时,函数图像从左向右的变化趋势是什么?提示:函数图像从左向右逐渐上升.【基础小测】

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)任何函数都有最大值、最小值. (

)(2)一个函数的最大值是唯一的,最值点也是唯一的. (

)(3)直线不一定有斜率,过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率. (

)提示:(1)×.如函数y=既没有最大值,也没有最小值.(2)×.函数的最大值是唯一的,但最值点不唯一,可以有多个最值点.(3)×.过函数图像上任意两点的直线一定有斜率,因为根据函数的定义,一定有x1≠x2.2.过函数图像上两点A(-1,3),B(2,3)的斜率=________.

【解析】=0.答案:03.(教材二次开发:例题改编)函数f(x)=的最大值为________.

【解析】当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.答案:2关键能力·合作学习类型一利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)【题组训练】1.已知函数f(x)在区间[-2,5]上的图像如图所示,则此函数的最小值点,最大值分别为 (

)A.-3,5 B.-3,f(5)C.-2,5 D.-2,f(5)2.已知函数f(x)=则f(x)的最小值、最大值点分别为___,____.

3.已知函数f(x)=(1)如图所示,在给定的直角坐标系内画出f(x)的图像.(2)由图像指出函数f(x)的最值点,求出最值.

【解析】1.选D.由函数f(x)的图像可知最小值点为-2,最大值为f(5).2.作出函数f(x)的图像(如图).由图像可知,当x=±1时,f(x)取最大值,最小值为0,故f(x)的最小值为0,最大值点为±1.答案:0

±13.(1)由题意,当x∈[-1,2]时,f(x)=-x2+3,为二次函数的一部分;当x∈(2,5]时,f(x)=x-3,为一次函数的一部分;所以,函数f(x)的图像如图所示:(2)由图像可知,最大值点为0,最大值为3;最小值点为2,最小值为-1.

【解题策略】图像法求最值、最值点的步骤【补偿训练】已知函数f(x)=求函数f(x)的最大值、最小值.【解析】作出f(x)的图像如图:由图像可知,当x=2时,f(x)取最大值为2;当x=时,f(x)取最小值为

所以f(x)的最大值为2,最小值为

【拓展延伸】求二次函数最值的常见类型及解法求二次函数的最大(小)值有两种类型:一是函数定义域为实数集R,这时只要根据抛物线的开口方向,应用配方法即可求出最大(小)值;二是函数定义域为某一区间,这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定,而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上,在区间左侧,还是在区间右侧)来决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,还需要进行分类讨论.求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值一般分为以下几种情况:(1)若对称轴x=-在区间[m,n]内,则最小值为

,最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与直线x=-距离较远的一个对应的函数值为最大值).(2)若对称轴x=-<m,则f(x)在区间[m,n]上是增函数,最大值为f(n),最小值为f(m).(3)若对称轴x=->n,则f(x)在区间[m,n]上是减函数,最大值为f(m),最小值为f(n).【拓展训练】1.定轴定区间上的最值问题【例1】已知函数f(x)=3x2-12x+5,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.(1)R.(2)[0,3].(3)[-1,1].【思路导引】求函数的最大值、最小值问题,应先考虑其定义域,由于是二次函数,所以可以采用配方法和图像法求解.【解析】f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7.(1)当x∈R时,f(x)=3(x-2)2-7≥-7,当x=2时,等号成立.故函数f(x)的最小值为-7,无最大值.(2)函数f(x)=3(x-2)2-7的图像如图所示,由图可知,在[0,3]上,函数f(x)在x=0时取得最大值,最大值为5;在x=2时取得最小值,最小值为-7.(3)由图可知,函数f(x)在[-1,1]上是减函数,在x=-1时取得最大值,最大值为20;在x=1时取得最小值,最小值为-4.【解题策略】

(1)函数y=ax2+bx+c(a>0)在区间上是减函数,在区间上是增函数,当x=-时,函数取得最小值.(2)函数y=ax2+bx+c(a<0)在区间上是增函数,在区间上是减函数,当x=-时,函数取得最大值.2.动轴定区间上的最值问题【例2】已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值.【思路导引】二次函数开口方向确定,对称轴不确定,需根据对称轴的不同情况分类讨论.可画出二次函数相关部分的简图,数形结合解决问题.【解析】f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图像开口向上,且对称轴为直线x=a.当a≥1时,函数图像如图(1)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数,最小值为f(1)=3-2a;当-1<a<1时,函数图像如图(2)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是先减后增,最小值为f(a)=2-a2;当a≤-1时,函数图像如图(3)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,最小值为f(-1)=3+2a.3.定轴动区间上的最值问题【例3】已知函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R的最小值为g(t),试写出g(t)的函数表达式.【思路导引】二次函数的解析式是确定的,但定义域是变化的,需依据t的大小情况画出对应的简图(二次函数的一段),从而求解.【解析】f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,对称轴为x=1.当t+1<1,即t<0时,函数图像如图(1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为g(t)=f(t+1)=t2+1;当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图像如图(2)所示,最小值为g(t)=f(1)=1;当t>1时,函数图像如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为g(t)=f(t)=t2-2t+2.综上可得g(t)=【解题策略】本题中给出的区间是变化的,从运动的观点来看,让区间从左向右沿x轴正方向移动,分析移动到不同位置时对最值有什么影响.借助图形,可使问题的解决显得直观、清晰.类型二函数的平均变化率与单调性、最值(数学运算、逻辑推理)【典例】已知函数f(x)=.(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用平均变化率证明其结论.(2)求函数f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值.四步内容理解题意条件:①函数f(x)=,②[0,+∞),③[2,9]结论:判断函数的单调性并求函数的最值思路探求(1)任取x1,x2∈[0,+∞)⇒>0⇒函数单调递增(2)由第(1)问可知f(x)在[2,9]上是增函数⇒f(2)是最小值,f(9)是最大值四步内容书写表达【解析】(1)f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.证明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,f(x2)-f(x1)=所以

