2024级高一上期期中测试数学试题含答案

2024级高一上期期中测试数学试题第I卷（选择题）一､单选题（每小题5分，共计40分）1.已知命题，，命题p的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．【详解】命题，的否定是：，故选：D2.已知集合，若，则实数的值不可以为（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】D【解析】【分析】首先要理解集合的概念，对于集合，通过求解方程得到集合中的元素.因为，这意味着，所以要对集合中的方程进行分析，分情况讨论的值，看哪些值满足.【详解】对于方程，分解因式可得，解得或者，所以.对于方程，其解为或者.因为，这意味着.当时，方程变为，此时，满足.当时，，此时，满足.当且时，.因为，所以，解得，此时，满足.综上，实数的值可以为、、，所以实数的值不可以为除、、之外的值.故选：D.3.下列函数既是奇函数又在单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据基本函数的单调性，结合奇偶性的定义即可逐一求解.【详解】对于A,函数在单调递减，故不符合要求，对于B，单调递减，故不符合要求，对于D,为对勾函数，故在单调递增，在单调递减，故不符合要求，对于C，由于的定义域为，关于原点对称，且故为奇函数，且函数均为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，符合要求，故选：C4.已知，若的解集为，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知函数的解集，再结合函数关于y轴对称得出图象.【详解】由的解集为，可知函数的大致图象为选项D中的图象，又函数与的图象关于y轴对称,可得出图象为C选项.故选:C．5.已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合选项，根据二次函数的性质求解判断.【详解】函数对称轴为，当时，当时，当时，值域为，故A错误；当时，当时，当时，值域为，故B正确；当时，当时，当时，值域为，故C错误；当时，当时，当时，值域，故D错误.故选：B.6.“函数的定义域为R”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由函数的定义域为R，即对任意x∈R恒成立，可得a的范围，则可得“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件.【详解】因为函数的定义域为R，所以对任意x∈R恒成立，①当时，对任意x∈R恒成立；②当时，只需，解得：；所以.记集合，.因为A⫋B，所以“函数定义域为R”是“”的必要不充分条件.故选：B.7.已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（）A.m≥2 B.m≥4 C.m≥6 D.m≥8【答案】D【解析】【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.【详解】不等式可化为，又，，所以，令，则，因为，，所以，当且仅当时等号成立，又已知在上恒成立，所以因为，当且仅当时等号成立，所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，所以m的取值范围是，故选：D.8.已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解.【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有，所以为定值，设，可得，又由，可得，解得或（舍去），所以，则方程，即，即，则关于的方程恰有两个实数根，即，即函数和有两个交点，设，则，即且，可得，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以，且，当时，，要使得方程恰有两个实数根，可得，解得，即实数的取值范围为.故选：C.二､多选题（每小题6分，共计18分）9.对于任意实数，，，，下列四个命题中为假命题的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则【答案】AD【解析】【分析】利用特殊值判断A、D，根据不等式的性质判断B、C.【详解】对于A，当时，满足条件，，但是，所以A为假命题；对于B，因为，所以，所以，所以成立，所以B为真命题；对于C，因为，所以且，所以，所以C为真命题；对于D，当，，，时，满足条件，，但是，所以D为假命题．故选：AD．10.已知a，b为正实数，且，则（）A.的最大值为4B.的最小值为18C.的最小值为4D.的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，a，b为正实数，且，对于A，因为，当且仅当时取等号，解不等式得，即，故的最大值为，所以A正确；对于B，，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值18，所以B正确；对于C，由，当且仅当时，等号成立，可得，解得，即的最小值为4，所以C正确；对于D，，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，所以D错误.故选：ABC.11.定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（）A.在上单调递增 B.C.在上单调递减 D.