第二册椭圆的定义-高一数学教案-模板

第二册椭圆的定义_高一数学教案_模板教学目标：

1、椭圆是圆锥曲线的一种，是高中数学教学中的重点和难点，所以这部分内容中的知识点学生必须达到理解、应用的水平；

2、利用投影、计算机模拟动点的运动，增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生的数学想象和抽象思维能力。

教学重点：对椭圆定义的理解，其中a>c容易出错。

教学难点：方程的推导过程。

教学过程：

（1）复习

提问：动点轨迹的一般求法？

（通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内

容与原来所学知识之间的内在联系。并为后面椭圆的标准方程的推导作好准备。）

（2）引入

举例：椭圆是常见的图形，如：汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图，天体中，行星绕太阳运行的轨道等等；

计算机：动态演示行星运行的轨道。

（进一步使学生明确学习椭圆的重要性和必要性，借计算机形成生动的直观，使学生印象加深，以便更好地掌握椭圆的形状。）

（3）教学实施

投影：椭圆的定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）

常数一般用2表示。（讲解定义时要注意条件：）

计算机：动态模拟动点轨迹的形成过程。

提问：如何求轨迹的方程？

（引导学生推导椭圆的标准方程）

板书：椭圆的标准方程的推导过程。（略）

（推导中注意：1）结合已画出的图形建立坐标系，容易为学生所接受；2）在推导过程中，要抓住“怎样消去方程中的根式”这一关键问题，演算虽较繁，也能迎刃而解；3）其中焦点为F1（，0）、F2（c,0）,；4）如果焦点在轴上，焦点为F1（0，）、F2（0,c），只要将方程中，互换就可得到它的方程）

投影：椭圆的标准方程：

（）

（）

投影：例1平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程

（由椭圆的定义可知：所求轨迹为椭圆；则只要求出、、即可）

形成性练习：课本P74：2，3

（4）小结

本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:

