2025届高考数学一轮知能训练第八章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质含解析

PAGE6-第5讲直线、平面垂直的判定与性质1．(2024年浙江)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列命题正确的是()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m2．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③3．(2024年天津模拟)如图X8­5­1，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成相互垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：图X8­5­1①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④4．如图X8­5­2，在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是()图X8­5­2A．当AE⊥PB时，△AEF肯定是直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF肯定是直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF肯定是直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF肯定是直角三角形5．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(1,3)6．(2024浙江)如图X8­5­3，已知正四面体D­ABC(全部棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB，eq\f(BQ,QC)＝eq\f(CR,RA)＝2，分别记二面角D­PR­Q，D­PQ­R，D­QR­P的平面角为α，β，γ，则()图X8­5­3A．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α7．(2024年新课标Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①假如m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②假如m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③假如α∥β，m⊂α，那么m∥β.④假如m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有______．(填写全部正确命题的编号)8．(2024年新课标Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(3)，那么P到平面ABC的距离为________．9．(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是()A．AC⊥BEB．B1E∥平面ABCDC．三棱锥E­ABC的体积为定值D．直线B1E⊥直线BC110．(2024年新课标Ⅱ)如图X8­5­4，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．图X8­5­4

11．(2024年江苏)如图X8­5­5，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.图X8­5­512．(2024年新课标Ⅰ)如图X8­5­6，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．图X8­5­6

第5讲直线、平面垂直的判定与性质1．A2．A解析：对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，解除B；对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，∴α⊥β.故④正确．3．B解析：由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，∴AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.4．B解析：由PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，BC⊥AE.又AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，故A正确；当EF∥平面ABC时，∵EF⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABC＝BC，∴EF∥BC，故EF⊥平面PAB，AE⊥EF，故C正确；当PC⊥平面AEF时，PC⊥AE，又BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，故D正确．故选B.5．A解析：如图D215，连接AC交BD于点O，连接C1O，过点C作CH⊥C1O于点H.图D215∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BD⊥AC，,BD⊥AA1，,AC∩AA1＝A，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BD⊥平面ACC1A1，,CH⊂平面ACC1A1，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CH⊥BD，,CH⊥C1O，,BD∩C1O＝O，))⇒CH⊥平面C1BD.∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2，则OC＝eq\f(AC,2)＝eq\f(\r(2),2)，C1O＝eq\r(OC2＋CC\o\al(2,1))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋22)＝eq\f(\r(9),\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).由等面积法，得C1O·CH＝OC·CC1.∴eq\f(3\r(2),2)×CH＝eq\f(\r(2),2)×2.∴CH＝eq\f(2,3).∴sin∠HDC＝eq\f(CH,DC)＝eq\f(\f(2,3),1)＝eq\f(2,3).故选A.6．B解析：设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此α<γ<β.故选B.7．②③④解析：对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定．故①错误；对于②，∵n∥α，∴过直线n作平面γ与平面α相交于直线c，则n∥c.∵m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n.故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知③正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知④正确．故正确的有②③④.8.eq\r(2)解析：如图D216，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(3)，那么P到平面ABC的射影O在∠ACB的平分线上，图D216PC＝2，PE＝eq\r(3)，CE＝1，CO＝eq\r(2)，PO＝eq\r(2)，那么P到平面ABC的距离为eq\r(2).9．ABC10．(1)证明：∵AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，图D217∴OP⊥AC，且OP＝2eq\r(3).如图D217，连接OB.∵AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，∴△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)解：作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，∴CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°.∴OM＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5).∴点C到平面POM的距离为eq\f(4\r(5),5).11．证明：(1)∵D，E分别为BC，AC的中点，图D218∴ED∥AB.如图D218，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1，∴A1B1∥ED.又∵ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1.(2)∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC.∵三棱柱ABC­A1B1C1是直棱柱，∴CC1⊥平面ABC.又∵BE⊂平面ABC，∴CC1⊥BE.∵C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，∴BE⊥平面A1ACC1.∵C1E⊂平面A1ACC1，∴BE⊥C1E.12．(1)证明：连接B1C，ME.∵M，E分别为BB1，BC的中点，∴ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C.又∵N为A1D的中点，∴ND＝eq\f(1,2)A1D.由题设知A1B1DC，∴B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，∴MN∥