高考数学一轮总复习课时质量评价-12

课时质量评价(二十)

A组全考点巩固练

1.已知函数/'(才)=e*(ax+l),由线尸F(x)在x=l处的切线方程为y=bx-e.

(1)求a,。的值；

(2)若函数g(x)=f(x)—3e‘一m有两个零点，求实数勿的取值范围

2.已知函数F(x)=ln才一当式，加£R，讨论fG)的零点个数.

3.已知函数/'(*)=(x—2)e'+a(x—l)2(a>0)有两个零点M,照，证明：照<2.

4.（2023・长沙模拟）已知函数Hx）=eAsinx+ax.

(1)若a=l,判断£3在(一20)上的单调性;

(2)若，(*)在］。，,上有且只有2个零点，求a的取值范围.

5.已知函数t\x)=(x—1)。'-ax的图象在x=0处的切线方程是8=0.

(1)求&b的值；

3

(2)求证：函数/•(必有唯一的极值点照，且以㈤＞一新

B组新高考培优练

6.(2023•长春模拟)已知函数/V)=xe",g(x)=〃ln(x+1).

(1)求函数f(x)的值域；

(2)讨论函数网动=F(x)一雇力的零点个数.

7.已知函数/(*)=的:

(1)求函数f(x)的单调区间与极值；

(2)已知函数以力的图象与F(x)的图象关于直线x=l对称，证明：当x>l时，F(x)>g(x)；

⑶如果M#/2,且A-V1)=/(照)，证明：M+必>2.

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1.解：(1)F(x)=e*(ax+l),则/(x)=e*(ax+l)+e*•a=e*(ax+l+a).

4ff⑴=e(2a+1)=b,fa=1,

由题意知伉l*e(a+l)=b-e,解得［b=3e,

所以a=l,b=3e.

(2)g(x)=f(x)—3ev—m=e*(x—2)—m,

函数g(x)=e'(才—2)一加有两个零点，相当于函数〃(x)=e'•(x—2)的图象与直线有

两个交点，u'(x)=e*・(x—2)+e*=e*(x—1).

当xW(-8,1)时，/(才)<0,所以〃(功在(一8,1)上单调递减；

当彳£(1,+8)时，/U)>0,所以〃(x)在(1,+8)上单调递增；

当x=l时，〃(x)取得极小值〃(1)=—e.

又当x—+8时，〃(才)一+8,当水2时，u(x)<0,

所以实数/〃的取值范围为U|-e<w<0}.

2.解：函数f(x)=Inx一%」的定义域是(o,4-00),且ra)=；-G7F=

x2+(2-2m)x+1

-x(x+I)2*

令g(x)=9+(2—2而x+1,

当危1时，因为x£(0,+8),

所以g(*)—x4-(2-2%)x+l>0,

所以f(x)>0,f(x)在(0,+«0上单调递增.

又F(l)=0,所以f(x)有且只有1个零点.

当IV辰2时，4=4病-8加=4加加-2)W0,

所以/(x)20,f(x)在(0,+“)上单调递增.

又F(l)=0,所以f(x)有且只有1个零点.

当m>2时，9+(2—2m)x+l=0有2个正根，解得x\=m~1—yjm2-2m,xi=m—1+

^/m2-2m.

因为小总=1,所以OVMVI,x2>l.

当OVxVx】时，g(x)>0,f(x)>0,f(x)单调递增；

当XIVXVM时，g(x)<0,f(x1<0,f(x)单调递减；

当尤>尼时，g{x)>0,f(x)>0,f(x)单调递增.

因为1£(M,才2),F(1)=O,所以/V)在(汨，心)上有1个零点，且f(xJ>0,<0.

m(em-1)2mrn(e~m-1)-2m

-x，

又e&Al,0<e<l,且F(e°)="--^-=；^77>0,=--e.w+1

所以F(力在(0,汨)和(尼，+8)上各有1个零点.

综上，当时，F(x)有且只有1个零点；当勿>2时，f(x)有3个零点.

3.证明：f(x)=(*—l)e'+2a(x—1)=(*—1)(e*+2a),因为a〉0,

所以f(x)在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，/(1)=-e.

由F(M)=F(X2)=0,可设小<1<如构造函数尸(x)=F(x)—f(2—x),

所以k(x)=f(x)—f(2—¥)=(x—1)(e"+2a)—(x—1)(e2T+2a)=(x—1)(e'一e?),

当晨1时，x-KO,eT-e2-z<0,则尸(x)>0,尸(x)在(一8,1)上单调递增.又/1)=0,

故尸(力<0(水1),即f(x)〈F(2—力(水1).

