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高考模拟试题PAGEPAGE1宿州市2023届高三教学质量检测数学试题一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则的元素个数为()A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗解出集合再根据交集运算求出即可得出结果.〖详析〗由题意可得,,根据交际运算可得,所以的元素个数为2.故选:C2.设复数z满足,则z=()A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗〖详析〗由得=,故选A.〖考点定位〗本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现,属容易题,主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.3.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据二倍角的余弦公式以及充分、必要条件的定义即可得出结论.〖详析〗由可得,即充分性成立;当时,可得;所以必要性不成立;所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A4.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方,如图所示,将1,2,3,…,9填入的方格内,使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等,便得到一个3阶幻方.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,填入个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等,这个正方形叫作n阶幻方.记n阶幻方的数的和(即方格内的所有数的和)为,如,那么下列说法错误的是()A.B.7阶幻方第4行第4列的数字为25C.8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260D.9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根据n阶幻方的定义,n阶幻方的数列有项,为首项为1,公差为1的等差数列,故,每行、每列、每条对角线上的数的和均为,且n为奇数时,n阶幻方行列的数字为该数列的中间值.〖详析〗根据n阶幻方的定义,n阶幻方的数列有项,为首项为1,公差为1的等差数列,故,每行、每列、每条对角线上的数的和均为.对A,,A对;对B,7阶幻方有7行7列,故第4行第4列的数字该数列的中间值,即,B对;对C,8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为,C对;对D,9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为,D错.故选:D5.函数的图象大致是()A.B.C.D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据奇函数的定义证明为奇函数,再求函数的零点,通过取特殊值确定正确选项.〖详析〗函数的定义域为,又可化为,所以,所以函数为奇函数,所以函数的图象关于原点对称,C,D错误;令,可得,解得或(舍去),所以函数的零点为,,取可得,B错误,故选:A.6.设,若,则()A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根据二项展开式分别求出的表达式,解方程即可求得结果.〖详析〗由题可知,,所以;同理可得;由可得,即,所以,即,解得.故选:D7.已知是双曲线上不同的三点,且,直线AC,BC的斜率分别为,(),若的最小值为1,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据向量共线可知两点关于原点对称,分别设出三点的坐标,利用点差法点差法表示出和,根据基本不等式求得取最小值时满足,计算即可求得离心率.〖详析〗根据题意,由可得原点是的中点,所以两点关于原点对称;不妨设,因为,所以,易知,又因为A、B,C都在双曲线上,所以,两式相减可得,即,所以,由基本不等式可知,当且仅当时等号成立;所以,即,可得,即离心率.故选:A.8.已知,,,则()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由作差法,结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得,即可判断大小.〖详析〗由,,,∴,∴,,∴.故选:B.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知平面向量,,,则下列说法正确是()A.若,则 B.若,则C.若,则向量在上的投影向量为 D.