①椭圆的定义中,

②椭圆的标准方程中,焦点的位置看,的分母大小来确定

③、、的几何意义

（5）作业

P80：2，4（1）（3）

交集、补集

教学目标：

（1）理解交集与并集的概念；

（2）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；

（3）能用图示法表示集合之间的关系；

（4）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法；

（5）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程；

（6）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯．

教学重点：交集和并集的概念

教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系

教学过程设计

一、导入新课

【提问】

试叙述子集、补集的概念？它们各涉及几个集合？

补集涉及三个集合，补集是由一个集合及其一个子集而产生的第三个集合．由两个集合产生第三个集合不仅有补集，在实际中还有许多其他情形，我们今天就来学习另外两种．

回忆．

倾听．集中注意力．激发求知欲．

巩固旧知．为导入新课作准备．

渗透集合运算的意识．

二、新课

【引入】我们看下面图（用投影仪打出，软片做成左右两向遮启式，便于同学在“动态”中进行观察）．

【设问】

1．第一次看到了什么？

2．第二次看到了什么

3．第三次又看到了什么？

4．阴影部分的周界线是一条封闭曲线，它的内部（阴影部分）当然表示一个新的集合，试问这个新集合中的元素与集A、集B元素有何关系？

【介绍】这又是一种由两个集合产生第三个集合的情况，在今后学习中会经常出现，为方便起见，称集A与集B的公共部分为集A与集B的交集．

【设问】请大家从元素与集合的关系试叙述文集的概念．

【助学】“且”的含义是“同时”，“又”．

“所有”的含义是A与B的公共元素一个不能少．

【介绍】集合A与集合B的交集记作．读做“A交B”·

【助学】符号“”形如帽子戴在头

上，产生“交”的感觉，所以开口向下．切记该符号不要与表示子集的符号“”、“”混淆．

【设问】集A与集B的交集除上面看到的用图示法表示交集外，还可以用我们学习过的哪种方法表示？如何表示？

【设问】与A有何关系？如何表示？与B有何关系？如何表示？

【随练】写出，的交集．

【设问】大家是如何写出的？

我们再看下面的图．

【设问】

1．第一次看到了什么？

2．第二次除看到集B和外，还看到了什么集合？

3．第三次看到了什么？如何用有关集合的符号表示？

4．第四次看到了什么？这与刚才看到的集合类似，请用有关集合的符号表示．

5．第五次同学看出上面看到的集A、集B、集、集、集，它们都可以用我们已经学习过的集合有关符号来表示．除此之外，大家还可以发现什么集合？

6．第六次看到了什么？

7．阴影部分的周界是一条封闭曲线，它的内部（阴影部分）表示一个新的集合，试问它的元素与集A集B的元素有何关系？

【注】若同学直接观察到，第二、三、四次和第五次部分观察活动可不进行．

【介绍】这又是由两个集合产生第三个集合的情形，在今后学习中也经常出现，它给我们由集A集B并在一起的感觉，称为集A集B的并．

【设问】请大家从元素与集合关系仿照交集概念的叙述方法试叙述并集的概念？

【助学】并集与交集的概念仅一字之差，即将“且”改为“或”．或的含义是集A中的所有元素要取，集B中的所有元素也要取．

【介绍】集A与集B的并集记作（读作A并B）．

【助学】符号“”形如“碰杯”时的杯子，产生并的感觉，所以开口向上．切记，不要与“”混淆，更不能与“”等符号混淆．

观察．产生兴趣．

答：图示法表示的集A．

答：图示法表示集B．集A集B的公共部分·

答：公共部分出现阴影．

倾听．观察

思考．答：该集合中所有元素属于集合A且属于集合B．

倾听．理解．

思考．答：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集．

倾听．记忆．

倾听．兴趣记忆．

思考：“列举法还是描述法？”答：描述法．

思考．议论．

口答结合板书．

想象交集的图示，或回忆交集的概念．

口答结合板书：是A的子集．A．是

B的子集．

口答结合板书．

口答：从一个集合开始，依次用其每个元素与另一个集合中的元素对照，取出相同的元素组成的集合即为所求．

答：图示法表示的集A．

答：集A中子集A交B的补集．

答：上述区域出现阴影．

口答结合板书

答：出现阴影．

口答结合板书

认真、仔细、整体的进行观察、想象．答：表示集A集B的两条封闭曲线除去表示交集的封闭曲线剩余部分组成一条封闭曲线的内部所表示的集合．

答：出现阴影．

思考：答：该集合中所有元素属于集合A或属于集合B．

倾听，理解．

回忆交集概念，思考．答：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集．

倾听．比较．记忆．

倾听，记忆．

倾听．兴趣记忆．比较记忆，．

直观性原则．多媒体助学．

用直观、感性的例子为引入交集做铺垫．

渗透集合运算意识．

直观的感知交集．

培养从直观、感性到理性的概括抽象能力．

解决难点．

兴趣激励．比较记忆

培养用描述法表示集合的能力．

培养想象能力．

以新代旧．

突出重点．

概念迁移为能力．

进一步培养观察能力．

培养观察能力

以新代旧．

培养整体观察能力．

培养从直观、感性到理性的概括抽象能力．

解决难点．比较记忆．

兴趣激励，辩易混．比较记忆．

【设问】集A与集B的并集除上面看到的用图示法表示外，还可以用我们学习过的哪种方法表示？如何表示？

【设问】与A有何关系？如何表示？与B有何关系？如何表示？

【随练】写出，的并集．

【设问】大家是如何写出的？

【例1】设，，求（以下例题用投影仪打出，随用随启）．

【助练】本例实为解不等式组，用数轴法找出公共部分，写出即可．

【例2】设，

，求

【例3】设，，求

【例4】设，

，求

【助学】数轴法（略）．想象前面集A集B并集的图示法，类似地，将两个不等式区域并到一起，即为所求．其中元素2虽不属于集A倮属于集B，所以要取，元素1虽不属于集B但属于集A，所以要取，因此，只要将集A的左端点，集B的右端点组成新的不等式区域即为所求（两端点取否维持题设条件）．

【助练】以上例题，当理解并较熟练后，且结果可进一步简化时，中间一步或两步可省略．如例4．

【练习】教材第12页练习1～5．

【助练】

1．全集与其某个子集的交集是哪个集合？

2．全集与其某个子集的并集是哪个集合？

3．两个无公共元素的集合的交集是什么集合？

4．两个无公共元素的集合A、B，它们的并集如何表示？

5．任意集合A与其本身的交集、并集分别是什么集合？如何表示？

6．任意集A与空集的交集、并集分别是什么集合？如何表示？

7．与的关系如何表示？与的关系如何表示？

【例5】设，，求

【助思】

1．集A、集B各是什么集合？

2．如何理解

3．本例实为求两条直线的交点或解二元一次方程组，只不过是从集合的角度提出问题解决问题．

【例6】已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求，，，，

，

【助学】

1．偶数包括哪些数？任意偶数如何表示？偶数集（全体偶数的集合）如何表示？

2．奇数包括哪些数？任意奇数如何表示？奇数集（全体奇数的集合？如何表示？）

【例7】设，，，求，，，．

思考：“列举法还是描述法？”