因为x1,x2∈[0,+∞),所以(x1+1)(x2+1)>0,所以>0,所以函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,9]上是增函数,故函数f(x)在区间[2,9]上的最大值为f(9)=,最小值为f(2)=.注意书写的规范性:(1)计算Δf(x)=f(x2)-f(x1)时,注意通分与因式分解的应用(2)求最值时应首先确定函数的单调性题后反思求函数在闭区间[a,b]上的最值时,易错误地认为f(a)与f(b)就是相应的最值,只有函数在[a,b]上单调时,函数在区间的端点值才是最值.【解题策略】利用函数的平均变化率证明单调性的步骤

(1)任取x1,x2∈D,且x1≠x2.(2)计算f(x2)-f(x1),.(3)根据x1,x2的范围判断的符号,确定函数的单调性.

【跟踪训练】已知函数f(x)=,x∈[3,7].(1)判断函数f(x)的单调性,并用平均变化率加以证明.(2)求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)函数f(x)在区间[3,7]内单调递减,证明如下:在[3,7]上任意取两个数x1和x2,且x1≠x2,因为f(x1)=,f(x2)=,所以f(x2)-f(x1)=所以

因为x1,x2∈[3,7],所以x1-2>0,x2-2>0,所以<0,函数f(x)为[3,7]上的减函数.(2)由单调函数的定义可得f(x)max=f(3)=4,f(x)min=f(7)=.类型三常见函数的最值问题(直观想象、数学运算)角度1不含参数的最值问题

【典例】函数f(x)=-2x2+x+1在区间[-1,1]上最小值点为________,最大值为________.

【思路导引】求出一元二次函数的对称轴,利用对称轴和区间的关系解题.【解析】函数f(x)=-2x2+x+1的对称轴为x=,函数的图像开口向下,所以函数的最小值点为-1,最大值为

答案:-1

角度2含参数的最值问题

【典例】设a为实数,函数f(x)=x2-|x-a|+1,x∈R.(1)当a=0时,求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值.(2)当0<a<时,求函数f(x)的最小值.【思路导引】(1)代入a的值,化简后求最值.(2)讨论对称轴与区间的位置关系求最值.【解析】(1)当a=0,x∈[0,2]时函数f(x)=x2-x+1,因为f(x)的图像开口向上,对称轴为x=,所以,当x=时f(x)值最小,最小值为,当x=2时,f(x)值最大,最大值为3.(2)f(x)=①当x≥a时,f(x)=x2-x+a+1=+a+.因为0<a<,所以>a,则f(x)在[a,+∞)上的最小值为

+a;②当x<a时,函数f(x)=x2+x-a+1=-a+.因为0<a<,所以-<a,则f(x)在(-∞,a)上的最小值为

-a.综上,f(x)的最小值为-a.

【变式探究】将本例的函数改为f(x)=x2-2ax+1,试求函数在区间[0,2]上的最值.【解析】函数的对称轴为x=a,(1)当a<0时,f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)min=f(0)=1;当0≤a≤2时,f(x)min=f(a)=-a2+1;当a>2时,f(x)在区间[0,2]上是减函数,所以f(x)min=f(2)=5-4a,所以f(x)min=

(2)当a≤1时,f(x)max=f(2)=5-4a;当a>1时,f(x)max=f(0)=1,所以f(x)max=

【解题策略】一元二次函数的最值(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴,根据对称轴和定义域的关系确定最值点,代入函数解析式求最值.(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x=m,区间[a,b]为例,①最小值:f(x)min=②最大值:f(x)max=当开口向下、区间不是闭区间等时,类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.【题组训练】

1.(2020·西安高一检测)函数f(x)=9-ax2(a>0)在[0,3]上的最大值为 (

)

A.9 B.9(1-a) C.9-a D.9-a2【解析】选A.因为a>0,所以f(x)=9-ax2开口向下,以y轴为对称轴,所以f(x)=9-ax2在[0,3]上单调递减,所以x=0时,f(x)最大值为9.2.函数f(x)=x+ (

)A.有最小值,无最大值B.有最大值,无最小值C.有最小值,有最大值2D.无最大值,也无最小值【解析】选A.f(x)=x+的定义域为,在定义域内单调递增,所以f(x)有最小值

,无最大值.3.函数f(x)=x2-3x-4在区间[0,2]上的最小值点为______,最大值为________.

【解析】函数的对称轴为x=,开口向上,所以最小值点为,最大值为f(0)=-4.答案:

-4【补偿训练】二次函数f(x)=x2-2x+3在[0,m]上有最大值3,最小值1,则实数m的取值范围是_____.

【解析】因为f(x)=x2-2x+3在[0,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.则当0<m<2时,此时无解;当2≤m≤4时,x=2时有最小值1,x=0时有最大值3,此时条件成立;当m>4时,最大值必大于f(4)=3,此时条件不成立.综上可知,实数m的取值范围是[2,4].答案:[2,4]

备选类型函数最值的应用(数学建模)【典例】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:厘米)满足关系式:C(x)=(0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)最小?并求其最小值.【思路导引】【解析】(1)由题意知C(0)=8,代入C(x)的关系式,得k=40,因此C(x)=(0≤x≤10),而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元,所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+6x=+6x(0≤x≤10).(2)令t=3x+5,由0≤x≤10,得5≤t≤35,从而有函数h(t)=+2t-10(5≤t≤35).令5≤t1<t2≤35,则h(t1)-h(t2)=(t1-t2),当5≤t1<t2≤20时,h(t1)-h(t2)=(t1-t2)>0;当20≤t1<t2