若,则向量与的夹角为锐角〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确;根据投影向量定义可得向量在上的投影向量为,即C错误;由可得,但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角,可得D错误.〖详析〗若,根据平面向量共线性质可得,即,所以A正确;若,可得,即,解得,所以B正确;若,,由投影向量定义可知向量在上的投影向量为,即C错误;若,则,所以;但当时,,即此时向量与的夹角为零角,所以D错误.故选:AB10.已知函数,其图象相邻对称轴间的距离为,点是其中一个对称中心,则下列结论正确的是()A.函数的最小正周期为B.函数图象的一条对称轴方程是C.函数在区间上单调递增D.将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的一半,再把得到的图象向左平移个单位长度,可得到正弦函数的图象〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗由周期求出,由图像的对称性求出的值,可得的〖解析〗式,再利用正弦函数的图像和性质,得出结论.〖详析〗已知函数(,),其图像相邻对称中轴间的距离为,故最小正周期,,点是其中一个对称中心,有,,,由,∴,可以求得.最小正周期,故选项正确;由于,所以是函数图象的一条对称轴方程,故选项正确;时,正弦曲线的先增后减,故选项错误;将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的一半,再把得到的图像向左平移个单位长度,可得到,选项D错误.故选:.11.已知,且,则下列不等关系成立的是()A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗〖祥解〗利用基本不等式易知选项AB正确;利用对数运算法则和重要不等式可知C正确;将不等式化简整理可得,构造函数利用函数单调性即可证明D错误.〖详析〗由基本不等式可知,,当且仅当时,等号成立,即A正确;易知,当且仅当时,等号成立,即B正确;由重要不等式和对数运算法则可得:,当且仅当且仅当时,等号成立,即C正确;由可得,所以,若,即证明,即即需证明,令函数,则,当时,,即在上单调递增,所以时,解不等式可得即可,即时不等式成立;当时,,即在上单调递减,解不等式可得,即时不等式才成立;综上可知,当时,不等式才成立,所以D错误.故选:ABC12.棱长为2的正方体中,E,F,G分别为棱AD,,的中点,过点E,F,G的平面记为平面,则下列说法正确的是()A.平面B.平面C.平面截正方体外接球所得圆的面积为D.正方体的表面上与点E的距离为的点形成的曲线的长度为〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗建立空间直角坐标系,如图所示,对AB,利用向量法判断线面平行、线面垂直;对C,由向量法求点面距离判断外接球到及所截圆心重合,进而可求面积;对D,将所求曲线转化为球截面上的圆弧长,进而逐个表面讨论即可.〖详析〗建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,对A,设平面的法向量为,,,,则有,令得,由,而FG不在平面ACB1中,故平面,A对;对B,,,由,,∵平面,故平面,B对;对C,设,则O为正方体外接球心,,外接球半径,设平面,由,,平面,则,故与重合,故平面截正方体外接球所得圆的面积为,C错;对D,由题意,所求的点可看作正方体与半径为的球E的交点,则由球的性质,在表面上,∵,故只有两个交点,不形成曲线;在表面上,形成的曲线为以为圆心,半径为的圆与正方形交得的圆弧,长度为;在表面上,形成的曲线为以中点为圆心,半径为的圆与正方形交得的圆弧,长度为.由正方体的对称性,所求的曲线长度为,D对.故选:ABD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.一组样本数据:,,,,,由最小二乘法求得线性回归方程为,若,则实数a的值为______.〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗求出中心点,由线性回归方程过中心点列方程求解.〖详析〗,,由线性回归方程过中心点得.故〖答案〗为:514.若抛物线C:存在以点为中点的弦,请写出一个满足条件的抛物线方程为_______.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗〖祥解〗抛物线存在以点为中点的弦,则该点在抛物线开口内,列式求解即可.〖详析〗抛物线存在以点为中点的弦,则该点在抛物线开口内,即当时,.可取,则满足条件的抛物线方程为.故〖答案〗为:(〖答案〗不唯一)15.已知数列的前n项和为,且,则数列的前n项和______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根据给定的递推公式求出数列的通项,再利用裂项相消法求解作答.〖详析〗数列的前n项和为,,,当时,,两式相减得:,即,而,解得,因此数列是首项为2,公比为2的等比数列,,,所以.故〖答案〗为:16.已知函数(e为自然对数的底数),若在上恒成立,则实数a的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗先将命题转化为在上恒成立,令,运用二阶求导法讨论的单调性及最值,对a分类讨论,利用最小值列不等式求解即可.