答：描述法．

思考．议论．

口答结合板书．

或

想象并集的图示，或回忆并集的概念．

口答结合板书：A和B都是的子集．，

口答结合板书：

口答：综合考虑两个集合，从最小数开始，哪个集合的元素都取，一个不能丢，相同元素由集合中元素的互异性只取一次．

审清题意．笔练结合板书．

解：

倾听．理解．

审清题意．口答结合板书．

解：

是直角三角形，且是直角三角形是等腰三角形．

审清题意．口答结合板书．

解：是锐角三角形是钝角三角形是锐角三角形，或是钝角三角形是斜三角形．

审清题意．

画数轴．画出不等式区域．倾听．解：

倾听．理解．

口答结合笔练和板演．

思考．答：子集．

思考．答：全集．

思考．答：空集

思考．议论．答：，或

思考．答：A．，

思考．答：分别是空集和A．

，

思考．答：

审清题意．

思考．议论．答：分别是直线或直线上的点集．或者分别是二元一次方程和二元一次方程的解集．

思考：答：求这两条直线的交点，或求这两个二元一次方程的公共解，即求由这两个二元一次方程组成的二元一次方程组的解．

倾听．理解．掌握．

解：

审题中发现未见过的集合．

思索．

答：0，，等．（）

或{偶数}

答：，等．（）

或（奇数）

解：{奇数}{偶数}

{奇数}Z={奇数}=A．

{偶数}Z={偶数}=B．

{奇数}{偶数}=Z．

{奇数}

{偶数}

审清题意．口答结合板书．

解：

培养用描述法表示集合的能力．

以新代旧．

培养想象能力．

以新代旧．

突出重点．

概念迁移为能力．

突出重点．培养能力．

落实教学目标．

突出重点．培养能力．

三、课堂练习

教材第13页练习1、2、3、4．

【助练习】第13页练习4（1）中用一个方向的斜平行线段表示，用另一方向的平行线段表示如图：

凡有阴影部分即为所求．

【讲解】看图，所得结果实际上还可以看作全集U中子集的补集则有第13页练习4（2）仿上，如图，凡有双向阴影部分即为所求．

【讲解】看图，所得结果实际上还可以看作全集U中子集的补集．则有：以上两个等式称反演律．简记为“先补后并等于先交后补”和“先补后交等于先并后补”．反演律在今后类似问题中给我们带来方便，因为它将三步工作简化为两步工作．

四、小结

提纲式（略）．再一次突出交集和并集两个概念中“且”，“或”的含义的不同．

五、作业

习题1至8．

笔练结合板书．

倾听．修改练习．掌握方法．

观察．思考．倾听．理解．记忆．

倾听．理解．记忆．

回忆、再现学习内容．

落实教学目标

介绍解题技能技巧．

学习内容条理化．

课堂教学设计说明

1．本教学设计方案除继续遵循“集合”方案中的“主体教学思想”外，着力研究直观性原则在教学中的应用及多媒体（投影仪）的助学作用．

2．反演律可根据学生实际酌情使用．

正弦、余弦的诱导公式教学设计示例（一）教学目标：

1．掌握诱导公式及其推演时过程．

2．会应用诱导公式，进行简单的求值或化简．

教学重点：

理解并掌握诱导公式．

教学难点：

运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式．

教学用具：

三角板、圆规、投影仪．

教学过程：

1．设置情境

我们已经学过了诱导公式一：，，，（），有了它就可以把任一角的三角函数求值问题，转化为～间角的三角函数值问题．那么能否再把～间的角的三角函数求值，继续化为我们熟悉的～间的角的三角函数求值问题呢？如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．