若正数满足，则【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D.【详解】对于任意，，所以，所以在上单调递增，故选项A正确；因为的定义域为，所以，所以为奇函数，所以，由在上单调递增，所以，故选项B正确；对于任意，，因为，，所以，所以，所以在上单调递增，故选项C错误；，即，又，所以，因为在上单调递增，所以，解得，即，故选项D正确.故选：ABD第II卷（非选择题）三､填空题（每小题5分，共计15分）12.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据求定义域的法则求解.【详解】要使函数有意义，需满足，即，则函数的定义域为，故答案为：.13.函数，若，则__________.【答案】【解析】【分析】根据函数各段的定义域，分，两种情况，由求解.【详解】当时，则，因，所以，即，解得或（舍去），所以.当时，则，因为，所以无解.综上：故答案为：4【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.14.已知函数fx,gx的定义域为的图象关于直线对称，且，，若，则______.【答案】【解析】【分析】由y=fx的图象关于直线对称，得，由，得，结合，得，进而代入相关值求结果即可.【详解】因为y=fx的图象关于直线对称，则，又，则①，因为，则②，①②得，则令，得，令，得，由，得，由，得，则，所以，故答案为：.四､解答题（共计77分）15.已知定义在上的函数满足：．（1）求函数的表达式；（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可；（2）要使在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可.【小问1详解】将的替换为得，联立解得【小问2详解】不等式为，化简得，要使其上恒成立，则，，当且仅当取等，所以．16.设集合，.（1）若，求实数的值；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可.（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可.【小问1详解】由，所以或，故集合.因为，所以，将代入中的方程，得，解得或，当时，，满足条件；当时，，满足条件，综上，实数的值为或.【小问2详解】因为“”是“”的必要条件，所以.对于集合，.当，即时，，此时；当，即时，，此时；当，即时，要想有，须有，此时：，该方程组无解.综上，实数的取值范围是.17.如图，正方形的边长为1，，分别是和边上的点.沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点.（1）证明：的周长为定值.（2）求的面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设，利用对称性，找到之间的关系，再由相似三角形的性质，利用周长比等于相似比建立关系，得到的周长表达式，化简证明即可；（2）由面积比等于相似比的平方建立关系，得到面积的表达式，消元后利用基本不等式求解最值.【小问1详解】设，，则，由勾股定理可得，即，由题意，，即，可知∽，设的周长分别为，则.又因为，所以，的周长为定值，且定值为.【小问2详解】设的面积为，则，因为，所以，.因为，则，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，满足.故的面积的最大值为.18.已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求函数的解析式；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式．【答案】（1），（2）减函数；证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可.（2）利用函数单调性定义证明即可.（3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可.【小问1详解】函数是定义在上的奇函数，；，解得，∴，而，解得，∴，．【小问2详解】函数在上为减函数；证明如下：任意且，则因为，所以，又因为，所以，所以，即，所以函数在上为减函数．【小问3详解】由题意，，又，所以，即解不等式，所以，所以，解得，所以该不等式的解集为．19.若函数的定义域为，集合，若存在正实数，使得任意，都有，且，则称在集合上具有性质.（1）已知函数，判断在区间上是否具有性质，并说明理由；（2）已知函数，且在区间上具有性质，求正整数的最小值；（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且在上具有性质，求实数的取值范围.【答案】（1）不具有，理由见解析（2）2（3）【解析】【分析】（1）结合定义举出反例即可得；（2）由题意可得，即可转化为对任意恒成立，构造相应函数，借助二次函数的性质即可得解；（3）由题意结合奇函数的性质可得，再证明时，在R上具有性质即可得.【小问1详解】，当时，，故在区间−1,0上不具有性质；【小问2详解】函数的定义域为R，对任意，则，在区间0,1上具有性质，则，即，因为是正整数，化简可得：对任意恒成立，设，其对称轴为，则在区间上是严格增函数，所以，，解得，故正整数的最小值为2；【小问3详解】法一：由是定义域为R上的奇函数，则，解得，若，，有恒成立，所以符合题意，若，当时，，所以有，若在R上具有性质，则对任意x∈R恒成立，在上单调递减，则，x不能同在区间内，，又当时，，当时，，若时，今，则，故，不合题意；，解得，下证：