定积分的应用

定积分的应用定积分的应用定积分在几何学、物理学和经济学等方面有着广泛的应用.本节主要介绍利用定积分求面积、体积、弧长、变力做功、水压力、引力、转动惯量等问题.

利用定积分解决实际问题，不仅要会解决某一具体问题，更重要的是要学会掌握用定积分解决问题的基本思想和基本方法、步骤.要做到这一点，需把握下面两个问题：一是什么样的问题能用定积分来解决？二是用什么样的方法可以把实际问题转化为定积分问题？下面就这两个问题展开讨论分析.

一、定积分的微元法定积分的所有应用问题，一般可按“分割、近似、求和、取极限”这四个步骤把所求量表示为定积分的形式.为更好地说明这种方法，先来回顾第五章中讨论过的求曲边梯形面积的问题.

假设一曲边梯形由连续曲线y=f(x)［f(x)≥0］，x轴与两条直线x=a，x=b所围成，试求其面积A.

一、定积分的微元法(1)分割.用任意一组分点把区间［a,b］分成长度为Δxi(i=1,2,…,n)的n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形，记第i个小曲边梯形的面积为ΔAi.

(2)近似.第i个小曲边梯形面积的近似值

ΔAi≈f(ξi)Δxi(xi－1≤ξi≤xi).

(3)求和.所求曲边梯形面积A的近似值(4)取极限.所求曲边梯形面积A的精确值

其中λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}.

一、定积分的微元法由上述过程可见，把区间［a,b］分割成n个小区间时，所求面积A(总量)也被相应地分成n个小曲边梯形(部分量)，而所求总量等于各部分量之和()，这一性质称为所求总量对于区间［a,b］具有可加性.此外，以f(ξi)Δxi近似代替部分量ΔAi时，其误差是一个比Δxi更高阶的无穷小.这两点保证了求和、取极限后能得到所求总量的精确值.

一、定积分的微元法对上述过程，在实际应用中可略去下标i，改写如下：(1)分割.把区间［a,b］分割为n个小区间，任取其中一个小区间［x,x+dx］(区间元素)，用ΔA表示［x,x+dx］上小曲边梯形的面积，于是，所求面积A=∑ΔA.

一、定积分的微元法(2)近似.取［x,x+dx］的左端点x为ξ.以点x处的函数值f(x)为高、dx为底的小矩形的面积f(x)dx(面积元素，记为dA)作为ΔA的近似值(见图6-7)，即

ΔA≈dA=f(x)dx.图6-7一、定积分的微元法(3)求和.所求曲边梯形面积A的近似值A≈∑dA=∑f(x)dx.

(4)取极限.所求曲边梯形面积A的精确值A=lim∑f(x)dx=∫baf(x)dx.

由上述分析，可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U(总量)表示为定积分的方法——元素法，这个方法的主要步骤如下：一、定积分的微元法(1)根据具体问题，选取一个积分变量，如x为积分变量，并确定它的变化区间［a,b］，任取［a,b］的一个区间元素［x,x+dx］，求出相应于这个区间元素上的部分量ΔU的近似值，即求出所求总量U的元素

dU=f(x)dx.

(2)根据dU=f(x)dx写出表示总量U的定积分U=∫badU=∫baf(x)dx.

一、定积分的微元法应用元素法解决实际问题时，用定积分所表示的量U有三个共同特征：(1)所求总量U的大小取决于某个变量x的一个变化区间［a,b］，以及定义在该区间上的函数f(x).

(2)所求总量U关于区间［a,b］应具有可加性，即区间［a,b］上的总量U等于各子区间上的部分量之和.

(3)部分量ΔU可以求近似值，且有f(x)

dx=dU≈ΔU.

在通常情况下，要检验ΔU－f(x)dx是否为dx的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用中要注意dU=f(x)dx的合理性.二、定积分在几何学上的应用平面图形的面积1.

