数学分析上册练习题及答案第四五章

一元函数的连续性

第四章函数的连续性

1连续性概念

1.按定义证明下列函数在其定义域内连续:1;(2)f(x)x.x

1证明(1)f(x)的定义域是xR且x0,取x00,由函数极限四则运算可知x(1)f(x)11limf(x)lif(x0),所以f(x)在x0连续.由x0在定义域内的任意性知f(x)xx0xx0xx0

在其定义域内连续.

(2)f(x)的定义域是xR,任取x0R,由于xx0xx0,所以对任给的0,取,使得当xx0时有f(x)f(x0)xx0xx0.

按函数在一点连续的定义,f(x)在x0连续,由x0在R中的任意性知f(x)在定义域R内连续.

2.指出下列函数的间断点并说明其类型:(1)f(x)x1sinx;(2)f(x);(3)f(x)[cosx];(4)f(x)sgnx;xx

x,x为有理数(5)f(x)sgn(cosx);(6)f(x)x,x为无理数;

1,x7,x7(7)f(x)x,7x1,

1(x1)sin,1x.x1

解(1)因f(x)仅在x0处无定义,故x0为函数的间断点,又因x0limf(x),limf(x),所以x0为第二类间断点.x0

(2)因f(x)仅在x0处无定义,故x0为函数的间断点,又因

sixnsixnsixnlimf(x)li1,limf(x)lili1,所以x0是f(x)的x0x0x0x0xx0xx

第一类间断点,且为跳跃间断点.

(3)由于xnlim[cox]0,nZ,而f(n)[cosn][(1)n][1]0,所以

xn(nZ)为该函数的可去间断点.

(4)由于sgnx1,x0,故limf(x)1,而f(0)0,所以x0为函数的可去间断点.x00,x0

1x(2k,2k)22x2k(5)由于f(x)sgn(cosx)021x(2k,2k3)22

limf(x)1,limf(x)1,limf(x)1,故

x(2k)2x(2k)2x(2k)2limx(2k)2f(x)1,所以

x2k

2(k0,1,2,)皆为函数的跳跃间断点.

和无理数列xn使得:xnx0且(6)当x00时,由于存在有理数列xn

x0(n);xnx0(n),x0且xnxn

)limxnx0,limf(xn)lim(xn)x0,而且x0x0,故limf(xnnnnn

f(x)不存在,同理limf(x)也不存在,所以x0的点皆为函据函数极限的归结原则,limxx0xx0

数的第二类间断点.

1,所以x7为函数的第二类间断点.x(7)x(7)x7

1f(x)limx1,limf(x)lim(x1)si0,即f(10)f(10),所以因为limx1x1x1x1x

x1为函数的跳跃间断点.

综上,x7是该函数的第二类间断点,x1是该函数的跳跃间断点.

3.延拓下列函数,使其在R上连续:(7)因为limf(x)lim

1cosx1x38f(x)xcos(1)f(x);(2)f(x);(3).xx2x2

分析:如果函数f(x)在R上无定义的点皆为可去间断点,那么只需在每个无定义的点x0处补充定义f(x0)limf(x),就可以使f(x)的定义扩大到R上且处处连续.xx0

x38lim(x22x4)12,故x2解(1)f(x)在x2时无定义,而limf(x)limx2x2x2x2

为f(x)的可去间断点,令F(x)f(x),x2,则F(x)为f(x)在xR上的延拓,且在12,x2(,)上连续.

(2)f(x)在x0时无定义,而limf(x)limx01cosxlim2x0x0x2sin2xxsin2lim121,所以x0为该函数的可x02x22x2

f(x),x0去间断点.令F(x)1,则F(x)为f(x)在xR上的延拓,且在(,)上连,x02

续.

(3)f(x)在x0时无定义,而limf(x)limxcosx0x010,所以x0为该函数的可去间断点.x

f(x),x0令F(x),则F(x)为f(x)在xR上的延拓.x00,

4.证明:若f在点x0连续,则f与f2也在点x0连续.又问:若f或f2在I上连续,那么f

在I上是否必连续?

22分析将f(x)f(x0)和f(x)f(x0)与f(x)f(x0)的不等式关系找出,从而利用

极限定义求证其连续,即运用极限理论讨论可得结论.证明(1)因为f(x)在点x0连续,所以limf(x)f(x0),则根据极限的定义,对任给的xx0

0,存在0,使得当xx0时有f(x)f(x0).又因f(x)f(x0)f(x)f(x0),所以当xx0时也有.所以limf(x)f(x0),xx0即可知f在点x0连续.

(2)因f(x)在x0连续,即limf(x)f(x0),所以由函数极限的局部有界性知,存在xx0

M0,10使得当xx01时,有f(x)f(x0)M.取min{,1},当xx0时,有f2(x)f2(x0)f(x)f(x0)f(x)f(x0)f(x)f(x0)f(x)f(x0)2M2M.

所以f2在x0连续.

但是,当f或f2在I上连续时,f在I上不一定连续.例如f(x)1,

1,x为有理数x为无理数,则

f,f2为常数1,故处处连续,但f(x)却处处不连续.

5.设当x0时,f(x)g(x),而f(0)g(0).证明:f与g两者中至多有一个在x0

连续.

证明:反证法假设f(x)和g(x)都在x0连续,即limf(x)f(0),limg(x)g(0),又因x0x0

g(x),从而有f(0)g(0),这与题设x0时,f(x)g(x),所以limf(x)limx0x0

f(0)g(0)相矛盾.因此假设错误.f(x)与g(x)两者中至多有一个在x0连续.

6.设f为区间I上的单调函数.证明:若x0I为f的间断点,则x0必是f的第一类间断

点.

证明:设f(x)在I上递增,当x0I且x0不是I的端点时,必存在x0的某邻域U(x0)I,因f(x)在U(x0)内递增且以f(x0)为上界,在U(x0)内递增且以f(x0)为下界,据函数极限

f(x)与limf(x)都存在,从而x0是f(x)的第一类间断点.的单调有界原理知limxx0xx0

当x0I且为I的左(右)端点时,f(x)在x0处的右(左)极限存在,所以x0仍为第一类间断点.

7.设函数f只有可去间断点,定义g(x)limf(y).证明g为连续函数.yx

证明:设f的定义域为I,则对任意的x0I,因为g(x0)limf(y),所以对任意的0,yx0

存在0,当yU(x0,)时,有f(y)g(x0).

