《函数极限与无穷小》课件

函数极限与无穷小极限的定义函数极限当自变量趋于某个值时，函数值无限接近于某个常数，这个常数就叫做函数在这个点的极限。无穷小当自变量趋于某个值时，函数值无限接近于零，这个函数就叫做无穷小。极限的性质唯一性如果函数的极限存在，那么这个极限是唯一的。有界性如果函数的极限存在，那么函数在极限点附近一定是有界的。保号性如果函数在极限点附近取正值，那么它的极限也是正值。无穷小的定义当自变量趋于某个确定的值或无穷大时，如果函数的值无限接近于零，那么这个函数就称为无穷小.无穷小是函数的极限，当自变量趋于某个确定的值或无穷大时，函数的极限为零.无穷小是一个动态的概念，它指的是函数的值随着自变量的改变而无限接近于零.无穷小的性质加减性两个无穷小之和或差仍为无穷小。乘积性无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小。商性当分母不为零且有界时，无穷小与有界函数的商仍为无穷小。极限与无穷小的关系1无穷小是极限为零的函数当自变量趋于某个值时，函数的值无限接近于零，则该函数称为无穷小。2极限为零的函数一定是无穷小任何一个函数如果它的极限为零，那么它就一定是无穷小。3无穷小是极限的特殊情况无穷小是极限的一种特殊情况，它指的是函数的值趋于零的极限。极限的计算方法利用定义求极限直接根据极限的定义来求极限。该方法适用于一些简单的极限问题。利用定理求极限利用已知的极限定理来求极限，例如极限的四则运算定理、夹逼定理等。利用换元法求极限将原极限转化为更易于计算的极限，例如将无穷大极限转化为有限值极限。利用洛必达法则求极限对于一些特殊的极限问题，例如分式函数的极限，可以利用洛必达法则来简化计算。利用定义求极限1ε-δ定义精确地描述函数极限2步骤设定ε,求δ,验证3应用证明极限存在利用定理求极限1极限存在定理如果limf(x)=A,且limg(x)=B，则lim[f(x)+g(x)]=A+B.2极限运算法则极限可以进行加减乘除运算，且运算结果仍然是极限值。3夹逼定理如果f(x)≤g(x)≤h(x)，且limf(x)=limh(x)=A，则limg(x)=A。利用换元法求极限1表达式转化将原极限表达式中的自变量或函数用新的变量或函数替换2新极限计算求解新的极限表达式，通常是已知的或更容易计算的3结果转换将新极限的结果转换回原变量，得到原极限的结果换元法是求解极限的常用方法之一，它可以将复杂的极限表达式转化为更简单的表达式。换元法通常用于处理包含三角函数、对数函数、指数函数等复杂函数的极限表达式。利用洛必达法则求极限1条件当函数满足极限为0/0或∞/∞的形式时，可以使用洛必达法则。2过程对分子和分母分别求导，并求新的极限。如果新的极限存在，则原极限也存在，且等于新的极限。3应用洛必达法则可以用于解决许多难以直接计算的极限问题，例如含有指数函数、对数函数、三角函数等的极限。单侧极限1左侧极限当x趋近于a的左侧时，函数f(x)无限接近于某个常数A，则称A为f(x)在x趋近于a的左侧的极限，记作lim(x->a-)f(x)=A。2右侧极限当x趋近于a的右侧时，函数f(x)无限接近于某个常数B，则称B为f(x)在x趋近于a的右侧的极限，记作lim(x->a+)f(x)=B。两个函数的极限比较比较大小若两个函数在某个点处都有极限，则可以比较它们的极限大小。比较增长速度若两个函数在某个点处都趋于无穷大，则可以比较它们的增长速度。无穷小的比较定义如果两个无穷小α(x)和β(x)满足lim(x→a)α(x)/β(x)=0，则称α(x)是比β(x)高阶的无穷小，记作α(x)=o(β(x))。性质如果α(x)=o(β(x))，则有：lim(x→a)α(x)/β(x)=0；如果α(x)=o(β(x))且β(x)=o(γ(x))，则α(x)=o(γ(x))；如果α(x)=o(β(x))，则对于任意常数k，kα(x)=o(β(x))。高阶无穷小定义设α(x)和β(x)是当x→a时的无穷小，如果lim(x→a)[α(x)/β(x)]=0，则称α(x)是比β(x)高阶的无穷小，记作α(x)=o(β(x))(x→a)。解释当x趋近于a时，α(x)趋近于0的速度比β(x)趋近于0的速度快很多。