应用定积分，不但可以计算曲边梯形的面积，还可以计算一些比较复杂的平面图形的面积.二、定积分在几何学上的应用1）直角坐标情形如果一个平面图形D是由曲线y=f(x)，y=g(x)和直线x=a，x=b(a<b)围成，并且在［a,b］上有f(x)≥g(x)，如图6-8所示.图6-8二、定积分在几何学上的应用穿过区域D内部且平行于y轴的直线与区域D的边界相交不多于两点，此区域D为X型区域.对于这种X型区域，取x为积分变量比较方便，其变化区间为［a,b］.在［a,b］上任取一个窄条区间［x,x+dx］，则区间［x,x+dx］上所对应的窄曲边梯形的面积可以用高为f(x)－g(x)、宽为dx的矩形面积来近似，从而得到面积微元

dA=［f(x)－g(x)］dx.

二、定积分在几何学上的应用以该面积微元为被积表达式，在区间［a,b］上作定积分就得到这种图形的面积A=∫ba［f(x)－g(x)］dx.(6-15)如果一个平面图形D是由曲线x=φ(y)，x=ψ(y)和直线y=c，y=d(c<d)围成，并且在［c,d］上φ(y)≥ψ(y)，如图6-9所示.图6-9二、定积分在几何学上的应用穿过区域D内部且平行于x轴的直线与区域D的边界相交不多于两点，此区域D为Y型区域.对于这种Y型区域，取y为积分变量比较方便，其变化区间为［c,d］.将该区间分成若干小区间，在［c,d］上任取一个子区间［y,y+dy］，则区间［y,y+dy］对应的窄曲边梯形的面积可以用宽为φ(y)－ψ(y)、高为dy的矩形面积来近似，这样就得到这种图形的面积

A=∫dc［φ(y)－ψ(y)］dy.(6-16)

二、定积分在几何学上的应用【例39】求曲线xy=1与两直线y=x，x=3围成的图形(见图6-10)的面积.

解先求曲线xy=1与直线y=x交点的横坐标.为此解方程组图6-10二、定积分在几何学上的应用二、定积分在几何学上的应用【例40】求由抛物线y2=2x与直线y=4－x围成的图形(见图6-11)的面积.图6-11二、定积分在几何学上的应用二、定积分在几何学上的应用解法2如果选x为积分变量，需要用直线x=2把原来的图形分成两部分，然后才能按公式(6-15)计算.参看图6-11，有显然，解法1更简单.因此，利用定积分求平面图形的面积时，选择恰当的积分变量可使计算过程比较简单.实际上，利用定积分作其他计算也是如此.二、定积分在几何学上的应用【例41】求由方程所确定的椭圆的面积.解如图6-12所示，该椭圆的图形对称于两坐标轴，所以只要求出第Ⅰ象限那部分图形的面积再乘以4就可得到椭圆的面积，即

A=4∫a0ydx.图6-12二、定积分在几何学上的应用二、定积分在几何学上的应用2）极坐标情形某些形状的平面图形，用极坐标计算其面积比较方便.曲边扇形是极坐标中最典型的图形，首先介绍这类图形.

在极坐标中，由曲线ρ=ρ(θ)［ρ(θ)≥0］和射线θ=α，θ=β围成的曲边扇形，如图6-13所示.用微元法计算它的面积的方法如下.图6-13二、定积分在几何学上的应用取θ为积分变量，其变化区间为［α,β］.子区间［θ,θ+dθ］对应的窄曲边扇形面积可以用半径为ρ(θ)、中心角为dθ的扇形面积来近似代替，从而得到面积微元这样就得到曲边扇形的面积

(6-17)

对于其他比较复杂的图形，它的面积往往可以看成是两个曲边扇形面积的和或差，则问题也不难解决.二、定积分在几何学上的应用【例42】计算阿基米德螺线ρ=aθ(a>0)上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形(见图6-14)的面积.图6-14解根据式(6-17)得所求面积为二、定积分在几何学上的应用【例43】求三叶玫瑰线r=asin3θ围成的全面积A(见图6-15).图6-15二、定积分在几何学上的应用【例44】如图6-16所示，圆r=3cosθ被心脏线r=1+cosθ挖去一部分，求留下的图形面积.图6-16二、定积分在几何学上的应用二、定积分在几何学上的应用体积2.1）旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而成的立体，这条定直线称为旋转轴.圆柱、圆锥、圆台、球体都是旋转体.