对任意的xU(x0,),因为g(x)limf(y),所以对同一yx,存在0,使

U(x,)U(x0,),且对任意的yU(x,)时,有f(y)g(x).从而有

g(x)g(x0)g(x)f(y)f(y)g(x0)g(x)f(y)f(y)g(x0)2.从而得limg(x)g(x0),所以g(x)在点x0处连续.由x0的任意性知,g(x)在I上连续.xx0

8.设f为R上的单调函数,定义g(x)f(x0).证明g在R上每一点都右连续.

证明:假定f为R上的单调函数.

f(x)f(x00),所以对任意的0,存在对任意的x0R,因f(x00)存在,即limxx0

0,当x0xx0时,有f(x)f(x00).取x使x0xxx0,有f(x)f(x00).又由f在R上的单调增加性有f(x00)f(x00)f(x)f(x0)f(x)f(x00),即有g(x0)f(x00)f(x0)g(x)f(x00)g(x0).由此可知,对一切x(x0,x0)有g(x)g(x0).因此点x0是g的右连续点,再由x0在R上的任意性,推得g为R上的右连续函数.

9.举出定义在[0,1]上分别符合下述要求的函数:

111,和三点不连续的函数;234

111(2)只在,和三点连续的函数;234

1(3)只在(n1,2,3,)上间断的函数;n

(4)只在x0右连续,而在其它点都不连续的函数.(1)只在

11,0x4112,x43.解(1)f(x)113,x3214,x12

111(x)(x)(x),x为有理数.(2)f(x)2340,x为无理数

(3)f(x)1

sinx.

(4)f(x)x,x为有理数.

0,x为无理数

2连续函数的性质

1.讨论复合函数fg与gf的连续性,设

(1)f(x)sgnx,g(x)1x;

(2)f(x)sgnx,g(x)(1x)x.

解(1)由于g(x)1x0,故(fg)(x)f(g(x))sgn(1x)1,所以fg在所有点上都连续.2222

1,x0,且lim(gf)2(gf)(0),所以又(gf)(x)g(f(x))1(sgnx)x02,x02

x0为gf的可去间断点,其余点均为gf的连续点.

1,x1或0x12x0,1,1(2)由于(fg)(x)sgn(1x)x0,,

1,1x0或x1

且

x1lim(fg)1,lim(fg)1,x1x0lim(fg)1,x0lim(fg)1,x1lim(fg)1,x1lim(fg)1,所以(fg)(x)在x1,0,1处有跳跃间断点,在其它点连续.

2又(gf)(x)[1(sgnx)]sgnx0,所以gf处处连续.

2.设f,g在点x0连续,证明:

(1)若f(x0)g(x0),则存在U(x0;),使在其内有f(x)g(x);

(2)若在某U(x0)内有f(x)g(x),则f(x0)g(x0).

证明(1)令F(x)f(x)g(x),则F(x0)f(x0)g(x0)0,

又因为f,g在点x0连续,由定理4.4知F在点x0连续.由连续函数的局部保号性,对任何正数0rF(x0),存在某U(x0),使得对一切xU(x0),有F(x)r0,即存在U(x0),使得对一切xU(x0),有F(x)f(x)g(x)0,即f(x)g(x).

(3)由f(x),g(x)在点x0连续可知,有limf(x)f(x0),limg(x)g(x0),又因为在xx0xx0

U0(x0)内有f(x)g(x),则有极限保号不等式性有

f(x0)limf(x)limg(x)g(x0).xx0xx0

3.设f,g在区间I上连续.记F(x)maxf(x),g(x),G(x)minf(x),g(x).证明F和G也都在I上连续.

证明:法一利用第一章总练习题1的结论.

因f(x),g(x)在I上连续,而F(x)11[f(x)g(x)f(x)G(x)][f(x)g(x)f(x)G(x)]2],是由22

f(x),g(x)经过加,减,乘运算及其幂函数的复合运算所得,故F(x)也在I上连续.法二利用max和min的性质,由f,g的连续性推出F和G的连续性.

对区间I上任意一点x0,f,g在点x0连续,则对任给0,存在正数1,2,使得当xx01时,有f(x0)f(x)f(x0),当xx02时,有

1,2},g(x0)g(x)g(x0).取min{

则有f(x0)f(x)f(x0),g(x0)g(x)g(x0)同时成立.

从而有maxf(x),g(x)f(x0)且maxf(x),g(x)g(x0).

即maxf(x),g(x)maxf(x0),g(x0).又有maxf(x),g(x)f(x0)且maxf(x),g(x)g(x0),即maxf(x),g(x)maxf(x0),g(x0).综合以上得maxf(x0),g(x0)maxf(x),g(x)maxf(x0),g(x0).由的任意性得xx0limmaxf(x),g(x)maxf(x0),g(x0).即

limG(x)G(x0).xx0limF(x)F(x0).同理可证xx0

c,若f(x)c,4.设f为R上连续函数,常数c0.记F(x)f(x),若f(x)c,证明F在R上连续.

c,若f(x)c.

c,f(x)},因常数c,f(x)都在R上连续,所以由3题结论知证明:令F(x)maxc,min{

min{c,f(x)}在R上连续,又因c也在R上连续,再由3题结论知maxc,min{c,f(x)}在R上连续,即F在R上连续.

5.设f(x)sinx,g(x)x,x0x,x0.

证明复合函数fg在x0连续,但g在x0不连续.

sin(x),x0(fg)(x)limsin(x)0,证明:因(fg)(x)所以limx0x0sin(x),x0,

x0lim(fg)(x)limsin(x)0.又(fg)(0)0,故fg在x0连续,但是x0

x0x0x0x0g(x)limg(x),故limg(x)lim(x),limg(x)lim(x),因limx0x0

g(x)在x0不连续.

6.设f在[a,)上连续,且limf(x)存在.证明:f在[a,)上有界,又问f在[a,)上必x

有最大值或最小值吗?