〖详析〗由,令,令,则在上单调递增,.(1)当时,恒成立,即函数在上单调递增,则有,解得;(2)当时,则存在使得,则时,,在上单调递减;时,,在上单调递增.∴,又,∴.∵,令,,则,∴在上单调递减.则,故.综上,.故〖答案〗为:〖『点石成金』〗含参不等式恒成立问题,一般构建函数,利用导数研究函数的单调性及最值,对参数分类讨论,将问题转化为函数最值的不等式求解.四、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.(1)求角A的大小;(2)求的取值范围.〖答案〗(1)(2)〖解析〗〖祥解〗(1)由正弦定理,将角化边,再根据余弦定理,求解即可.(2)由(1)可知,,则,根据正弦型三角函数的图象和性质,求解即可.〖小问1详析〗由正弦定理可得,即,由余弦定理的变形得,又,所以.〖小问2详析〗由得,且,所以,所以,因为,从而,所以,从而.即的取值范围为.18.如图,四棱锥中,底面ABCD,,,,,为棱靠近点的三等分点.
(1)证明:平面;(2)求与平面所成的角的正弦值.〖答案〗(1)证明见〖解析〗(2)〖解析〗〖祥解〗(1)记为棱靠近点的三等分点,连接,证明,根据线面平行判定定理证明平面;(2)建立空间直角坐标系,求直线的方向向量和平面的法向量,根据向量夹角公式求两向量的夹角余弦,由此可得与平面所成的角的正弦值.〖小问1详析〗记为棱靠近点的三等分点,连接又为棱靠近点的三等分点.所以,且,又且,所以且,即四边形ADEF为平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面.〖小问2详析〗在BC上取一点G,使得,所以,又,知四边形AGCD为矩形,从而,又底面ABCD,所以AG,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,AG,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,从而,,,设平面的法向量为,则,即,取,可得,为平面PBC的一个法向量,则,设与平面所成的角为,则,即与平面所成的角的正弦值为.19.在数列中,,且.(1)令,证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;(2)记数列的前n项和为,求.〖答案〗(1)证明见〖解析〗,(2)297〖解析〗〖祥解〗(1)由递推关系结合等差数列定义证明数列为等差数列,再由等差数列通项公式求数列的通项;(2)由递推关系证明,利用等差数列求和公式和组合求和法求.〖小问1详析〗因为,所以,即,又,所以,又,所以,数列为以1为首项,4为公差的等差数列,所以.〖小问2详析〗因为,所以,即所以.20.宿州号称“中国云都”,拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地,是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力,现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析,若一次抽取2个机房,全是小型机房的概率为.(1)求n的值;(2)若一次抽取3个机房,假设抽取的小型机房的个数为X,求X的分布列和数学期望.〖答案〗(1)4(2)分布列见〖解析〗,〖解析〗〖祥解〗(1)根据古典概型计算公式可得,即可解得;(2)易知随机变量X的可能取值,利用超几何分布可求得其对应概率即可得分布列和期望值.〖小问1详析〗由题知,共有个机房,抽取2个机房有种方法,其中全是小机房有种方法,因此全是小机房的概率为,解得.即n的值为4.〖小问2详析〗X的可能取值为0,1,2,3.,,,.则随机变量X的分布列为X0123P则X的数学期望.21.已知椭圆左,右焦点分别为,,离心率为,M为椭圆上异于左右顶点的动点,的周长为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点M作圆的两条切线,切点分别为,直线AB交椭圆C于P,Q两点,求的面积的取值范围.〖答案〗(1)(2)〖解析〗〖祥解〗(1)根据椭圆离心率和焦点三角形周长可求得,即可得出椭圆C的标准方程;(2)易知的轨迹是以OM为直径的圆与圆的交点,求出AB所在的直线方程,并于椭圆方程联立根据弦长公式求得的面积的表达式,再化简变形构造函数即可求得其取值范围.小问1详析〗设椭圆焦距为2c,根据椭圆定义可知,的周长为,离心率联立,解得,,所以,即椭圆C的标准方程.〖小问2详析〗设点,又为切点,可知,所以四点共圆,即在以OM为直径圆上,则以OM为直径的圆的方程为,又在圆上,两式相减得直线AB的方程为,如下图所示:设,,由,消去y整理后得,,,所以,又点O到直线PQ的距离,设的面积为S,则,其中,令,则,设,,则,所以在区间上单调递增,从而得,于是可得,即的面积的取值范围为.〖『点石成金』〗关键点『点石成金』:本题关键在于根据过点M的两条切线求出切点所在的直线方程,并与椭圆联立利用韦达定理和弦长公式求出面积的表达式,再通过构造函数利用导数研究单调性求面积取值范围即可.22.已知函数(e为自然对数的底数),a,.