由曲线y=f(x)

(该函数在区间［a,b］内保持同号)，直线x=a，x=b(a<b)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得到旋转体，如图6-17所示.下面推导这种旋转体体积的计算方法.

图6-17二、定积分在几何学上的应用取x为积分变量，其变化区间为［a,b］.在［a,b］上任取一个子区间［x,x+dx］，则区间［x,x+dx］对应的旋转体薄片的体积可以用底面积半径为f(x)、高为dx的圆柱体的体积来近似，从而得到体积微元

dV=π［f(x)］2dx.

以该体积微元为被积表达式，在区间［a,b］上作定积分就得到这种旋转体的体积

V=π∫ba［f(x)］2dx.(6-18)

用类似的方法可以推导出由曲线y=φ(x)

(该函数在区间［c,d］内保持同号)，直线y=c，y=d(c<d)及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周得到的旋转体的体积

V=π∫dc［φ－1(y)］2dy.(6-19)

二、定积分在几何学上的应用【例45】图6-18二、定积分在几何学上的应用【例46】图6-19求由连接坐标原点O及P(h,r)的直线段、x轴及x=h围成的直角三角形绕x轴旋转而成的旋转体(见图6-19)的体积.二、定积分在几何学上的应用二、定积分在几何学上的应用2）平行截面面积已知的立体体积计算旋转体体积的分析过程，实际上可以用来分析平行截面面积已知的立体体积的计算.如图6-20所示，有一立体被垂直于x轴的平面相截，被截体积位于x=a和x=b的两平面之间，而且它被垂直于x轴的平面所截的截面积是x的已知连续函数A(x).图6-20二、定积分在几何学上的应用这时，取x为积分变量，则积分区间为［a,b］.在［a,b］上任取一个小区间［x,x+dx］，则区间［x,x+dx］对应的薄片的体积可以用底面积为A(x)、高为dx的扁圆柱体的体积来近似代替，从而得到体积微元

dV=A(x)dx.

以该体积微元为被积表达式，在区间［a,b］上作定积分就得到所求立体的体积

V=∫baA(x)dx.(6-22)

二、定积分在几何学上的应用【例47】图6-20一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面的交角为α，截得一楔形立体，如图6-21所示，求该立体的体积.二、定积分在几何学上的应用解取该平面与圆柱体的底面交线为x轴，在底面上过圆心且垂直于x轴的直线为y轴，那么底圆的方程x2+y2=R2.过点(x,0)且垂直于x轴的平面截该立体所得的截面是直角三角形.它的两条直角边的长度分别为y及ytanα，因而截面面积为二、定积分在几何学上的应用平面曲线弧长3.我们知道直线段的长度是通过直接测量来确定的，但一条曲线段的长度却不能直接测量.那么，我们怎么计算曲线的弧长呢？已知圆周的长度l=2πr(其中r为圆的半径)，那么，这个公式是怎么推导出来的呢？一般的曲线弧长又该如何计算呢？下面通过建立平面光滑曲线弧长的概念来揭示此问题.二、定积分在几何学上的应用1）弧长的概念设有一条以A和B为端点的曲线弧(见图6-22)，在其上任取分点

A=M0,M1,M2,…,Mn－1,Mn=B，图6-22二、定积分在几何学上的应用依次连接分点成折线，则折线的长度为

当分点数目无限增加，即λ=max{|Mi－1Mi|}→0

(i=1,2,…,n)时，如果Ln的极限存在，则称其极限值为该曲线弧的长度，即二、定积分在几何学上的应用2）弧长的计算公式如果曲线弧由直角坐标方程y=f(x)给出，其中f(x)在［a,b］上有一阶连续导数，求曲线弧的长度s(见图6-23).

图6-23二、定积分在几何学上的应用取x为积分变量，它的变化区间为［a,b］，在其上任取小区间［x,x+Δx］，在该小区间上的弧长可用M点处相应的一小段切线长来近似，即用弧微分来近似，故有

Δs≈ds=1+y′2dx，从而有

s=∫ba1+y′2dx，(6-23)

这就是直角坐标系下曲线弧长的计算公式.