证明(1)由于limf(x)存在，设limf(x)A，则根据极限定义，对1，存在Ma，xx

使得当xM时，有f(x)A1，从而f(x)f(x)AAf(x)A1A。又因为f(x)在[a,)上连续，从而在[a,M]上连续，根据闭区间上连续函数有界性知，存在G10，使得对一切x[a,M]，有f(x)G1，取Gmax{G1,1A，则对一切x[a,)，恒有f(x)G，故f(x)在[a,)上有界。

（2）虽然f(x)在[a,)上连续且有界，但[a,)不是闭区间，因此不能保证f在[a,)上一定有最大值或最小值。例如：f(x)

上无最小值。11在[1,)上连续，lim0，但f(x)在[1,)xxx

7．若对任何充分小的0，f在[a,b]上连续，能否由此推出f在(a,b)内连续。解：可推出f(x)在(a,b)内连续。证明如下：

任取x0(a,b)，令0min{x0abx0,，则00，22

。从而且a0ax0ax0abx0x0bx0,b0bx02222

x0[a0,b0](a,b)，因f(x)在[a0,b0]上连续，所以f(x)在x0连续。由x0

的任意性，证得f(x)在(a,b)内连续。

8．求极限：

x2xx21（1）lim(x)tanx；（2）lim。x1x1x4

解：（1）由于(x)tanx为初等函数，点在定义域内，从而函数在该点连续，于是有

3lim(x)tanx(limx)limtanx()1。44xxx444

（2）该函数为初等函数，在x1处右连续，故

x2xx21121213lim。x1x1112

9．证明：若f在[a,b]上连续,且对任何x[a,b]，f(x)0，则f在[a,b]上恒正或恒负。证明：反证法。若f在[a,b]上有正值也有负值，不妨设amnb，使f(m)0,f(n)0，因f(x)在[a,b]上连续，从而f(x)也在[m,n]上连续，且f(m)f(n)0，由根的存在性定理，至少存在一点x0[m,n]，使得f(x0)0，与题中条件矛盾，因此假设错误，故f(x)在[a,b]上恒正或恒负。

10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。

证明：设方程为：a0xa1x

nnn1an1xan0,其中n为奇数，a00，不妨an1xan，，设a00，记f(x)a0xa1x则n1aalimf(x)limxna01nxxxx

aalimf(x)limxna01n，xxxx

由limf(x)，知任给M0，存在N0，当xN时，f(x)M0。x

由limf(x)，知任给M0，存在N0，当xN时，f(x)M0。x

由上知，f(x)在[N1,N1]上连续，且f(N1)0,f(N1)0，由根的存在性定理，至少存在一点x0(N1,N1)，使得f(x0)0，故f(x)至少有一个实根。

11.一致连续的定义证明：若f,g都在区间I上一致连续，则fg也在I上一致连续。证明：因f,g在区间I上一致连续，则任给0,存在10,20,使得对任意的x,xI，只要xx1，就有f(x)f(x)。当xx2，就有

1,2}，那么对任何x,xI，只要xx，就有g(x)g(x)。取min{

(fg)(x)(fg)(x)f(x)f(x)g(x)g(x)

f(x)f(x)g(x)g(x)2。

由定义，f(x)g(x)在I上一致连续。

12.证明f(x)x在[0,)上一致连续。

证明：[0,)[0,1][1,)因为f(x)x在闭区间[0,1]上连续，据一致连续性定理知，f(x)在[0,1]上一致连续。

xxxxxx，所以对任2xx由于x,x[1,)时，有f(x)f(x)

给的0，可取2，只要x,x[1,)，且xx，就有f(x)f(x)xx。由定义，f(x)在[1,)上一致连续。2

综上，f(x)在[0,)上一致连续。

13.证明：f(x)x在[a,b]上一致连续，但在(,)上不一致连续。

证明：先证f(x)x22在[a,b]上一致连续，由于x,x[a,b]时，有f(x)f(x)(x)2(x)2xxxx(xx)xx2maa,bxx令c2a,b，所以对任给的0，取

c，当x,x[a,b]且xx时，有f(x)f(x)，故f(x)在[a,b]上一致连续。

再证f(x)在(,)上不一致连续。

取01，无论正数多么小，存在x11

,x2x1

2满足：

2222x1x2，但x1x2x1x2x1x2110，所以f(x)x在24

(,)上不一致连续。

14.设函数f在区间I上满足利普希茨（Lipschitz）条件，即存在常数L0，使得对I上任意两点x,x都有f(x)f(x)Lxx。证明f在I上一致连续。

证明：对任给的0，取

L，当x,xI且xx时，由利普希茨条件有

f(x)f(x)LxxL

L。故f(x)在I上一致连续。

15.证明sinx在(,)上一致连续。

证明：由于任意的x,x(,)时恒有

sinxsinx2cosxxxxxxsin2xx。所以对任给的0，取222

，那么对一切x,x(,)，只要xx，就有sinxsinx。故sinx在(,)上一致连续。

16.设函数f满足第6题的条件。证明f在[a,)上一致连续。

证明：因为limf(x)存在，设limf(x)A，则对任意的0，存在M0，当xMxx

时，有f(x)A。

又f(x)在[a,)上连续，从而可得，有f(x)在[a,M]上一致连续。对任意的x,x[M,)，有f(x)A，f(x)A。从而有f(x)f(x)f(x)AAf(x)f(x)Af(x)A2。所以f(x)在

[M,)上一致连续。由例10的结论可知f(x)在[a,)上一致连续。

17.设函数f在[0,2a]上连续，且f(0)f(2a)。证明：存在点x0[0,a]，使得f(x0)f(x0a)。

证明：设F(x)f(x)f(xa)。由于f(x)在[0,2a]上连续，所以f(xa)在[0,a]上

连续，于是F(x)在[0,a]上连续。

又F(0)f(0)f(a),F(a)f(a)f(2a)f(a)f(0)。

若f(0)f(a)，则取x00,a均可以。

若f(0)f(a)。则F(0)F(a)f(0)f(a),F(a)0，由根的存在性定理，存在x0(0,a)，使得F(x0)0，即f(x0)f(x0a)。综上，存在x0[0,a]，使得f(x0)f(x0a)。

18.设f为[a,b]上的增函数，其值域为[f(a),f(b)]。证明f在[a,b]上连续。证明：反证法。假设f在[a,b]上某点x0不连续，则存在00，对任意的0，存在xU(x0;)，使得f(x)f(x0)0。

又f为[a,b]上的增函数，则有f(a)f(x0)f(b)。[f(a),f(b)]是一个闭区间，由实数的稠密性，对上述0，存在，当x0xx0时，有f(x)f(x0)0成立。由假设推出的结论与此矛盾，因此假设错误，原命题结论成立。即f在[a,b]上连续。