性质若α(x)=o(β(x))(x→a)，则α(x)β(x)=o(β²(x))(x→a)若α(x)=o(β(x))(x→a)，且γ(x)为有界函数，则α(x)γ(x)=o(β(x))(x→a)等价无穷小定义当自变量趋于某个值时，如果两个无穷小的比值的极限为1，则称这两个无穷小是等价无穷小。性质等价无穷小可以互相替换，在求极限时可以简化计算。应用等价无穷小在求极限、无穷小的比较、高阶无穷小等方面有着广泛的应用。无穷大的概念无限大当自变量趋于某个值时，函数的值无限增大，称为函数趋于正无穷大，记作limf(x)=+∞。无限小当自变量趋于某个值时，函数的值无限减小，称为函数趋于负无穷大，记作limf(x)=-∞。无穷大的性质无穷大加减常数无穷大加减常数依然为无穷大。无穷大乘以常数无穷大乘以非零常数依然为无穷大。无穷大除以无穷大无穷大除以无穷大，结果可能为常数、无穷大或无穷小，需要具体分析。无穷大乘以无穷大无穷大乘以无穷大，结果为无穷大。无穷大的运算1加减法无穷大与有限数的加减运算，结果仍为无穷大。2乘除法无穷大与有限数的乘除运算，结果仍为无穷大。3无穷大与无穷大的运算无穷大与无穷大的加减乘除运算，结果可能为无穷大，也可能为有限数，具体情况要根据具体函数进行分析。无穷大与无穷小的关系互为倒数无穷大是无穷小的倒数，无穷小是无穷大的倒数。联系紧密当一个量趋向于无穷大时，其倒数趋向于无穷小，反之亦然。相互依存无穷大与无穷小是两个相互依存的概念，它们共同构成了极限理论的基础。极限存在的充要条件当自变量趋于某个值时，函数值无限接近于某个常数。当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷大或无穷小。函数的左极限和右极限相等。夹逼定理定义如果函数f(x),g(x)和h(x)在x趋近于a时，满足以下条件：f(x)≤g(x)≤h(x)lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L则lim(x→a)g(x)=L.应用夹逼定理可用于求解一些难以直接求解的极限问题，特别是当被积函数难以直接积分时。连续函数的性质1介值定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对于介于f(a)和f(b)之间的任意实数y，必存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=y。2最值定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必取得最大值和最小值。3一致连续性若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续。间断点的分类可去间断点函数在该点存在极限，但函数值不存在或与极限值不相等。跳跃间断点函数在该点左右极限存在且有限，但左右极限不相等。无穷间断点函数在该点至少有一个侧极限为无穷大或无穷小。连续函数的运算1加减法两个连续函数的和差仍然是连续函数.2乘法两个连续函数的积仍然是连续函数.3除法两个连续函数的商在分母不为零的情况下仍然是连续函数.4复合函数如果内层函数连续，外层函数也连续，则复合函数也连续.连续函数的应用1物理在物理学中，连续函数可以用来描述物体运动、温度变化等。2化学在化学中，连续函数可以用来描述反应速率、浓度变化等。3经济学在经济学中，连续函数可以用来描述供求关系、成本函数等。函数的微分法1导数的定义函数的微分2导数的性质导数的运算3导数的应用求函数的最值微分的应用求曲线切线利用导数求曲线在某点处的切线方程，这是一个经典应用。研究函数的单调性通过导数的符号判断函数的单调递增或递减区间，帮助理解函数变化趋势。求函数的最值利用导数求函数的极值点，进而确定函数的最大值和最小值，在优化问题中至关重要。近似计算微分可以用来近似地计算函数在某点附近的函数值，尤其在一些复杂函数的计算中十分有用。导数的性质1导数的几何意义导数代表函数曲线在该点的切线的斜率。2导数的物理意义导数代表函数在该点的变化率，例如速度是位移的导数。3导数的应用导数可以用来求函数的最值、拐点、单调区间等。导数的计算基本公式利用导数定义，我们可以推导出一些基本函数的导数公式，如