(1)当时,讨论在上的单调性;(2)当时,若存在,使,求a的取值范围.〖答案〗(1)〖答案〗见〖解析〗(2)〖解析〗〖祥解〗(1)对a分类讨论,由导数法求函数单调性;(2)法一,由分离变量法,转为由导数法研究函数最值,得出结论;法二,将函数拆分为前后两个函数,对a分类讨论,由导数法分别研究两函数单调性及最值,得出结论;〖小问1详析〗当时,,的定义域为,,当,即时,且不恒为0,所以在上单调递增;当时,方程有两不等正根,结合定义域由可得,由可得,所以在区间上单调递减,在区间和上单调递增;当时,方程有一负根和一正根,结合定义域由可得,由可得,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增.综上可知:当时,在区间上单调递减,在区间和上单调递增;当时,在上单调递增;当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增.〖小问2详析〗法一:分离变量可得:,令,,则,易得当时,,且,从而,所以在单调递减,于是.即a的取值范围为.法二:当时,,令,,则,即为,而在上单调递减,所以当时,,又,i.当,即时,,符合题意;ii.当时,由(1)知在上是增函数,恒有,故不存在,使;iii.当时,由于时,,所以,令,则,所以在上是增函数,最大值为,又,所以,此时恒有,因此不存,使.综上可知,,即a的取值范围为.〖『点石成金』〗函数不等式恒成立或可能成立问题,一般可用分离变量法,转为由导数法研究函数最值,得出结论;或采用分类讨论法,由导数法研究函数单调性及最值,得出结论;高考模拟试题PAGEPAGE1宿州市2023届高三教学质量检测数学试题一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则的元素个数为()A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗解出集合再根据交集运算求出即可得出结果.〖详析〗由题意可得,,根据交际运算可得,所以的元素个数为2.故选:C2.设复数z满足,则z=()A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗〖详析〗由得=,故选A.〖考点定位〗本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现,属容易题,主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.3.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据二倍角的余弦公式以及充分、必要条件的定义即可得出结论.〖详析〗由可得,即充分性成立;当时,可得;所以必要性不成立;所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A4.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方,如图所示,将1,2,3,…,9填入的方格内,使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等,便得到一个3阶幻方.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,填入个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等,这个正方形叫作n阶幻方.记n阶幻方的数的和(即方格内的所有数的和)为,如,那么下列说法错误的是()A.B.7阶幻方第4行第4列的数字为25C.8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260D.9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根据n阶幻方的定义,n阶幻方的数列有项,为首项为1,公差为1的等差数列,故,每行、每列、每条对角线上的数的和均为,且n为奇数时,n阶幻方行列的数字为该数列的中间值.〖详析〗根据n阶幻方的定义,n阶幻方的数列有项,为首项为1,公差为1的等差数列,故,每行、每列、每条对角线上的数的和均为.对A,,A对;对B,7阶幻方有7行7列,故第4行第4列的数字该数列的中间值,即,B对;对C,8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为,C对;对D,9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为,D错.故选:D5.函数的图象大致是()A.B.C.D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据奇函数的定义证明为奇函数,再求函数的零点,通过取特殊值确定正确选项.〖详析〗函数的定义域为,又可化为,所以,所以函数为奇函数,所以函数的图象关于原点对称,C,D错误;令,可得,解得或(舍去),所以函数的零点为,,取可得,B错误,故选:A.6.设,若,则()A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根据二项展开式分别求出的表达式,解方程即可求得结果.