1.1-与三角形有关的线段 带解析-2023年升初二人教版暑假衔接教材

第一章三角形❊1.1与三角形有关的线段（1）考点先知考点先知知识考点三角形的分类1.三角形的分类三角形的三边关系2.给出三边判断能否构成三角形3.给出两边求第三边的取值范围4.根据三边关系去绝对值化简三角形的稳定性5.三角形的稳定性题型精析题型精析知识点一三角形的分类知识点一三角形的分类分类按边分类（等边三角形是特殊的等腰三角形）按角分类题型一三角形的分类题型一三角形的分类例1例1①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据等腰三角形的定义判定等边三角形是等腰三角形；②举出特例等腰直角三角形，判定等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形共三条边，若按边分类，可分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形；④三角形中最大的角可能是锐角可能是直角，也可能是钝角，按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．【解答】①有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等边三角形是腰和底相等的等腰三角形，故①正确；②等腰直角三角形是等腰三角形也是直角三角形，所以等腰三角形也可能是直角三角形，故②正确；③三角形共三条边，若按边分类，分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形，故③错误；④根据三角形中最大的角可以分为锐角、直角、钝角，所以按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确．故选：．例2有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是例2A．①对，②不对B．②对，①不对C．①、②都不对D．①、②都对【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．【解答】解：等腰三角形包括等边三角形，故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确．故选：．例3如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是例3A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【答案】B【分析】根据三角形按照边的分类方法解答．【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，故选择B．【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．变1给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角变1形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（）个．A．1B．2C．3D．0【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．综上所述，正确的结论2个．故选：B．变2如图所示，图中小椭圆圈里的表示（）变2A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】D【分析】根据三角形的分类：等边三角形属于等腰三角形即可得到答案．【详解】解：∵等边三角形是特殊的等腰三角形，∴A表示的是等边三角形，故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的分类，解题的关键在于能够熟练掌握三角形的分类方法．变3下列关于三角形的分类，正确的是（）变3A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．【详解】，故选：B．知识点二三角形的稳定性知识点二三角形的稳定性内容三角形的稳定性当三角形的三边长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定，故三角形具有稳定性..题型二三角形的稳定性题型二三角形的稳定性例1如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有例1【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解答】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，故答案为：稳定性．例2下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是例2A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角形的稳定性解答即可．【详解】解：选项B中摇椅的支架上有三角形，其余选项中都没有三角形，由三角形的稳定性可知，选项B利用三角形的稳定性，故选：B．变1在手工课上，小杰用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个如图所示的木框，小杰发现相邻两木条的夹角均可调整，所以很容易变形，为了使木框不易变形，下列方案中最好的是（）变1A．B．C．D．【答案】D【分析】根据三角形的稳定性判断即可．【详解】解：选项A，B，C中的加固方式都只含有四边形，选项D中的加固方式形成了三角形，利用了三角形的稳定性，故选D．变2下列图形中不具有稳定性的是（）变2A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．【详解】解：A、具有稳定性，故此选项不符合题意；B、不具有稳定性，故此选项符合题意；C、具有稳定性，故此选项不合题意；D、具有稳定性，故此选项不符合题意；故选：B．例3要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？例3A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【分析】根据三角形具有稳定性，六边形转化成三角形即可得出答案．【详解】解：根据三角形的稳定性可知，要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条．故答案选：C变3如图，要使五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（）变3A．1根B．2根C．3根D．4根【分析】根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：如图，根据三角形的稳定性可知，要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条，故选：B．知识点三三角形的三边关系知识点三三角形的三边关系内容三角形的稳定性三角形的两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边.