2025年北师大版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学上册月考试卷66考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、式子的值等于（）

A.-4

B.0

C.4

D.2

2、各项均为正数的等比数列的前项和记为（）A.150B.-200C.150或-200D.-50或4003、若则角的终边在（）A.第二象限B.第四象限C.第二、四象限D.第三、四象限4、数据5，7，7，8，10，11的标准差是()A.8B.4C.2D.15、若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A.8B.2C.D.6、cos（α-35°）cos（25°+α）+sin（α-35°）sin（25°+α）的值为（）A.-B.C.-D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、【题文】已知点P、Q，平面α，将命题“P∈α，QαPQα”改成文字叙述是________．8、【题文】计算：=____.9、【题文】正实数及函数满足则的最小值为_____10、【题文】设则____11、满足条件M⊊{1，2}的集合M有______个．12、平面α∥平面β，A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于P，已知AP=8，BP=9，CP=16，则CD=______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)13、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．14、作出下列函数图象：y=15、作出函数y=的图象．16、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

17、请画出如图几何体的三视图．

18、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．19、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．20、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、证明题(共4题，共20分)21、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．22、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．23、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．24、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分五、解答题(共2题，共12分)25、某学校900名学生在一次百米测试中；成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14]，第二组[14，15），，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩小于14秒认为优秀；求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；

（2）请估计学校900名学生中；成绩属于第四组的人数；

（3）请根据频率分布直方图；求样本数据的众数和中位数．

26、如图；矩形ABCD

的两条对角线相交于点M(2,0)AB

边所在直线的方程为x鈭�3y鈭�6=0

点T(鈭�1,1)

在AD

边所在直线上.

求：

(1)AD

边所在直线的方程；

(2)DC

边所在的直线方程．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】

=+=2-2=0

故选B．

【解析】【答案】根据当n为偶数时=|a|，以及=a进行化简；即可求出所求．

2、A【分析】试题分析：由等比数列的前项和公式，由两式解得考点：等比数列的前项和.【解析】【答案】A3、C【分析】【分析】由题意转化为正弦函数；余弦函数的符号，然后确定角α的终边所在象限．

【解答】因为所以或所以角α的终边在四；二象限；

故选C．4、C【分析】【分析】本题考查了标准差的求法；计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：

（1)计算数据的平均数

（2)再根据公式求出数据的方差．标准差即方差的算术平方根；注意标差和方差一样都是非负数．

【解答】先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差．这组数据的平均数.=（5+7+7+8+10+11)÷6=8；

方差=[（5-8)+（7-8)+（7-8)+（8-8)+（10-8)+（11-8)]=4；

标准差=2．

故选C．5、C【分析】解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是k∈Z，所以ω=6k+k=0时，ω=

故选C

由题意可知函数在x=时确定最大值，就是求出ω的值即可．

本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式的求法，常考题型．【解析】【答案】C6、B【分析】解：根据题意；可得。

cos（α-35°）cos（25°+α）+sin（α-35°）sin（25°+α）

=cos[（α-35°）-（α+25°）]=cos（-60°）=cos60°=．

故选：B

根据两角和的余弦公式；原式等于cos[（α-35°）-（α+25°）]=cos60°，再根据特殊角的三角函数值即可算出所求式子的值．

本题求一个三角函数式子的值，着重考查了诱导公式、特殊角的三角函数值与两角和的余弦公式等知识，属于基础题．【解析】【答案】B二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】【解析】正确理解符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系，能正确进行自然语言、图形语言和符号语言的相互转化．【解析】【答案】若点P在平面α内，点Q不在平面α内，则直线PQ不在平面α内．8、略

【分析】【解析】

试题分析：

考点：对数的运算；指数幂的运算。

点评：熟记对数的运算法则和指数的运算法则，属于基础题型。常用公式：=1.【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】311、略

【分析】解：由M⊊{1；2}得，M是集合{1，2}的真子集；

所以M可以是∅；{1}，{2}，共3个；

故答案为：3．

根据题意判断出M是集合{1；2}的真子集，写出所有满足条件的集合M，可得答案．

本题考查子集与真子集的定义，写子集时注意按一定的顺序，做到不重不漏，属于基础题．【解析】312、略

【分析】解：∵平面α∥β；A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P；

∴AB；CD共面，且AC∥BD；

①若点P在平面α；B的外部；

∴

∵AP=8；BP=9，CP=16；

∴解得PD=18；

∴CD=PD-PC=18-16=2．

②点P在平面α；B的之间；

则即解得PD=18；

则CD=CP+PD=18+16=34；

故答案为：2或34．

用面面平行的性质；可得AC∥BD，根据比例关系即可求出CD．

本题考查面面平行的性质，考查学生的计算能力，正确运用面面平行的性质是关键．【解析】2或34三、作图题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．14、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．15、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可16、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．17、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．18、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。19、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．20、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、证明题(共4题，共20分)21、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．23、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．24、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．五、解答题(共2题，共12分)25、略

【分析】

（1）样本在这次百米测试中成绩优秀的人数=1×0.06×50=3（人）（2分）

（2）学校900名学生中；成绩属于第四组的人数1×0.32×900=288（人）（2分）

（3）由图可知众数落在第三组[15，16），是（5分）

因为数据落在第一；二组的频率=1×0.06+1×0.16=0.22＜0.5

数据落在第一；二、三组的频率=1×0.06+1×0.16+1×0.38=0.6＞0.5（6分）

所以中位数一定落在第三组[15；16）中．（7分）

假设中位数是x；所以1×0.06+1×0.16+（x-15）×0.38=0.5（9分）

解得中位数（10分）

【解析】【答案】（1）根据题意；