把小代入上述不等式得〃珀=/•(照)"(2—M),

又用>1,2—小>1,f(x)在(1,+8)上单调递增，故在<2—而，即汨+版<2.

4.解：(1)当a=l时，f[x)=esinx+x,

f(x)=ex(sinx+cosx)4-l=^e*sin(%+J+l.

当一gvxVO时，—y<sin+4)<y>

所以一lV&sin(%+JvL因为0Ve”Vl,

所以F(x)=$e*sin(%+J+l>0,

所以/V)在(W0)上单调递增.

⑵因为F(x)在[。，斗上有且只有2个零点且X0)=0,

所以4)在(0,打上有且只有1个零点.

因为/(x)=e'(sinx+cosx)+a,

令力(x)=e*(sinx+cosx)+a,则方'(x)=2ercosx20在(。，上恒成立，

所以/(力在(0,胃上单调递增.又以(0)=1+&f◎:+£，

当心一1时，FU)>r(0)20,F(x)在(0,1上单调递增，没有零点，不符合题意.

当00_/时，f(x)WFe)W0,/U)在(0,，上单调递减，没有零点，不符合题意.

当时，f(0)=1+^<0,fQ)=a+e>0,

则f(x)只有一个零点，设为勿，

则当OVxVm时，f(x)<0,F(力单调递减，当犷㈠号时，f(x)>0,f(x)单调递增.由

题意得信)=5+$20,解得

一n

综上，a的取值范围为上一9wav—i}

5.(1)解：函数F(x)=(x—l)e'—ax,则尸［x)=xe—a.

由F(0)=—1得a=l.

当>=0时，解得人力=一1.

所以函数F(x)的图象在x=0外的切线方程为y-(-l)=-l(x-O),

即x+y+l=O,

所以b=\.

(2)证明：令g(x)=f(彳)=胎"—1,

则/a)=(x+l)e\

所以当水一1时，以力单调递减，且此时以⑼<0,在(一8,—1)内无零点；

当x》一1时,g(x)单调递增，又g(—D<0,^(l)=e-l>0,

所以g(x)=0有唯•解m，f(x)有唯■极值点刘，

„1

由”°e.1=小=泳

F(胸)=三廿一8=1一(焉+%。).

又^(2)=y-1<0,

/\115

g(l)=e—1>0=2<施<1=焉+不<5，

3

F(版)>—2.

B组新高考培优练

6.解：(1)由/'(x)=x-e、(x£R)可得尸(x)=(l+x)-e;

令r(x)=o,得x=-i,则有

X(一0°,—1)-1(―1,+°0)

f(—04-

X)

/(*)极小值

所以rCrLnnA-DM-eTu-：,人力无最大值.即〃%)的值域为［-1，+8).

(2)F(x)=f(x)—g(x)=z•e—kIn(AH-1)(x>—1),

则网0)=0,P(x)=(l+x)

令G(x)=(x+l)?•e",贝ijG'(x)=(V+4x+3)・e*=(x+1)(x+3)•e*>0在(-1,4-°°)

上恒成立，

所以G(x)在(-1,+8)上单调递增，

所以G(x)>G(—1)=0在(-1,+8)上恒成立.

当4W0时，可知/U)>0,即尸(⑼在(-1,+8)上单调递增，即化时以才)有唯一零点.

当30时，令F(x)=0,则(x+l)2・不一女=0,

所以存在唯一而£(一1,+8),使得9(照)=0,且当才£(一1,加时，FUXO,F(x)

单调递减，当(刘，+8)时，口(*)>0,汽X)单调递增，

所以尸(amin=Kx)=%oe々一左In(无+1),

①当4=1时，刖=0,户(X)nin="0)=0,此时网才)有唯一零点.

②当0<Kl时，因为G(0)=l,所以当才£(一1,0)时，0<G(x)<l,故一1<加<0,

所以/7(-r)mn=/7(^0)<0,

)=1+e+1>e，+1>0>

又「(-i+e^(-l+e^)e-^"'

所以尸(才)在(一l+e^，的)上存在一个零点，

此时内⑼共有2个零点.

③当〃1>时，照>0,M%)nin=FU)<0,

又广(一1+*—(-1+心)6—+y一/>〃(et+Q>Re*-A)M>0,

所以凡才)在(的一1+冷上存在一个零点，此时尸CO共有2个零点.

综上，当〃/0或〃=1时，尸(力有唯•零点；

当0<尔1或冷1时，?(力有2个零点.

7.(1)解：fa)=(l-^)e-J.

令f(x)=0,解得x=l.

当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：

X(一8,1)1(1,+°°)

f(

+0—

x)

Ax)极大值

所以/'CO的单调递增区间为（-8,1），单调递减区间为（1，+8）.

函