2025届高考数学一轮知能训练第七章解析几何第7讲抛物线含解析

PAGE5-第7讲抛物线1．过抛物线y2＝4x的焦点F且斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A，B两点(xA>xB)，则eq\f(|AF|,|BF|)＝()A.eq\f(3,2)B.eq\f(3,4)C．3D．22．如图X7­7­1，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为eq\r(3)的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()图X7­7­1A．4B．3eq\r(3)C．4eq\r(3)D．83．(2024年新课标Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为eq\r(3)的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.eq\r(5)B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．3eq\r(3)4．(2024年新课标Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝eq\f(k,x)(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．25．已知不过原点O的直线交抛物线y2＝2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA＝2，kAB＝6，则OB的斜率为()A．3B．2C．－2D．－36．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(eq\r(5)，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比eq\f(S△BCF,S△ACF)＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6)D.eq\f(6,7)7．(2024年新课标Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．108．如图X7­7­2，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是()图X7­7­2A．(2,6)B．(6,8)C．(8,12)D．(10,14)9．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq\r(3)，则()A．|BF|＝3B．△ABF是等边三角形C．点F到准线的距离为3D．抛物线C的方程为y2＝6x10．(2024年新课标Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.11．(2024年新课标Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝eq\f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．12．(2024年新课标Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求直线l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

第7讲抛物线1．D解析：设直线方程为y＝2eq\r(2)(x－1)，与y2＝4x联立，得2x2－5x＋2＝0，∴(2x－1)(x－2)＝0，∴x1＝eq\f(1,2)，x2＝2.∵xA>xB，∴xA＝2，xB＝eq\f(1,2).∴eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xA＋\f(p,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xB＋\f(p,2))))＝eq\f(2＋1,\f(1,2)＋1)＝2.故选D.2．C解析：由题意可得F(1,0)，直线AF：y＝eq\r(3)(x－1)，代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝eq\f(1,3).由于点A在x轴上方，∴其坐标为(3,2eq\r(3))．∵|AF|＝|AK|＝3＋1＝4，AF的斜率为eq\r(3)，即倾斜角为60°，∴∠KAF＝60°，∴△AKF为等边三角形，∴△AKF的面积为eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3).3．C解析：由抛物线的定义，知|MN|＝|MF|，明显△MNF为正三角形，|MN|＝|MF|＝|NF|＝4，则M到直线NF的距离为2eq\r(3).故选C.4．D解析：∵F为抛物线y2＝4x的焦点，∴F(1,0)．又∵曲线y＝eq\f(k,x)(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．∴k＝2.故选D.5．D解析：方法一，∵点A，B均在抛物线y2＝2px上，∴设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),2p)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),2p)，y2)).∵kOA＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),2p))＝eq\f(2p,y1)＝2，∴p＝y1.由kAB＝eq\f(y2－y1,\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),2p))＝eq\f(2p,y1＋y2)＝6，知y1＋y2＝eq\f(p,3)，∴y2＝－eq\f(2p,3).∴kOB＝eq\f(y2,\f(y\o\al(2,2),2p))＝eq\f(2p,y2)＝－3.方法二，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),2p)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),2p)，y2))，kOA＝eq\f(2p,y1)，kOB＝eq\f(2p,y2)，kAB＝eq\f(y2－y1,\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),2p))＝eq\f(2p,y1＋y2).由eq\f(y1＋y2,2p)＝eq\f(y1,2p)＋eq\f(y2,2p)，知eq\f(1,kAB)＝eq\f(1,kOA)＋eq\f(1,kOB)，结合kOA＝2，kAB＝6.∴eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,kOB)，解得kOB＝－3.6．D解析：设直线x＝my＋eq\r(5)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\r(5),y2＝4x))，y2－4my－4eq\r(5)＝0，B(2，－2eq\r(2))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\r(10)))eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(BB1,AA1)＝eq\f(3,xA＋1)＝eq\f(3,\f(5,2)＋1)＝eq\f(6,7).7．A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，E(x4，y4)，直线l1的方程为y＝k(x－1)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，有x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2).同理设直线l2的方程为y＝－eq\f(1,k)(x－1)，有x3＋x4＝2＋4k2.由抛物线的定义，可得|AB|＋|DE|＝x1＋x2＋x3＋x4＋2p＝2＋eq\f(4,k2)＋2＋4k2＋4＝8＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋k2))≥8＋4×2eq\r(\f(1,k2)·k2)＝16，当且仅当k2＝1，k＝±1时等号成立．故选A.8．C解析：抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得|AF|＝xA＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，∴△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，则xB∈(2,6)，∴6＋xB∈(8,12)，故选C.9．BCD10．2解析：设直线方程x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋1，))y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.又∠AMB＝90°，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(my1＋2，y1－1)·(my2＋2，y2－1)＝0.整理，得(m2＋1)y1y2＋(2m－1)(y1＋y2)＋5＝0.代入，得4m2－4m＋1＝0.∴m＝eq\f(1,2)，k＝2.11．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，y1＝eq\f(x\o\al(2,1),4)，y2＝eq\f(x\o\al(2,2),4)，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝1.(2)由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2)，设M(x3，y3)，由题设知eq\f(x3,2)＝1，x3＝2，则M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，代入y＝eq\f(x2,4)，得x2－4x－4m＝0，又Δ＝16＋16m>0，∴m>－1.故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|，|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\r(2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4eq\r(2m＋1)，由AM⊥BM，有|AB|＝2|MN|，即4eq\r(2m＋1)＝2(m＋1)．解得m＝7.∴直线AB的方程为y＝x＋7.12．解：(1)由题意，得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由题设知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此直线l的方程为y＝x－1.(2)由(1)，得AB的中点坐标为(3,2)，∴AB的垂直平分线方