19.设f在[a,b]上连续，x1,x2,,xn[a,b]。证明：存在[a,b]，使得

1f()[f(x1)f(x2)f(xn)]。n

证明：设f(x1),f(x2),,f(xn)中的最大者为f(xs)，最小者为f(xt)，则有

f(xt)111nf(xt)[f(x1)f(x2)f(xn)nf(xs)f(xs)，nnn

1n1n

若f(xt)f(xi)或f(xs)f(xi)，则取xt或xs均满足要求。ni1ni1

1n

若f(xt)f(xi)f(xs)。对f(x)在以xt，xs为端点的区间上应用连续函数介值性ni1

1n

定理知，存在(xt,xs)[a,b]使得f()f(xi)。ni1

20.证明f(x)cosx在[0,)上一致连续。

证明：[0,)[0,1][1,)

u与u由于f(x)cox可看成函数f(u)cosx的复合，由定理4.5知，

f(x)cox在[0,1]上连续，据一致连续性定理，又知f(x)必在[0,1]上一致连续。当x1,x2[1,)时，

cosx1cosx22sinx1x2

2sinx1x2

22sinx1x2

2

x1x2x1x2

x1x2x1x22，对任给的0，取2，对任何

只要x1x2，就有cosx1cosx2x1,x2[1,)，x1x2

2所以f(x)在。

[0,)上一致连续。

3.初等函数的连续性

1.求下列极限：

excosx5limxxxx（1）lim；（2）；xx01x2ln(1x)

xxx111111lim（3）lim；（4）；xx0xxxxxxx1

（5）lim1sinxx0cotx。

excosx5e0cos05f(0)6。解：（1）因函数在x0连续，故limx01x2ln(10ln(10)1x)

（limx

xxxxxxlim2）由初等函数的连续性，xxxxx

lim

x

1x

001

1。2

11x11

x

111111（3）limx0xxxxxx

2

lim

x0

11

xx

111111xxxxxx

lim

x0

2x

33

1xx21xx2

2000

1

（4）lim

x

1

1x2

xxx0x

lim1。x

x110

1x

3

（5）lim1sinx

x0

cotx

1

lim1sinxsinxx0

b

cosx

1

x0lim1sinxsinxx0

limcosx

e1e。

2.设limana0，limbnb。limanna。

n

n

b

n

证明：因limana0，故存在N，当nN时，有an0，从而

n

bn

limanlimebnlnanenn

n

limbnlnan

eblnaab。

第五章导数和微分1.导数的概念

2

1.已知直线运动方程为s10t5t，分别令t1,0.1,0.01，求从t4到t4t这一

段时间内运动的平均速度及t4时的瞬时速度。解：平均速度是差商概念。从t4到t4t时间内，

s10(4t)5(4t)210454250t5t2

s50t5t2

v505ttt

分别令t1,0.1,0.01，可得平均速度分别为v55,50.5,50.05。

瞬时速度是导数的概念。

ss(4t)s(4)50t5t2

v(4)limlimlimlim(505t)50。t0tt0t0t0tt

2.等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。解：变速旋转的角速度包括平均角速度与瞬时角速度。

平均角速度是差商概念，则时刻t到tt时间内的平均角速度为(tt)(t)。tt

(tt)(t)d(t)lim。通常所说变速旋转的角速度多指瞬时角速度。t0tt0tdtlim

3.设f(x0)0,f(x0)4，试求极限lim

解：依导数定义，x0f(x0x)。x

x0limf(x0x)f(x0x)0f(x0x)f(x0)limlimf(x0)4。x0x0xxx

x2,x3,4.设f(x)试确定a,b的值，使f在x3处可导。

axb,x3,

f(x)f(3)x29limlim(x3)6,解:f(3)limx3x3x3x3x3

f(3)limx3f(x)f(3)axb93ab9limlim(a)6,x3x3x3x3x3

2

x3x3[axb]3ab9，由于x9，f(3)lim又可导必连续，从而f(3)lim

(a3ab9，故limx33ab9)limaa6，从而b9369。x3x3

综上，a6,b9。

5.试确定曲线ylnx上哪些点的切线平行于下列直线：

（1）yx1；（2）y2x3。

解：曲线ylnx在点(x,y)处切线的斜率为y1。x

（1）直线yx1的斜率为1，从而11得x1，代入ylnx，得y0，所x

以曲线上(1,0)处的切线平行于直线yx1。

（2）直线y2x3的斜率为2，从而112得x，代入ylnx得yln2，x2

所以曲线ylnx上(,ln2)处切线平行于直线y2x3。.

6.求下列曲线在指定点P的切线方程与法线方程：12

x2

,P(2,1)；（1）y（2）ycosx,P(0,1)。4

解：（1）yx,yx21，故切线方程为y1x2，即yx1；法线斜率为1，2

故法线方成为y1(x2)，即yx3。

（2）ysinx,yx00，故切线方程为y1，即yx1，法线方成为x0。

7.求下列函数的导函数：

x1,x03f(x)x.（1）；（2）f(x)1,x0

x3,x0x0解：（1）f(x)0,

x3,x0

22当x0时，f(x)3x；当x0时，f(x)3x；

x30x300,f(0)lim0，所以f(0)0。当x0时，f(0)limx0x0x0x0

3x2,x0故f(x)。23x,x0

（2）当x0时，f(x)1；当x0时，f(x)0，

当x0时，f(0)limx0x11111,f(0)lim0，因f(0)f(0)，所以x0x0x0f(x)在x0

x01,不可导，故f(x)不存在,x0。

0,x0

1mxsin,x0(m为正整数）8.设函数f(x)，试问：xx00,

（1）m等于何值时，f在x0连续；

（2）m等于何值时，f在x0可导；

（3）m等于何值时，f在x0连续。

m解：（1）当m0时，limxsinx010f(0).因此，对一切正整数m，f(x)在x0连x

续。

（2）limx0f(x)f(0)limx0x0xmsin101limxm1sin，x0xx当m10即m1时，limxx0m1sin1110；当m1时，limxm1sinlimsin不存x0xxx0x在，故正整数m2时，f(x)在x0可导且f(0)0。

（3）由（2）知，当m2时，

11m1mxsinxm2cos,x0f(x)xx0,x0

11limf(x)limmxm1sinxm2cos。x0x0xx

当m2时，limf(x)limmxx0x0m1sin11xm2cos000f(0)，故正整xx数m3时，f(x)在x0连续。

10.求下列函数的文定点：

（1）f(x)sinxcosx；（2）f(x)xlnx。解：（1）f(x)cosxsinx

故xk2sin(x4)0，则x4k,kZ

4,kZ是原函数f(x)的文定点。

（2）f(x)110，故x1是函数f(x)的文定点。x

10.设函数f在点x0存在左右导数，试证f在点x0连续。证明：因为f在点x0存在右导数，依定义有limx0f(x0x)f(x0)存在，即xx0limf(x0x)f(x0)f(x0)，所以x

f(x0x)f(x0)xlimf(x0x)f(x0)x0x

f(x0x)f(x0)limxf(x0)00。x0x

x0x0x0limlimx0同理，根据f(x)在x0左可导有limy0，所以limy0，即f(x)在x0连续。

1g(x)sin,x011.设g(0)g(0)0，f(x)。x0,x0

求f(0)。解：f(0)limx0f(x)f(0)limx0x0g(x)sinx1limsin1g(x)x0xxlimsinx01g(x)g(0)1g(x)g(0)11limsinlimlimsing(0)limsin0，x0x0x0xx0xx0x0xx而sin111有界，故得到f(0)limsin00。x0xx12.设f是定义在R上的函数，且对任何x1,x2R，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)。若

f(0)1，证明对任何xR，都有f(x)f(x)。

证明：由f(x1x2)f(x1)f(x2)可得f(x)f(x0)f(x)f(0)，从而f(x)0或f(0)1.

