渤海大学高等数学试卷

渤海大学高等数学试卷一、选择题

1.下列各题中，正确的是（）

A.函数y＝x＋1在R上单调递减

B.函数y＝x3在R上单调递增

C.函数y＝x2在R上单调递减

D.函数y＝x3在R上单调递减

2.下列各题中，正确的是（）

A.函数y＝x2在R上可导

B.函数y＝|x|在R上不可导

C.函数y＝x3在R上可导

D.函数y＝|x|在R上可导

3.求下列极限（）

lim(x→0)(sin2x)/(x2)

A.0

B.2

C.1

D.不存在

4.求下列极限（）

lim(x→0)(x3－1)/(x－1)

A.1

B.0

C.无穷大

D.不存在

5.已知函数f(x)在区间(a，b)内连续，则f(x)在区间(a，b)内（）

A.必有最大值和最小值

B.必有最大值，不一定有最小值

C.必有最小值，不一定有最大值

D.一定没有最大值和最小值

6.设f(x)在[a，b]上连续，则下列命题正确的是（）

A.f(x)在[a，b]上有最大值和最小值

B.f(x)在[a，b]上必有极值

C.f(x)在[a，b]上必有驻点

D.f(x)在[a，b]上必有拐点

7.求下列导数（）

y＝(1＋x)2

A.2(1＋x)

B.2

C.1

D.0

8.求下列导数（）

y＝ln(x2)

A.2/x

B.2x

C.1/x

D.0

9.已知函数f(x)在区间(a，b)内可导，则f(x)在区间(a，b)内（）

A.必有最大值和最小值

B.必有极值

C.必有驻点

D.必有拐点

10.求下列函数的导数（）

y＝xlnx

A.1＋lnx

B.x＋lnx

C.1/x

D.x＋1

二、判断题

1.若函数f(x)在区间(a，b)内可导，且f'(x)在(a，b)内连续，则f(x)在区间(a，b)内一定可积。（）

2.在求函数的导数时，幂函数的导数公式可以应用于所有实数指数的情况。（）

3.若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处的导数f'(x0)一定存在。（）

4.对于任意函数f(x)，如果f'(x)在点x0处存在，则f(x)在x0处一定可导。（）

5.在一元函数的极限计算中，如果当x趋向于某一值时，函数的极限不存在，则该函数在该点一定不连续。（）

三、填空题

1.若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处的导数f'(x0)等于__________。

2.极限lim(x→0)(sinx)/x的值是__________。

3.设函数f(x)＝x3－3x＋2，则f(x)的极小值点为__________。

4.函数y＝e^x的导数是__________。

5.若函数f(x)在区间(a，b)内可导，且f'(x)在区间(a，b)内恒大于0，则函数f(x)在区间(a，b)内__________。

四、简答题

1.简述连续函数在闭区间上的性质，并举例说明。

2.解释什么是导数的几何意义，并说明如何通过导数来判断函数图形的凹凸性。

3.如何求一个函数的极值点？请给出一个具体的例子，并说明求解过程。

4.简要介绍洛必达法则，并说明在什么情况下可以使用洛必达法则求解极限。

5.讨论函数的可导性与其连续性之间的关系，并给出一些反例来支持你的讨论。

五、计算题

1.计算极限：lim(x→∞)(3x^2+2x-1)/(x^2+4x-5)。

2.求函数f(x)＝x^3-6x^2+9x+1的导数，并求出其在x＝2时的导数值。

3.求函数y＝ln(x^2+1)在x＝1时的导数。

4.计算极限：lim(x→0)(sinx-x)/x^3。

5.已知函数f(x)＝x^2-4x+3，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司生产一种产品，其成本函数C(x)＝1000x+5000，其中x为生产的产品数量。销售价格为P(x)＝200x-0.5x^2，其中x为销售的产品数量。

问题：

（1）求该公司的收益函数R(x)。

（2）求该公司的利润函数L(x)。

（3）若公司希望利润最大化，请计算最优的生产数量x。

2.案例背景：某城市交通管理部门正在研究一种新的收费策略来减少交通拥堵。他们收集了以下数据：

-交通流量Q(t)与时间t的关系：Q(t)＝1000-50t+0.1t^2，其中t为小时。

-每辆车的通行费用为f(t)＝1+0.1t，其中t为小时。

问题：

（1）求该城市在时间t时的总收入R(t)。

（2）若交通管理部门希望总收入最大化，请计算最优的收费时间t。

（3）讨论收费策略对交通流量和总收入的影响。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一种产品，其产量Q与单位产品的生产成本C和单位产品的销售价格P之间存在以下关系：

\[C=2Q+0.1Q^2\]

\[P=10Q-0.2Q^2\]

