2024年沪科版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科版高一数学下册月考试卷589考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、函数f（x）=2cos2x-1的相邻两条对称轴间的距离是（）

A.2π

B.π

C.

D.

2、过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为设直线的斜率为直线的斜率为则的值为（）A.B.C.D.3、【题文】已知在区间上是增函数，则的范围是（）A.B.C.D.4、一空间几何体的三视图如图所示；则该几何体的体积为（）

A.2π+2B.4π+2C.2π+D.4π+5、若函数f（x）=x2+4x+6，则f（x）在[﹣3，0）上的值域为（）A.[2，6]B.[2，6）C.[2，3]D.[3，6]评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、等比数列{an}中，a1+a3=5，a2+a4=4，则a4+a6=____．7、在中，a的取值范围是____．8、已知函数不等式对任意实数恒成立，则的最小值是.9、【题文】若则____．10、【题文】若函数不存在零点，则实数的取值范围是____．11、点P是△ABC所在平面外一点，O为点P在平面ABC内的射影，若PA=PB=PC，则点O是△ABC的____心．12、若集合A={-4，2a-1，a2}，B={a-5，1-a，9}，且A∩B={9}，则a的值是______．13、设f（x）=max其中max{a，b，c}表示三个数a，b，c中的最大值，则f（x）的最小值是______．14、函数y=log（x2-3x）的单调递减区间是______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)15、袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为得到黑球或黄球的概率是得到黄球或绿球的概率是试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？16、画出函数f（x）=x2-|2x-1|的图象；指出f（x）的单调区间．

17、某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环、7环的概率分别是0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或7环的概率；（2）不够7环的概率。18、（本小题12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=的性质，并在此基础上，作出其在上的图像.19、【题文】已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性，并证明.20、已知圆x2+y2=16的圆心为P，点Q（a，b）在圆P外；以PQ为直径作圆M与圆P相交于A，B两点．

（1）试确定直线QA；QB与圆P的位置关系，若QA=QB=3，写出点Q所在曲线的方程；

（2）若a=4，b=6，求直线AB的方程．21、已知一个圆经过过两圆x2+y2+4x+y=-1，x2+y2+2x+2y+1=0的交点，且有最小面积，求此圆的方程．评卷人得分四、作图题(共2题，共20分)22、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．23、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分五、证明题(共3题，共27分)24、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．25、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．26、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．评卷人得分六、综合题(共3题，共27分)27、如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A；B两点．

（1）求A；B，C三点的坐标；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．28、设圆心P的坐标为（-，-tan60°），点A（-2cot45°，0）在⊙P上，试判别⊙P与y轴的位置关系．29、（2011•青浦区二模）如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】

函数f（x）=2cos2x-1=cos2x；

∴函数的周期T==π；

由于相邻两对称轴的距离是周期的一半，即

则函数相邻两条对称轴间的距离是．

故选C

【解析】【答案】把函数解析式利用二倍角的余弦函数公式变形后，找出ω的值，由周期公式求出函数的周期；根据余弦函数的相邻两对称轴的距离是周期的一半，求出值来即可．

2、D【分析】【解析】【答案】D3、B【分析】【解析】

试题分析：函数的图像是开口向上以为对称轴的抛物线，因为函数在区间上是增函数，所以解得故A正确。

考点：二次函数的单调性。【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】此几何体为一个上部是正四棱锥；下部是圆柱。

由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π

棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为其底面积为2，又母线长为2；

故其高为

由此知其体积为

故组合体的体积为2π+

故选C.

【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．5、B【分析】【解答】解：∵函数f（x）=x2+4x+6；