若f(x)0,则f(x)0与已知f(0)1矛盾,故f(0)1成立.

对任何xR,有

f(x)lim

limf(x)x0x0f(xx)f(x)f(xx)f(x)limx0xxf(x)1f(x)f(0)f(x)limf(x)f(0)f(x)x0xx

即对任何xR,有f(x)f(x).

13.证明:若f(x0)存在,则limx0f(x0x)f(x0x)2f(x0).x

证明:limx0f(x0x)f(x0x)f(x0x)f(x0)f(x0)f(x0x)limx0xx

limx0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)limlimlimx0x0x0xxxx

f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)limf(x0)f(x0)2f(x0).x0xxlimx0

(a)f(a)0,则在[a,b]内至少14.证明:若函数f在[a,b]上连续且f(a)f(b)K,f

有一点,使f()K.

(a)f(a)0,不妨设f(a)0,f(a)0,证明:由于f

即limxaf(x)f(a)f(x)Kf(x)f(b)f(x)Klim0,limlim0.xaxbxbxaxaxbxb

f(x)K0,从而xa根据极限保号性,分别存在10,20,使得x(a,a1)时,

f(x)K;当x(b2,b)时,f(x)K0,从而f(x)K.xb

取x1(a,a1),x2(b2,b),则有f(x1)Kf(x2),因f(x)在[x1,x2]上连续,由介值定理知至少存在一点[x1,x2][a,b],使f()K.

15.设有一吊桥,其铁链成抛物线型,两端系于相距100m高度相同的支柱上，铁链之最低点在

悬点下10m处，求铁链与支柱所成之角.

x2

解:建立坐标系.悬点坐标为A(50,10),B(50,10).铁链方程为y.250

x22,yx50,所以铁链在A处的切线倾角arctan,铁链在A处与支柱的12555

2夹角为arctan.25因为y

16.在曲线yx3上取一点P,过P的切线与该曲线交于Q,证明:曲线在Q处的切线斜率正

好是在P处切线斜率的四倍.

3解:设P点坐标为(x0x0),则曲线yx3在P的导数为yxx3x02xx02,即过P的切3x0

322线斜率为3x0,该切线方程为yx03x0(xx0),将此方程与yx联立

32yx03x0(xx0)3求得交点的坐标为Q(2x,8x).003yx3

曲线yx3在Q点的导数为yx2x3x02x2x02,即过Q点的切线斜率为12x0

22,故曲线在Q处的切线斜率正好是在P处切线斜率的四倍.12x043x0

2.求导法则

1.求下列函数在指定点的导数：

43（1）设f(x)3x2x5，求f(0),f(1)；

（2）设f(x)x，f(0),f()；cosx

x，求f(0),f(1),f(4)。（3）设f(x)

解：由导数的定义知，函数f(x)在点x0处的导数与f(x)的导函数f(x)在点x0处的值相等，即f(x0)f(x)xx，故此题可先求出导函数f(x)，再得出指定点的导数。0

（1）依据多项式求导法则，知f(x)12x6x，于是32

f(0)f(x)x012036020。f(1)f(x)x1121361218。

（2）由除法求导法则，知f(x)

故f(0)f(x)x01cosxx(sinx)cosxxsinxcos2xcos2xcos00sin0cossin1f()f(x)1。，22xcos0cos

（3）当x0时，f(x)1

4xx

1

42，于是f(1)f(x)x114，f(4)f(x)x411，42383

由于f(x)的定义域为x0，所以在x0处只能讨论右导数，

x1x1xlimf(0)limlimx0x0x0x0xx1

2.求下列函数的导数：1xx1

1x2xm2ny2x（1）y3x2；（2）y；（3）；（4）；yxnxmx1xx2x2

x23（5）yx3log3x；（6）yecosx；（7）y(x1)(3x1)(1x)；（8）ytanx；x

x1lnx1x2

（9）y；（10）y；（11）y(x1)arctanx；（12）y。1cosx1lnxsinxcosx解：（1）y6x。

(2x)(1xx2)(1x2)(12x)2x2x22x312xx22x3

（2）y2222(1xx)(1xx)

14xx2

。(1xx2)2

（3）ynx

（4）yn1nn(xn11)。1m11111m11222()2。mx2x2xxmxxxx

231x223xlog3x（5）y3xlog3xx。xln3ln3

（6）y(e)cosxe(cosx)ecosxesinxe(cosxsinx)。

（7）y(x1)(3x1)(1x)(x1)(3x1)(1x)(x1)(3x1)(1x)232323xxxxx2x(3x1)(1x3)(x21)3(1x3)(x21)(3x1)(3x2)

18x55x412x312x22x3。

(tanx)xtanxxxsec2xtanx（8）y。x2x2

（9）y

（10）x(1cosx)x(1cosx)1cosxxsinx1cosxxsinx。(1cosx)2(1cosx)2(1cosx)2

11(1lnx)(1lnx)(1lnx)(1lnx)(1lnx)(1lnx)2y。(1lnx)2(1lnx)2x(1lnx)2

(11)y(x1)arctanx(x1)(arctanx)