〖详析〗由题可知,,所以;同理可得;由可得,即,所以,即,解得.故选:D7.已知是双曲线上不同的三点,且,直线AC,BC的斜率分别为,(),若的最小值为1,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据向量共线可知两点关于原点对称,分别设出三点的坐标,利用点差法点差法表示出和,根据基本不等式求得取最小值时满足,计算即可求得离心率.〖详析〗根据题意,由可得原点是的中点,所以两点关于原点对称;不妨设,因为,所以,易知,又因为A、B,C都在双曲线上,所以,两式相减可得,即,所以,由基本不等式可知,当且仅当时等号成立;所以,即,可得,即离心率.故选:A.8.已知,,,则()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由作差法,结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得,即可判断大小.〖详析〗由,,,∴,∴,,∴.故选:B.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知平面向量,,,则下列说法正确是()A.若,则 B.若,则C.若,则向量在上的投影向量为 D.若,则向量与的夹角为锐角〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确;根据投影向量定义可得向量在上的投影向量为,即C错误;由可得,但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角,可得D错误.〖详析〗若,根据平面向量共线性质可得,即,所以A正确;若,可得,即,解得,所以B正确;若,,由投影向量定义可知向量在上的投影向量为,即C错误;若,则,所以;但当时,,即此时向量与的夹角为零角,所以D错误.故选:AB10.已知函数,其图象相邻对称轴间的距离为,点是其中一个对称中心,则下列结论正确的是()A.函数的最小正周期为B.函数图象的一条对称轴方程是C.函数在区间上单调递增D.将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的一半,再把得到的图象向左平移个单位长度,可得到正弦函数的图象〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗由周期求出,由图像的对称性求出的值,可得的〖解析〗式,再利用正弦函数的图像和性质,得出结论.〖详析〗已知函数(,),其图像相邻对称中轴间的距离为,故最小正周期,,点是其中一个对称中心,有,,,由,∴,可以求得.最小正周期,故选项正确;由于,所以是函数图象的一条对称轴方程,故选项正确;时,正弦曲线的先增后减,故选项错误;将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的一半,再把得到的图像向左平移个单位长度,可得到,选项D错误.故选:.11.已知,且,则下列不等关系成立的是()A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗〖祥解〗利用基本不等式易知选项AB正确;利用对数运算法则和重要不等式可知C正确;将不等式化简整理可得,构造函数利用函数单调性即可证明D错误.〖详析〗由基本不等式可知,,当且仅当时,等号成立,即A正确;易知,当且仅当时,等号成立,即B正确;由重要不等式和对数运算法则可得:,当且仅当且仅当时,等号成立,即C正确;由可得,所以,若,即证明,即即需证明,令函数,则,当时,,即在上单调递增,所以时,解不等式可得即可,即时不等式成立;当时,,即在上单调递减,解不等式可得,即时不等式才成立;综上可知,当时,不等式才成立,所以D错误.故选:ABC12.棱长为2的正方体中,E,F,G分别为棱AD,,的中点,过点E,F,G的平面记为平面,则下列说法正确的是()A.平面B.平面C.平面截正方体外接球所得圆的面积为D.正方体的表面上与点E的距离为的点形成的曲线的长度为〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗建立空间直角坐标系,如图所示,对AB,利用向量法判断线面平行、线面垂直;对C,由向量法求点面距离判断外接球到及所截圆心重合,进而可求面积;对D,将所求曲线转化为球截面上的圆弧长,进而逐个表面讨论即可.〖详析〗建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,对A,设平面的法向量为,,,,则有,令得,由,而FG不在平面ACB1中,故平面,A对;对B,,,由,,∵平面,故平面,B对;对C,设,则O为正方体外接球心,,外接球半径,设平面,由,,平面,则,故与重合,故平面截正方体外接球所得圆的面积为,C错;对D,由题意,所求的点可看作正方体与半径为的球E的交点,则由球的性质,在表面上,∵,故只有两个交点,不形成曲线;在表面上,形成的曲线为以为圆心,半径为的圆与正方形交得的圆弧,长度为;在表面上,形成的曲线为以中点为圆心,半径为的圆与正方形交得的圆弧,长度为.由正方体的对称性,所求的曲线长度为,D对.故选:ABD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.