（1）求该工厂的利润函数L(Q)。

（2）若工厂希望利润最大化，求出最优的产量Q。

2.应用题：某城市正在规划一条新的公交线路，已知乘客数量N与车费F之间的关系为：

\[N=1000-10F\]

（1）求出公交线路的票价F，使得乘客数量最大。

（2）若每辆车的运营成本为C(F)＝50F+200，求出该公交线路的最大收入。

3.应用题：某产品的需求函数Q(p)＝150-2p，其中p为产品的价格（单位：元），成本函数C(p)＝100p+5000，其中p为产品的数量（单位：件）。

（1）求出该产品的边际成本函数M(p)。

（2）若产品的销售价格为p＝25元，求出此时的利润。

4.应用题：某商店在销售一种商品时，发现当商品价格为p元时，每天的销售量为q(p)＝200-5p。商店的固定成本为每天1000元，每件商品的变动成本为5元。

（1）求出商店的总成本函数C(p)和总收入函数R(p)。

（2）若商店希望最大化利润，求出最优的销售价格p。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.B

2.C

3.C

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

9.A

10.A

二、判断题答案

1.错误

2.错误

3.正确

4.错误

5.正确

三、填空题答案

1.f'(x0)

2.1

3.2

4.e^x

5.单调递增

四、简答题答案

1.连续函数在闭区间上的性质包括：有界性、最大值和最小值定理。例如，如果一个连续函数在闭区间[a,b]上，那么它在[a,b]上有界，且至少存在一点c∈[a,b]，使得f(c)为f(x)在[a,b]上的最大值或最小值。

2.导数的几何意义是切线的斜率。若导数f'(x)在区间(a，b)内恒大于0，则函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，图形是凹的；若f'(x)恒小于0，则函数单调递减，图形是凸的。

3.求函数的极值点，首先求出函数的一阶导数f'(x)，令f'(x)＝0，得到驻点。然后求出二阶导数f''(x)，若f''(x)＞0，则驻点为极小值点；若f''(x)＜0，则驻点为极大值点。

4.洛必达法则用于求解“0/0”或“∞/∞”型极限。当函数f(x)和g(x)在x＝x0附近连续，且f'(x)和g'(x)在x＝x0附近存在，且g'(x)≠0时，若lim(x→x0)[f(x)/g(x)]＝0/0或∞/∞，则有lim(x→x0)[f(x)/g(x)]＝lim(x→x0)[f'(x)/g'(x)]。

5.函数的可导性与其连续性有关，但不是必然相关。一个函数在某点可导，则在该点连续；但一个函数在某点连续，不一定在该点可导。例如，函数f(x)＝|x|在x＝0处连续，但在x＝0处不可导。

五、计算题答案

1.lim(x→∞)(3x^2+2x-1)/(x^2+4x-5)=3

2.f'(x)＝3x^2-12x+9，f'(2)＝3(2)^2-12(2)+9=3

3.y'＝2x/(x^2+1)，y'(1)＝2(1)/(1^2+1)=1

4.lim(x→0)(sinx-x)/x^3=-1/6

5.f(x)＝x^2-4x+3在[1,3]上的最大值和最小值分别为f(1)＝0和f(3)＝0。

六、案例分析题答案

1.（1）R(x)＝200x-0.5x^2-(1000x+5000)＝-0.5x^2-800x-5000

（2）L(x)＝R(x)-C(x)＝-0.5x^2-800x-5000-(1000x+5000)＝-0.5x^2-1800x-10000

（3）对L(x)求导得L'(x)＝-x-1800，令L'(x)＝0，得x＝-1800，最优生产数量为1800。

2.（1）R(t)＝(1+0.1t)(1000-50t+0.1t^2)

（2）对R(t)求导得R'(t)＝0.1(1000-50t+0.1t^2)+(1+0.1t)(-50+0.2t)，令R'(t)＝0，得t＝5，最优收费时间为5小时。

（3）随着收费时间的增加，交通流量减少，总收入增加；但随着收费时间的继续增加，总收入的增加速度会逐渐减慢，甚至可能开始减少。

七、应用题答案

1.（1）L(Q)＝(10Q-0.2Q^2)-(2Q+0.1Q^2)＝8Q-0.3Q^2

（2）对L(Q)求导得L'(Q)＝8-0.6Q，令L'(Q)＝0，得Q＝13.33，最优产量为13.33。

2.（1）N=1000-10F，N最大时F最小，F最小为0时N最大，所以最优票价为0元。

（2）R(t)＝(1+0.1t)(1000-50t+0.1t^2)，对R(t)求导得R'(t)＝0.1(1000-50t+0.1t^2)+(1+0.1t)(-50+0.2t)，令R'(t)＝0，得t＝5，最优收费时间为5小时。

3.（1）M(p)＝C'(