（12）12xarctanx(x1)1。1x2

(1x2)(sinxcosx)(1x2)(sinxcosx)2x(sinxcosx)(1x2)(cosxsinx)y2(sinxcosx)(sinxcosx)2

3.求下列函数的导函数：

31x2232（1）yxx；（2）y(x1)；（3）y（4）yln(lnx)；1x；

（5）yln(sinx)；（6）ylg(x2x1)；（7）yln(xx2)；

（8）ylnxx33；（9）y(sinxcosx)；（10）ycos4x；xx

（11）ysinx2；（12）ysinx2；（13）yarcsin

（15）yarccot

（19）yxsinx312；（14）yarctanx3；x1x2x1sinx；（16）yarcsin(sinx)；（17）ye；（18）y2；1xx；（20）yxx；（21）yesin2x；（22）yxxxx；

x；nx))；（23）ysin(sin(si（24）ysin)sinx

（25）y(xa1)1(xa2)2(xan)n；（26）y1

a2b2

1arcsinasinxb。absinx解：（1）yxxx(x)xx222

2x2(1x2)

x

2

x2x

2

(2x)

(1x2)x2

x

2

12x2x

2

。

（2）y3(x21)2(x21)3(x21)22x6x(x21)2。

1x2

（3）y31x

2

2

2

1x21x22x(1x)(1)(1x2)

21x31x(1x)

1x212xx23(1x2)2(12xx2)

3。41x(1x)2(1x)11

(lnx)。lnxxlnx1cosx(sinx)cotx。（5）y

sinxsinx

（4）y（6）y（7）

12x12

(xx1)。

(x2x1)ln10(x2x1)ln10

y

(xx2)xx2

2x

1

xx22x2

11x2x1222

xxxx

2

（8）

xx

ylnln

xx

xxxxx

(1x)(1x)2x2

ln

(1x)(1x)x

1x2

。ln

x

于是

y

x1x

2

2

2x

1

(2x)x(1x)

x2

1xx

2

2

x2

x1x

2

2

x

1x2x2

x2x2(1x2)x(1x)x

2

2

。

（9）

y3(sinxcosx)2(cosxsinx)3(sinxcosx)(cos2xsin2x)3(sinxcosx)cos2x

（10）y3cos4x(sin4x)412cos4xsin4x6cos4xsin8x。（11）ycosx

2

2

2

12x

2

2x

xcosx2

x

2

。

（12）y3(sinx2)2cosx22x6x(sinx2)2cosx2。

（13）y1

1x2(11。)2x2xx1

16x22（14）y2arctanx3xarctanx3。3261(x)1x3

（15）y1

1x11x

1

sinx421(1x)(1)(1x)21。2222(1x)(1x)(1x)1x（16）y2sinxcosxsin2xsinx4。

（17）yex1(x1)ex1。

（18）y2sinxln2cosx(ln2)2sinxcosx。

（19）用对数求导法：lnysinxlnx，

两边关于x求导，得sinxysinxsinx)。cosxlnx，整理得yx(cosxlnxxyx

x（20）用对数求导法：lnyxlnx，再两边取对数，得

ln(lny)ln(xxlnx)ln(lnx)xlnx，两边求导，得

整理后得yxsinx1y111lnxx，lnyylnxxx(cosxlnxxsinx1)xxxxlnx(lnx1)xxlnx

x1xxxx(ln2xlnx)。x

（21）ye

（22）x(1)sin2x2excos2xex(2cos2xsin2x)。

1y1

2xx2xxx114xxx2x1。12x8xxxxxx

nx))cos(sinx)cosx。（23）ycos(sin(si

xxsinxxcosxsin()x)x2（24）ycos。sin()sin2()sinxsinx

（25）用对数求导法：lny1ln(xa1)2ln(xa2)nln(xan)两边求导，ny12n得k，yxa1xa2xank1xak

nnk整理后得，yy(xak)k。

k1xakk1k1xaknk

（26）y1

a2b21asinxb1absinx2acosx(absinx)bcosx(asinxb)2(absinx)

11(a2b2)cosx2222ababsinx(absinx)(asinxb)

1

(a2b2)cos2xabsinxcosx1。cosxabsinx

4.对下列各函数计算f(x)，f(x1)，f(x1)。

（1）f(x)x；（2）f(x1)x；（3）f(x1)x。

解：（1）f(x)3x，由此得f(x1)3(x1)，f(x1)3(x1)。

（2）由题知，f(x)(x1)。于是f(x)3(x1)，从而f(x1)3x，322222333f(x1)3(x2)2。

（3）由题知，f(x)(x1)，于是f(x)3(x1)，从而f(x1)3(x2)，322f(x1)3x2。

5.已知g为可导函数，a为实数，试求下列函数f的导数：

（1）f(x)g(xg(a))；（2）f(x)g(xg(x))；（3）f(x)g(xg(a))；（4）f(x)g(xg(x))。

解：（1）f(x)g(xg(a))(xg(a))g(xg(a))。

（2）f(x)g(xg(x))(xg(x))g(xg(x))(1g(x))。

（3）f(x)g(xg(a))(xg(a))g(xg(a))g(a)。

（4）f(x)g(xg(x))(xg(x))g(xg(x))(g(x)xg(x))。

dd2f(x2)f(x)。则必有f(1)0或f(1)1。dxdx

dd2f(x2)f(x2)2x；f(x)2f(x)f(x)。证明：由复合函数求导法则，有dxdx6.设f为可导函数，证明：若x1时有

当x1时，等式化为f(1)22f(1)f(1)。即2f(1)[f(1)1]0，故有f(1)0或f(1)1。

exexexex

7.定义双曲函数如下：双曲正弦函数shx；双曲余弦函数chx；双曲22正切函数thxshxchx；双曲余切函数cothx。shxchx

11(cothx)；（4）。ch2xsh2x证明：（1）(shx)chx；（2）(chx)shx；（3）(thx)

exexexex

证明：（1）(shx)chx。22

exexexex

（2）(chx)shx。22

（3）

shx(shx)chxshx(chx)ch2xsh2x(chxshx)(chxshx)(thx)222chxchxchxchx

exex1。22chxchx

（4）

chx(chx)shxchx(shx)sh2xch2x(shxchx)(shxchx)(cothx)222shxshxshxshx

ex(ex)1.22shxshx

8.求下列函数的导数：

thx)。（1）yshx；（2）ych(shx);（3）yln(chx)；（4）yarctan(3

解：（1）y3sh2xchx。

（2）ych(shx)(shx)sh(shx)chx。

11shx(chx)shxthx。chxchxchx

1111(thx)（4）y。1th2x1th2xch2xch2xsh2x（3）y

9.以sh1x,ch1x,th1x,coth1x分别表示各双曲函数的反函数。试求下列函数的导数：

（1）ysh1x；（2）ych1x（;3）yth1x；（4）ycoth1x；（5）ythxcoth

（6）ysh1(tanx)。

解：（1）y111；x11122chxshx1，故当shy,而x时，1sh(y)chych(shx)

chyx2，于是y1

x2。

（2）ychx111(chy)shy11(chy)shy1x11x122。（3）ychx1

1sh2y112（4）ycothxshy2(x1)。(cothy)chysh2y1coth2y1x21

1111x2111（5）ythxcoth()()0。2222x1x1x1xx()21x

x1

（6）y1

tan2xsec2xsecx。

3.参变量函数的导数

1.求下列由参量方程所确定的导数dy：dx

xcos4t,t0（1）在，处；42ysint,

tx,1t在t0处。（2）1ty,1t

dydydx4sin3tcostdy2tant解：（1），tan200，3dxdtdt4costsintdxt0

dytan2。dxt22

（2）dy(1t)(1t)(1t)(1t)1t1t2，dt(1t)2(1t)2(1t)2

dxt(1t)t(1t)1tt1，222dt(1t)(1t)(1t)