一组样本数据:,,,,,由最小二乘法求得线性回归方程为,若,则实数a的值为______.〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗求出中心点,由线性回归方程过中心点列方程求解.〖详析〗,,由线性回归方程过中心点得.故〖答案〗为:514.若抛物线C:存在以点为中点的弦,请写出一个满足条件的抛物线方程为_______.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗〖祥解〗抛物线存在以点为中点的弦,则该点在抛物线开口内,列式求解即可.〖详析〗抛物线存在以点为中点的弦,则该点在抛物线开口内,即当时,.可取,则满足条件的抛物线方程为.故〖答案〗为:(〖答案〗不唯一)15.已知数列的前n项和为,且,则数列的前n项和______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根据给定的递推公式求出数列的通项,再利用裂项相消法求解作答.〖详析〗数列的前n项和为,,,当时,,两式相减得:,即,而,解得,因此数列是首项为2,公比为2的等比数列,,,所以.故〖答案〗为:16.已知函数(e为自然对数的底数),若在上恒成立,则实数a的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗先将命题转化为在上恒成立,令,运用二阶求导法讨论的单调性及最值,对a分类讨论,利用最小值列不等式求解即可.〖详析〗由,令,令,则在上单调递增,.(1)当时,恒成立,即函数在上单调递增,则有,解得;(2)当时,则存在使得,则时,,在上单调递减;时,,在上单调递增.∴,又,∴.∵,令,,则,∴在上单调递减.则,故.综上,.故〖答案〗为:〖『点石成金』〗含参不等式恒成立问题,一般构建函数,利用导数研究函数的单调性及最值,对参数分类讨论,将问题转化为函数最值的不等式求解.四、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.(1)求角A的大小;(2)求的取值范围.〖答案〗(1)(2)〖解析〗〖祥解〗(1)由正弦定理,将角化边,再根据余弦定理,求解即可.(2)由(1)可知,,则,根据正弦型三角函数的图象和性质,求解即可.〖小问1详析〗由正弦定理可得,即,由余弦定理的变形得,又,所以.〖小问2详析〗由得,且,所以,所以,因为,从而,所以,从而.即的取值范围为.18.如图,四棱锥中,底面ABCD,,,,,为棱靠近点的三等分点.
(1)证明:平面;(2)求与平面所成的角的正弦值.〖答案〗(1)证明见〖解析〗(2)〖解析〗〖祥解〗(1)记为棱靠近点的三等分点,连接,证明,根据线面平行判定定理证明平面;(2)建立空间直角坐标系,求直线的方向向量和平面的法向量,根据向量夹角公式求两向量的夹角余弦,由此可得与平面所成的角的正弦值.〖小问1详析〗记为棱靠近点的三等分点,连接又为棱靠近点的三等分点.所以,且,又且,所以且,即四边形ADEF为平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面.〖小问2详析〗在BC上取一点G,使得,所以,又,知四边形AGCD为矩形,从而,又底面ABCD,所以AG,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,AG,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,从而,,,设平面的法向量为,则,即,取,可得,为平面PBC的一个法向量,则,设与平面所成的角为,则,即与平面所成的角的正弦值为.19.在数列中,,且.(1)令,证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;(2)记数列的前n项和为,求.〖答案〗(1)证明见〖解析〗,(2)297〖解析〗〖祥解〗(1)由递推关系结合等差数列定义证明数列为等差数列,再由等差数列通项公式求数列的通项;(2)由递推关系证明,利用等差数列求和公式和组合求和法求.〖小问1详析〗因为,所以,即,又,所以,又,所以,数列为以1为首项,4为公差的等差数列,所以.〖小问2详析〗因为,所以,即所以.20.宿州号称“中国云都”,拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地,是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力,现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析,若一次抽取2个机房,全是小型机房的概率为.(1)求n的值;(2)若一次抽取3个机房,假设抽取的小型机房的个数为X,求X的分布列和数学期望.〖答案〗(1)4(2)分布列见〖解析〗,〖解析〗〖祥解〗(1)根据古典概型计算公式可得,即可解得;(2)易知随机变量X的可能取值,利用超几何分布可求得其对应概率即可得分布列和期望值.〖小问1详析〗由题知,共有个机房,抽取2个机房有种方
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