2013年数学高考题分类解析考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差

高考试题分类解析,因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.15.（2013·陕西高考理科·Ｔ19）在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率.(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.【解题指南】利用相互独立事件的概率乘法公式即可得解;通过确定随机变量X的取值,求随机变量X的分布列,求随机变量X的数学期望三步完成.【解析】(1)设事件A表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为。所以P(A)=.因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为.(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3.观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙、丙选中3号歌手的概率为。当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P(X=0)=.当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，P(X=1)=.当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X=2，P(X=2)=.当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3，P(X=3)=.X的分布列如下表：X0123P所以，数学期望.16.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ19）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量.T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将T表示为x的函数（2）根据直方图估计利润T，不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入的频率），求T的数学期望。【解题指南】（1）依题意，可求得T关于x的分段函数;(2)由频率分布直方图可知，知利润T不少于57000元当且仅当用频率估计概率，可概率的估计值；（3）由分布列，代入期望公式，得所求.【解析】（1）当时，，当时，所以（2）由（1）知利润T不少于57000元当且仅当由直方图知需求量的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以ET＝17.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ19）一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.【解题指南】（Ⅰ）由事件的独立性和互斥性，并结合产品通过检验的情形确定这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）根据题意，先确定的可能取值，然后求出相应的概率，列出分布列利用期望公式求出期望.【解析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的4件产品全是优质品为事件,第二次取出的1件产品是优质品为事件，这批产品通过检验为事件.依题意有，且A1B1与A2B2互斥,所以.（Ⅱ）的可能取值为，，,所以的分布列为（元）18.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ20）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.（=1\*ROMANI）求第局甲当裁判的概率；（=2\*ROMANII）表示前局中乙当裁判的次数，求的数学期望.【解析】（=1\*ROMANI）记表示事件“第2局结果为甲胜”，表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，表示事件“第4局甲当裁判”.则..方法一：（=2\*ROMANII）的可能值为记表示事件“第3局乙和丙参加比赛时，结果为乙胜丙”，表示事件“第1局结果为乙胜丙”，表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”，,,,方法二：（=2\*ROMANII）由于第一局甲当裁判，乙可能当裁判次数的可能值为0,1,2当裁判次数为0：乙第一局，第二局与第三局赢，第四局决定第五局裁判权，所以不用管第四局输赢.所以.当裁判次数为1：有三种情况第一局乙输，第二局乙当裁判，第三局乙赢，概率为；第一局乙赢，第二局乙输，第三局当裁判，概率为第一局乙赢，第二局乙赢，第三局乙输，第四局当裁判概率为。所以.当裁判次数为2：第一局乙输，第二局当裁判，第三局乙输，第四局当裁判.所以.的分布列为所以.19.（2013·辽宁高考理科·Ｔ19）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。求张同学至少取到1道乙类题的概率；已知所取到的3道题中有2道甲类题，1道乙类题。设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立。用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望。【解题指南】诸如“至少有一个”等问题，可以结合对立事件的概率来求解；对于随机变量的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时对应的事件及其概率，列出其分布列，正确应用均值公式进行计算【解析】记事件“张同学所取的3道题至少取到1道乙类题”；则“张同学所取的3道题全为甲类题”；事件“张同学所取的3道题全为甲类题”共有种取法；而“从10道题中任取3道题”共有种取法；所以故所以张同学至少取到1道乙类题的概率为张同学答对题的个数的可能值为0，1，2，