题型三三角形的三边关系题型三三角形的三边关系类型一类型一判断三边能否组成三角形例1以下数据分别是3根小木棒的长度．用这3根小木棒的长度为边不能搭成三角形的是例1A．，，B．，，C．，，D．，，【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．【解答】解：、，能组成三角形，故此选项不符合题意；、，能组成三角形，故此选项不符合题意；、，不能组成三角形，故此选项错误．、，能组成三角形，故此选项不符合题意；故选：．例2下列各组线段能组成一个三角形的是例2A．，，B．，， C．，，D．，，【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．【解答】解：，能组成三角形，符合题意；，不能组成三角形，不符合题意；，不能组成三角形，不符合题意；，不能组成三角形，不符合题意．故选：．变1下列各个选项中给出长度的3条线段，其中能首尾依次相连组成三角形的是（）变1A．，，B．，，C．，，D．，，【分析】根据构成三角形的条件即可判断．【解答】解：，故选项错误；，故选项正确；，故选项错误；，故选项错误，故选：．变2某班级计划在校园里搭三角形围栏，可以选择三种长度的木条组合是（）变2A．3、4、8B．2、5、2C．3、5、6D．5、6、11【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对每个选项进行分析得出答案．【解答】解：、，不能构成三角形；、，不能构成三角形；、，能构成三角形；、，不能构成三角形．故选：．例3现有，，，长的四根木棒，任选三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为2个．例3【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．【解答】解：其中的任意三条组合有、、；、、；、、；、、共四种情况，根据三角形的三边关系，则、、；、、符合，故可以组成三角形的个数为2个．故答案为：2．例4四根小棒的长度分别为，，和，从中选出三根小棒围成一个三角形，这个三角形的周长是______.例4【答案】【分析】根据构成三角形的条件分析，分类讨论，进而求得三角形的周长．【详解】和不能构成三角形不能构成三角形能构成三角形这个三角形的周长为，故答案为：cm变3小明有两根长度为5cm，10cm的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有几根木棒供他选择，他有几种选择？（）变3A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】B【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．【详解】解：设第三根木棒的长度为xcm，∵小明有两根长度为5cm和10cm的木棒，∴10﹣5＜x＜10+5，即：5＜x＜15，10cm和12cm适合，故选：B．变4长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有______个变4【答案】3【分析】根据三角形的构成条件：任意两边之和大于第三边，进行判断即可．【详解】解：∵，∴2cm，3cm，4cm可以构成三角形；∵，∴2cm，3cm，5cm不可以构成三角形；∵，∴2cm，4cm，5cm可以构成三角形；∵，∴3cm，4cm，5cm可以构成三角形；∴可以构成3个不同的三角形．故答案为：3．例5若等腰三角形的两边长为3cm，6cm例5【答案】15cm变5等腰三角形的两边长为4cm和8cm，则它的周长为______cm．变5【答案】20cm类型二类型二求第三边的范围例1已知为某三角形的三条边长，若，，则的取值范围是（）例1A．B．C．D．【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：，，为某三角形的三条边长，，，，，故选：．例2设三角形三边之长分别为3，8，，则的值可能为（）例2A．11B．9C．5D．3【分析】已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”列出关于的不等式，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意，得，即；所以的取值范围是．观察选项，只有选项符合题意．故选：．例3已知的三边长分别为5、6、，则的取值范围是（）例3A．B．C．D．【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，进而得出答案．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：，解得：，故选：．变1有两根长度分别为，的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是____．（写出一个即可）变1【分析】根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于两边之差，即；而小于两边之和，即，即第三边，故第三根木棒的长度可以是4．故答案为：4（答案不唯一）．变2若三角形的三边长分别为3，4，，则的取值范围是（）变2A．B．C．D．【分析】据三角形三边关系，，即，问题可求．【解答】解：由题意，，即．故选：．变3已知是的三边长，满足，且为奇数，则5．变3【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，再根据是奇数求出的值．【解答】解：，满足，，，解得，，，，，又为奇数，，故答案是：5．变4若三角形三边长为4，，11，则的取值范围是（）变4A．B．C．D．【分析】根据三角形的三边关系定理可得，再解即可．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：，解得：，故选：．例4（倍长中线法，可先了解）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（）例4A．B．C．D．【答案】C【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到的取值范围．【详解】如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，∵是边上的中线，∴，在△ABD和△CDE中，，∴△ABD△CDE（SAS），∴AB＝CE=5，AD＝DE，∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，∴4＜AE＜14，∴2＜AD＜7．故选：C．例5已知△ABC中，AB=3，AC=4，则中线AD例5【答案】0.5＜AD＜3.5【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∴0.5＜AD＜3.5．故答案为：0.5＜AD＜3.5．例6在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m例6【答案】3＜m＜13【分析】延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADB和△CDE中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE，∵CE=AB=5，AE=8，∴8-5＜AC＜8+5，∴3＜AC＜13，∴3＜m＜13．