故dydydx2dxdtdt(1t)dy1t02。2，即时恒有dx(1t)xa(tsint),dydy2.设求，。dxdxya(1cost).tt2

d[a(1cost)]dydydxasintsint解：，dxdtdt[a(tsint)]a(1cost)1cost

dt

于是dy11，dysin00。dxt1cos10dxt1cos1(1)22

22sin3.设曲线方程x1t,ytt，求它在下列点处的切线方程与法线方程：

（1）t1；（2）t2。2

解：（1）dydydxdtdx12tdy1211，故。dt2tdxt1212

当t1时对应于曲线上点(0,0)，所以切线方程为：y0

方程为y02(x0)，即y2x。11(x0)，即yx，法线22

（2）

dydxt

22

2122

22

212

1，

22

当t

212112121

时对应于曲线上点(,)，故切线方程为y(x)，即222222

32121

22。法线方程为y(x)，即22221

2y(12)x

2x(22)y

4.证明曲线

3

21。2

xa(costtsint),

上任一点的法线到原点距离等于a。

ya(sinttcost).

解：在曲线上任取一点P(x0,y0)(x(t0),y(t0))。因

dydydxa(costcosttsint)sintdydytant,于是tant0,dxdtdta(sintsinttcost)costdx(x0,y0)dxtt0

法

线

斜

率

为

cott0

,所以过

P(x0,y0)

的,

法化

线方简

程为得

ya(sint0t0cost0)cott0[xa(cost0t0sint0)]cost0xsint0ya0.原点(0,0)到该直线的距离d

与t0无关.

cost00sint00a

cost0sint0

2

2

a,

5.证明:圆r2asin(a0)上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.

证明:设圆上一点的切线与向径的夹角为,据本节(5)式有

tan

()2asin

tan，而与取值在[0,]范围内，在此区间内tanx为等()2acos

值函数（一一对应），故有，即圆上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.6.求心形线ra(1cos)的切线与切点向径之间的夹角.解:设所求夹角为,则tan

()a(1cos)1cos

,用万能公式()asinsin

1tan2

cos

1tan2

,sin2

1

2tan

,

1tan21tan21tan2

2

.

代入上式得tan

cottan

222tan2

1tan2

当0时,

2

;当2时,

2

2

.

4.高阶导数

1.求下列函数在指定点的高阶导数：

（1）f(x)3x34x25x9，求f(1),f(1),f(4)(1)；（2）f(x)

xx

2

，求f(0),f(1),f(1).

解：（1）f(x)9x28x5，f(x)18x8，f(1)181826，f(x)18，

f(1)18，f(4)(x)0,f(4)(1)0。

（2）f(x)

xx2xx2

22

x

x

1x2

2

x2x2

1

1x322

，

55

32222

f(x)1x2x3x1x，

2

f(0)f(x)x00,f(1)f(x)x13111f(1)f(x)x13(1)1(1)

522

342

，

522

342

。

2.设函数f在点x1处二阶可导，证明：若f(1)0,f(0)0，则在x1处有

dd222

f(x)2f(x)。dxdx

证明：

df(x2)f(x2)2xdx.d2d2

2d2f(x)2f(x)f(x),2f(x)2f(x)f(x)2f(x)2f(x)f(x),dxdxdx

再由条件f(1)0,f(0)0,得

dd2

2222f(x)f(1)212f(1)0,2f(x)2f(1)2f(1)f(1)0,dxdxx1x1

dd2

22f(x)2f(x)。故当x1时,dxdx

3.求下列函数的高阶导数:

(1)f(x)xlnx,求f(x);(2)f(x)ex,求f(x);(3)f(x)ln(1x),求f(5)(x)；

（4）f(x)x3ex，求f(10)(x).

解:(1)f(x)lnxx

22111lnx,故f(x)1lnx.xx2222(2)f(x)ex(2x)2xex,故f(x)2ex2xex(2x)2ex(2x21)

222f(x)f(x)2ex(2x)(2x21)2ex4x(12x8x2)ex.(3)f(x)112331x,f(x)1x,f(x)(2)1x21x.1x

44f(4)(x)2(3)1x61x.

f(5)(x)2(3)(4)1x5241x524

1x5.

(4)由于x33x2,x36x,(x3)6,(x3)(n)0(n4,5,6,),

(ex)(n)ex,所以由莱布尼茨公式有

f(10)(x)(xe)3x(10)k0123C10(x3)(k)(ex)(10k)C10x3exC103x2exC106xexC106ex

k010

0123exC10x3C103x2C106xexC106ex(x330x2270x720)

4.设f为二阶可导函数,求下列各函数的二阶导数:

(1)yf(lnx);(2)yf(xn)nN;(3)yf(f(x)).

解:(1)yf(lnx)11f(lnx)xx

11111yf(lnx)2f(lnx)f(lnx)2f(lnx)f(lnx).xxxxx

(2)yf(xn)nxn1nxn1f(xn).

ynxn1f(xn)n(n1)xn2f(xn)nxn1f(xn)nxn1.

n(n1)xn2f(xn)nxn1f(xn).