∴当x∈[﹣3；0）时；

函数f（x）在区间[﹣3；﹣2]上单调递减；

函数f（x）在区间[﹣2；0）上单调递增．

∵f（﹣2）=2；f（﹣3）=3，f（0）=6；

∴2≤f（x）＜6．

故选B．

【分析】本题利用二次函数的单调性和图象研究函数的值域，得到本题结论．二、填空题(共9题，共18分)6、略

【分析】

设等比数列{an}的公比为q；

则a2+a4=（a1+a3）•q=4，解得q=

故a4+a6=（a2+a4）•q2=4×（）2=

故答案为：

【解析】【答案】由已知式子可得公比的值，而a4+a6=（a2+a4）•q2；计算即可．

7、略

【分析】

∵∵

∴sinx+cosx=a-

即sin（x+）=a-

∵-1≤sin（x+）≤1；

∴-1≤a-≤1；

解得≤a≤

故答案为：≤a≤

【解析】【答案】由条件利用两角和的正弦公式可得sin（x+）=a-再由-1≤sin（x+）≤1，可得-1≤a-≤1；解不等式求得a的取值范围．

8、略

【分析】试题分析：由分析可知要想恒成立，只能因为所以最小值为考点：函数图像绝，对值不等式【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：由于则B集合的元素为所以{0,3}.本小题主要就是考查集合的描述法的表示形式，是A集合中的元素；所以可以求出B集合中的所有元素.易错点是B集合的确定.

考点：1.集合的描述法的表示.2.集合的交集的概念.【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：依题意在上没有实根.即等价于无解.等价于在上没有实根，即函数在与x轴没有交点.当时，又由所以上有零点.所以不成立.当时，只需

考点：1.方程的根与函数的零点.2.分类讨论的思想.【解析】【答案】11、外【分析】【解答】解：由点P作平面ABC的射影O；由题意：PA=PB=PC；

∵PO⊥底面ABC；

∴△PAO≌△POB≌△POC

即：OA=OB=OC

∴O为三角形的外心．

故答案为：外。

【分析】由点P在平面ABC上的投影为O，利用已知条件，结合勾股定理，证明出OA=OB=OC，进而根据三角形五心的定义，得到结论．12、略

【分析】解：由题意可得9∈A；且9∈B．

①当2a-1=9时；a=5，此时A={-4，9，25}，B={0，-4，9}，A∩B={-4，9}，不满足A∩B={9}，故舍去．

②当a2=9时；解得a=3，或a=-3．

若a=3；A={-4，5，9}，B={-2，-2，9}，集合B不满足元素的互异性，故舍去．

若a=-3；A={-4，-7，9}，B={-8，4，9}，满足A∩B={9}．

综上可得；a=-3；

故答案为-3．

由题意可得9∈A，且9∈B，分2a-1=9和a2=9两种情况；求得a的值，然后验证即可．

此题考查集合关系中参数的取值范围问题，交集的定义、交集的运算，属于容易题．【解析】-313、略

【分析】解：分别作出y=x2-4x+3，y=x+y=3-x的图象；

当x≤0时，f（x）=x2-4x+3；其最小值为3；

当0＜x≤1时；f（x）=3-x，其最小值为2；

当1≤x≤5时，f（x）=y=x+其最小值为2；

当x＞5时，f（x）=x2-4x+3；其最小值为8；

综上所述f（x）的最小值是2；

故答案为：2

分别作出y=x2-4x+3，y=x+y=3-x的图象，分别求出最小值，比较即可．

本题考查新定义的理解和运用，画出图象，通过图象观察和函数最值是关键．【解析】214、略

【分析】解：令x2-3x＞0求得x＞3；或x＜0，故函数的定义域为（-∞，0）∪（3，+∞）．

根据复合函数的单调性规律，本题即求函数t=x2-3x在（-∞；0）∪（3，+∞）上的增区间．

根据二次函数的性质可得函数t=x2-3x在（-∞；0）∪（3，+∞）上的增区间为（3，+∞）；

故答案为（3；+∞）．

令x2-3x＞0求得函数的定义域．本题即求函数t=x2-3x在定义域上的增区间．根据二次函数的性质可得函数t=x2-3x在所求定义域上的增区间；从而得到答案．

本题主要考查复合函数的单调性、对数函数的定义域和单调性，二次函数的性质应用，属于中档题．【解析】（3，+∞）三、解答题(共7题，共14分)15、略

【分析】【解析】试题分析：解分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D.由于A、B、C、D为互斥事件，根据已知得到解得∴得到黑球、黄球、绿球的概率分别为考点：互斥事件的概率【解析】【答案】16、略