故答案为：3＜m＜13．变5在△ABC中，AB＝9，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是_____．变5【答案】2＜AD＜7【分析】延长中线利用全等，使AD与已知两边满足三角形的三边关系．【详解】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC，根据三角形的三边关系定理：9﹣5＜AE＜9+5，∴2＜AD＜7，故答案为：2＜AD＜7．变6如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（）变6A．5＜AC＜15B．3＜AC＜15C．3＜AC＜17D．5＜AC＜17【答案】C【分析】延长AD至E，使得DE=AD，连接CE，然后可得△ABD≌△ECD，则有AB=CE=7，进而根据三角形的三边关系可进行求解．【详解】解：延长AD至E，使得DE=AD，连接CE，如图所示：∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD=CD，∵∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE=7，∵AD＝5，∴AE＝10，在△AEC中，根据三角形三边关系可得：3＜AC＜17；故选C．类型三类型三根据三边关系化简绝对值例1已知a，b，c例1（1）填入“＞、＜或＝”号：______0，_______0，______0．（2）化简：．【答案】(1)＜，＜，＞(2)【分析】（1）根据三角形三边关系即可作答；（2）根据（1）的判断去掉绝对值符号后合并同类项即可．（1）解：∵a，b，c是一个三角形的三边长，∴，，（2）解：原式．例2已知是一个三角形的三边长，化简．例2【分析】根据三角形三边关系得到，，，再去绝对值，合并同类项即可求解．【解答】解：，，是一个三角形的三条边长，，，，，故答案为：．变1已知是的三边，则化简的结果是．变1【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．【解答】解：、、分别为的三边长，，，，变2若是三边的长，化简=．变2【答案】a+3b+c【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可．【详解】解：∵a，b，c是的三边，∴，，∴，，，∴．故答案为：．课后强化课后强化1.下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角形也可能是直角三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】∵①“等边三角形是等腰三角形”的说法正确；②“等腰三角形也可能是直角三角形”的说法正确；③“三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形”的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形）；④“三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”是正确的；∴上述说法中正确的有3种.故选C.2.下列说法：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③等腰三角形是特殊的等边三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；其中，说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据三角形的分类，等腰三角形的判定，等边三角形的判定一一判断即可．【详解】①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形；故原说法错误．②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．③等边三角形是特殊的等腰三角形；故原说法错误．④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的分类，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3.如图，木工师傅在做完门门框后，为防止变形常常钉上两条斜拉的木板条，这种做法依据的数学原理是三角形的稳定性．【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性解答即可．【解答】解：木工师傅在做完门框后，为防止变形常常钉上两条斜拉的木板条，这种做法依据的数学原理是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．4.以下长度的小木棒不能构成三角形的是（）A．，，B．，， C．，，D．，，【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．【解答】解：、，则能构成三角形，不符合题意；、，则不能构成三角形，符合题意；、，则能构成三角形，不符合题意；、，则不能构成三角形，不符合题意；故选：．5.下列每组数分别是三根木棒的长度，不能用它们摆成三角形的是（）A．3，4，6B．4，5，8C．5，5，5D．5，6，11【分析】根据三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边判断即可．【解答】解：、，长度为3，4，6的三根木棒，能用它们摆成三角形，本选项不符合题意；、，长度为4，5，8的三根木棒，能用它们摆成三角形，本选项不符合题意；、，长度为5，5，5的三根木棒，能用它们摆成三角形，本选项不符合题意；、，长度为5，6，11的三根木棒，不能用它们摆成三角形，本选项符合题意；故选：．6.从长度分别为3cm，4cm，5cm，6cm，9cm的线段中任意取3条，能构成的三角形个数为_____．【答案】6【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：其中的任意三条组合有：3cm、4cm、5cm；3cm、4cm、6cm；3cm、4cm、9cm；3cm、5cm、6cm；3cm、5cm、9cm；3cm、6cm、9cm；4cm、5cm、6cm；4cm、5cm、9cm；4cm、6cm、9cm；5cm、6cm、9cm十种情况．根据三角形的三边关系，其中的3cm、4cm、5cm；3cm、4cm、6cm；3cm、5cm、6cm；4cm、5cm、6cm；4cm、6cm、9cm；5cm、6cm、9cm能搭成三角形．故答案为：6．7.从长度分别为2，3，5，6的四根细木棒中，任取三根首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），所围成的三角形最小周长为（）A．10B．11C．13D．14【答案】C【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，即可求解．【详解】解：①长度分别为3、5、