(3)yf(f(x))f(x).

yf(f(x))f(x)f(x)f(f(x))f(x)2f(f(x))f(x)f(f(x))f(x).2

5.求下列函数的n阶导数:

(1)ylnx;（2）yax(a0,a1)；（3）ylnx1；（4）y；（5）xx(1x)

xn

f(x)；（6）yeaxsinbx（a,b均为实数）.1x

解:(1)y

y(n)1x1,yx2,y(1)(2)x3,,xn(1)(2)((n1))x(1)n1(n1)!.xn

(2)yaxlna,yaxlnalnaax(lna)2,,y(n)ax(lna)n.(3)y11111x2(1x)2,,y22x(1x)x1xx(1x)y(1)(2)x3(2)(1)(1x)3

2x32(1x)32!x32!(1x)3,

y2(3)x42(3)(1)(1x)4

23x423(1x)4(1)3!x43!(1x)4,y(n)(1)n!xn(n1)n!(1x)(n1)(1)n(1)nn!n!1.n1n!n1n1n1x(1x)(1x)x

1(4)运用莱布尼茨公式以及x

y(n)nk

n(k)(n)(1)n1(n1)!(1)nn!(n)，有n1和lnxnxxn1(nk)n!(1)k1(k1)!(1)nk(nk)!(n1)C(lnx)()lnx(1)n!xkxk!(nk)!xxnk1k0k1

n(1)nn!lnx(1)n1n!n1(1)nn!1.lnxxn1xn1

k1kxn1k1k

xnxn1111xn1(1xx2xn1)(5)f(x)1x1x1x1x1x

n11xk,而xk

1xk0(n)0,(k0,1,,n1),故f(n)1(x)1x(n)n!.n1(1x)

(6)

abyaeaxsinbxeaxbcosbxeax(asinbxbcosbx)a2b2eaxsinbxcosbx2222abab

设sinb

a2b2,cosaa2b2,则

ya2b2aeaxsin(bx)eaxbcos(bx)(a2b)eaxsin(bx)

y(ab)aeaxsin(bx)beaxcos(bx)(a2b2)eaxsin(bx2),,y(n)2122122(ab)eaxsin(bxn).22n2

d2y6.求由下列参数方程所确定的函数的二阶导数:2dx

xacos3t,xetcost(1)(2).3tyasint;yesint

dydydx3asin2tcosttant.解:(1)2dxdtdt3acostsint

ddyd(tant)2dydtdxsec2t1dt.224dtdtdx3acostsint3acostsint

dydydxet(sintcost)costsint(2).dxdtdtet(costsint)costsint

ddy(costsint)2(costsint)2

d2yddydtdx(costsint)2

dtdx2dxdxet(costsint)

22t.e(costsint)2t3(costsint)e(costsint)

37.研究函数f(x)x在处的各阶导数.

x3

解:由于f(x)x3x3x0,x0

x30x3022limx0,f(0)limlim(x)0.于是f(0)limx0x0x0x0x0x0

所以f(0)0,又当x0时,f(x)3x2;当x0时,f(x)3x2,

3x2

所以f(x)23xx0,x0

3x203x20lim3x0,f(0)limlim(3x)0,于是f(0)limx0x0x0x0x0x0

所以f(0)0,又当x0时,f(x)6x;当x0时,f(x)6x.

6xx06x06x06,f(0)lim6,所以f(x),于是f(0)limx0x0x0x06xx0

f(0)f(0),故f(0)不存在.

于是当n3时,f(n)(x)均不存在.

18.设函数yf(x)在点x三阶可导,且f(x)0.若f(x)存在反函数xf(y),试用

f(x),f(x)以及f(x)表示(f1)(y).

解:由反函数求导法则及f(x)0,有(f1)(y)1,f(x)

d1f(x)dxd1d1dxf(x)1f(x)(f1)(y)(f1)(y)dydydxf(x)2f(x)f(x)3f(x)dxf(x)dy

df(x)dx(f1)(y)(f1)(y)3dxf(x)dy

322f(x)f(x)f(x)3f(x)f(x)13f(x)f(x)f(x).65f(x)f(x)f(x)9.设yarctanx.

(1)证明它满足方程(1x2)y2xy0;

(2)求y(n)

x0.

证明:(1)由y12x,,y2221x(1x)

2所以(1x)y2xy(1x)22x12x0.22(1xy)1x

解:(2)yx011x21,yx0

x02x(1x2)20.由于(1x2)y1两边对x求

x0

一次导能够得出(1x2)y2xy0.所以用莱布尼茨公式对(1x2)y1两边n阶导,得(1x2)y(n1)2nxy(n)n(n1)y(n1)0,令x0,得y(n1)

由y(0)0,y(0)1,从而得出y(n)(0)

10.设yarcsinx.

(1)证明它满足方程(1x)y

(2)求y(n)

x0x0n(n1)y(n1)x0,再0n2k,k0,1,2,3,.(1)(2k)!n2k12(n2)(2n1)xy(n1)n2y(n)0(n0);.

11,y证明：(1)由y22xxx1x2xy,1x2

22即有(1x)yxy0.此时n0.对(1x)yxy0等式两边求n阶导数,并用莱布

2(n2)尼茨公式得[(1x)y

即(1x)y

解:(2)2(n2)2nxy(n1)n(n1)y(n)][xy(n1)ny(n)]0,x(2n1)y(n1)n2y(n)0成立.(n0)(1x2)y(n2)(2n1)xy(n1)n2y(n)0中令x0,得递推公式

y(n2)

x0n2y(n)x0,利用此递推公式及yx01,yx00,得y(n)

x00,n2m,.2[(2m1)!!],n2m1.

1

2x11.证明函数f(x)e,x0在x0处n阶可导且f(n)(0)0,其中n为任意正整

x00,

数.

1

f(x)f(0)ext证明:f(0)limlimlimt20.x0x0x0x0xe

故f(0)存在且等于0.

以下用数学归纳法证明f(n)Pn(x)x2(x)3ne,x0,其中Pn(x)为次数不超过3n的多项式.x

112x当n1时,f(x)3e,Pn(x)2,满足上式.x

若f(n)Pn(x)x2(x)3ne,x

(x)[f(n)(x)]e1

x21则f(n1)2Pn(x)x3n3nx3n1Pn(x)2Pn(x)x33nexxx6n1

e1

x22Pn(x)x3Pn(x)3nPn(x)x2

3(n1)x

Pn(x)为次数不超过3n的多项式,故Pn的次数不超过(3n1)的多项式.

于是f(n1)3n,3(3n1),23n}3n23(n1).(x)的分子次数max{

1

故f(n)Pn(x)x2(x)3ne,x0时任意n0均成立.x

1

x2当x0时,ex0,任意mN,故e

(n)m1x是(mN)的高阶无穷小,于是limfx0(n)(x)0f(0).

5．微分

21．若x1，而x0.1,0.01。问对于yx，y与dy之差分别是多少？

解：yf(xx)f(x)(xx)2x22xx(x)2，

dyf(x)x(x2)x2xx，于是ydy2xx(x)22xx(x)2。

当x0.1时，ydy(0.1)20.01。

当x0.01时，ydy(