【分析】

∵f（x）=x2-|2x-1|

∴

则函数的图象如下图所示：

（6分）

由函数的图象可得：函数f（x）=x2-|2x-1|的增区间是：减区间是：（-∞，-1]（10分）

【解析】【答案】根据零点分段法，可得当x=时，2x-1=0，我们分x≥和x＜两种情况，分别求出两种情况下函数的解析式，进而分段画出图象，即可得到函数f（x）=x2-|2x-1|的图象；再根据函数图象上升，函数为增函数，函数图象下降，函数为减函数，即可得到f（x）的单调区间．

17、略

【分析】本题考查利用互斥事件、对立事件的定义判断事件的特殊关系；互斥事件、对立事件的概率公式．（1）利用互斥事件的定义，判断出几个事件是互斥事件，利用互斥事件的概率公式求出待求事件的概率．（2）利用对立事件的定义判断出“不够7环”与“射中7环或8环或9环或10环””为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率．【解析】【答案】⑴P（）=P（A）+P（D）=0.21+0.28=0.49⑵射中10环或7环的概率是0.49⑶P（E）=1-P（）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=1-0.97=0.03⑷不够7环的概率0.0318、略

【分析】

①∵∴的定义域为2分②∵∴f(x)为偶函数4分③∵f(x+)=f(x),∴f(x)是周期为的周期函数6分④∵∴当时当时（或当时f(x)=∴当时单减；当时单增；又∵是周期为的偶函数,∴f(x)的单调性为：在上单增，在上单减.8分⑤∵当时当时∴的值域为：10分⑥由以上性质可得：在上的图象如上图所示：12分【解析】略【解析】【答案】19、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）因为是奇函数，且定义域为可由和列式求出的值，但要注意和只是本题中的是奇函数的必要条件；然后还要验证充分性；（2）判断函数的单调性在解答题中一般利用增函数或减函数的定义，或利用导函数的符号判断.

试题解析：（1）因为是奇函数，且定义域为所以2分。

所以所以4分。

又知

经验证，当时，是奇函数，所以7分。

（2）函数在上为减函数9分。

证明：法一：由（1）知

令则12分。

即函数在上为减函数14分。

法二：由（1）知

12分。

即函数在上为减函数．14分。

考点：函数的奇偶性、函数的单调性.【解析】【答案】（1）（2）减函数，证明详见解析；20、略

【分析】

（1）由已知可得∠PAQ=∠PBQ=90°；故直线QA，QB与圆P相切，QA=QB=3，则PQ=5，进而可得点Q所在曲线的方程；

（2）若a=4，b=6，圆M的方程为：（x-2）2+（y-3）2=13，与圆x2+y2=16相减可得公共弦AB所在的直线方程．

本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，两圆相交时的公共弦方程，难度中档．【解析】解：（1）∵以PQ为直径作圆M与圆P相交于A；B两点．

∴∠PAQ=∠PBQ=90°；

故直线QA；QB与圆P相切；

若QA=QB=3，则PQ==5；

故Q点在以P（0；0）为圆心，以5为半径的圆上；

即点Q所在曲线的方程为x2+y2=25（7分）；

（2）若a=4，b=6；

则PM==2

故圆M的圆心为（2，3），半径为

故圆M的方程为：（x-2）2+（y-3）2=13；

与圆x2+y2=16相减可得：4x+6y=16；

故直线AB的方程的方程为：2x+3y-8=021、略

【分析】

若圆的面积最小；圆M以已知两相交圆的公共弦为直径，即可求圆M的方程．

本题考查圆系方程的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．【解析】解：设所求圆x2+y2+2x+2y+1+λ（x2+y2+4x+y+1）=0；

即（1+λ）x2+（1+λ）y2+（2+4λ）x+（2+λ）y+1+λ=0；

其圆心为（）；

∵圆的面积最小；∴圆M以已知两相交圆的公共弦为直径；

相交弦的方程为2x-y=0，将圆心（）代人2x-y=0；

得λ=所以所求圆x2+y2+x+y+=0；

即为x2+y2+x+y+1=0．四、作图题(共2题，共20分)22、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．23、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．五、证明题(共3题，共27分)24、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．25、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．26、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α