2．探索研究

（1）出示下列投影内容

设，对于任意一个到的角，以下四种情形中有且仅有一种成立．

首先讨论，其次讨论，以及的三角函数值与的三角函数值之间的关系，为了使讨论更具一般性，这里假定为任意角．

（2）学习诱导公式二、三的推导过程．

已知任意角的终边与单位圆相交于点，请同学们思考回答点关于轴、轴、原点对称的三个点的坐标间的关系．

点关于轴对称点，关于轴对称点，关于原点对称点（可利用演示课件）．

图1由于角的终边与单位圆交于，则的终边就是角终边的反向延长线，角的终边与单位圆的交点为，则是与关于对称的点．所以，又因单位圆半径，由正弦函数、余弦函数定义，可得

于是得到一组公式（公式二）

我们再来研究角与的三角函数值之间的关系，如图2，利用单位圆作出任意角与单位圆相交于点，角的终边与单位圆相交于点，这两个角的终边关于轴对称，所以

∵

∴

于是又得到一组公式（公式三）

【例1】求下列三角函数值：

（1）（2）；

（3）；（4）．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

【例2】化简：

解：∵

∴原式

（3）推导诱导公式四、五

请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导，与的三角函值之间的关系？由诱导公式我们可以得到

：

由此可得公式四、五

公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式．概括如下：，，，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．

【例3】求下列各三角函数：

（1）；（2）．

解：（1）

（2）

．

观察以上的解题过程，请同学们总结，利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤．

学生回答后老师总结得出，在求任意角的三角函数值时一般可按以下步骤：

运用诱导公式解题的本质是多次运用“化归”思想方法，化负角为正角，化到的角为到间的角，再求值的过程．

3．演练反馈（投影仪）

（1）已知，求的值

（2）已知，求的值

（3）已知，求的值

参考答案：

（1）若为Ⅳ象限角，则

若为Ⅰ象限角，则

（2）

（3）∵

∴

4．本课小结

（1）求任意角的三角函数式的一般程序：负（角）变正（角）→大（角）变小（角）→（一直）变到～之间（能查表）．

（2）变角是有一定技巧的，如可写成，也可以写成不同表达方法，决定着使用不同的诱导公式．

（3）凑角方法也体现出很大技巧。如，已知角“”，求未知角“”，可把改写成．

课时作业：

1．已知，是第四象限角，则的值是（

）

A．B．C．D．

2．下列公式正确的是（

）

A．B．

C．D．

3．的成立条件是（

）

A．为不等于的任意角B．锐角

C．D．，且

4．在中，下列各表达式为常数的是（

）

A．B．

C．

D．

5．化简

（1）

（2）

6．证明恒等式

参考答案：

1．A；

2．D；

3．D；

4．C；

5．（1）0，（2）；

6．左

右

教学目标：

1．理解函数的概念，了解函数三要素．

2．通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高．

3．通过函数定义由变量观点向映射观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学学习．

教学重点难点：重点是在映射的基础上理解函数的概念；

难点是对函数抽象符号的认识与使用．

教学用具：投影仪

教学方法：自学研究与启发讨论式．

教学过程：

一、复习与引入

今天我们研究的内容是函数的概念．函数并不象前面学习的集合，映射一样我们一无所知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对函数的认识，如函数是什么?学过什么函数?

(要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子)

学生举出如等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教师也举一个例子，问学生．

提问1．是函数吗?

(由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认为是函数，理由是可以可做．)

教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化．

二、新课

现在请同学们打开书翻到第50页，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．(约2-3分钟或开始提问)

提问2．新的函数的定义是什么?能否用最简单的语言来概括一下．

学生的回答往往是把书上的定义念一遍，教师可以板书的形式写出定义，但还要引导形式发现定义的本质．

(板书)2．2函数

一、函数的概念

1．定义：如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射就叫做A到B的函数，记作．其中原象集合A称为定义域，象集C称为值域．

问题3：映射与函数有何关系?(函数一定是映射吗?映射一定是函数吗?)

引导学生发现，函数是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的数集．

2．本质：函数是非空数集到非空数集的映射．(板书)

然后让学生试回答刚才关于是不是函数的问题，要求从映射的角度解释．

此时学生可以清楚的看到满足映射观点下的函数定义，故是一个函数，这样解释就很自然．

教师继续把问题引向深入，提出在映射的观点下如何解释是个函数?

从映射角度看可以是其中定义域是，值域是．

从刚才的分析可以看出，映射观点下的函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质．这也是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要．所以我们着重从映射角度再来认识函数．

3．函数的三要素及其作用(板书)

函数是映射，自然是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．

例