如果曲线弧由参数方程二、定积分在几何学上的应用给出，其中φ(x)，ψ(x)在［α,β］上具有连续导数，α,β分别为曲线的两个端点所对应的参数值，这时将弧长微分公式作如下变换

ds=1+y′2dx=(dx)2+(dy)2

=φ′2(t)(dt)2+ψ′2(t)(dt)2=φ′2(t)+ψ′2(t)dt，则该曲线弧长s为

s=∫βαφ′2(t)+ψ′2(t)dt.(6-24)

如果曲线由极坐标方程

r=r(θ)(α≤θ≤β)

给出，类似条件下可得弧长微分公式为

s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ.(6-25)

式(6-25)的推导从略.

二、定积分在几何学上的应用弧长的计算公式中的下限一定要小于上限.注二、定积分在几何学上的应用【例48】二、定积分在几何学上的应用【例49】图6-24二、定积分在几何学上的应用三、定积分在物理学上的应用变力沿直线所做的功1.由初等物理知识知，一个与物体位移方向一致而大小为F的常力，将物体移动了距离s时所做的功为W=F·s.

如果物体在运动过程中受到变力的作用，则可利用定积分元素法来计算物体受变力沿直线所做的功.

一般地，假设F(x)是［a,b］上的连续函数，下面讨论在变力F(x)的作用下，物体从x=a移动到x=b时所做的功W(见图6-25).图6-25三、定积分在物理学上的应用取x为积分变量，其变化区间为［a,b］.在［a,b］上任取一小区间［x,x+dx］，物体由点x移动到x+dx的过程中受到的变力近似视为物体在点x处受到的常力F(x)，则功元素为

dW=F(x)dx，于是，物体受变力F(x)的作用从x=a移动到x=b时所做的功为W=∫badW=∫baF(x)dx.

在实际应用中，许多问题都可以转化为物体受变力作用沿直线所做的功的情形.下面通过具体例子来说明.

三、定积分在物理学上的应用【例50】半径为r的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的密度为1,现将球从水中取出,需做多少功?

解建立如图6-26所示的坐标系，将半径为r的球取出水面,在整个运动过程中,球所受的力F(x)为F(x)=G－F浮,图6-26三、定积分在物理学上的应用三、定积分在物理学上的应用【例51】设40N的力使弹簧从自然长度0.1m拉长到0.15m,问需要做多大的功才能克服弹性恢复力,将伸长的弹簧从0.15m处再拉长0.03m?解根据胡克定律［在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力与伸长量(或压缩量)成正比］，如图6-27所示建立坐标系，F(x)=kx.图6-27三、定积分在物理学上的应用又因为40N的力使弹簧从自然长度0.1m拉长到0.15m时，其伸长量为0.05m,因而F(0.05)=40,即0.05k=40,

可得k=800,则F(x)=800x,

故弹簧从0.15m拉长到0.18m，所做的功为W=∫0.080.05800xdx=400x20.080.05

=1.56(

J

).

三、定积分在物理学上的应用水压力2.由物理学知,在距水面深为h处的压强为p=ρgh(其中ρ为水的密度，g为重力加速度),并且在同一点处的压强在各个方向是相等的.若一面积为A的平板水平地放置在距水面深度为h处,则平板一侧所受到的水压力为P=pA=ρghA.

若平板垂直地放在水中,由于深度不同的点处压强不相同，平板一侧所受压力就不可用上述方法计算.但由于整个平板所受的压力对深度具有可加性，因此可以用定积分的元素法来计算.

三、定积分在物理学上的应用如图6-28所示，假设平板的形状为一曲边梯形，它是由y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的.将其垂直地放置在密度为ρ的水中,两腰与水面平行,且距水面的高度分别为a与b(a<b),求平板一侧所受水的压力.图6-28三、定积分在物理学上的应用选x为积分变量,其变化区间为a,b.在a,b上任取一小区间x,x+dx,若dx很小,该小区间对应的小曲边梯形所受到的压强可以近似地用深度为x处的压强代替,因此所受到的压力元素为

dP=ρgxfxdx,

在a,b上积分,便得整个平板一侧所受到的压力为P=∫baρgxfxdx.

下面通过具体例子来说明.

三、定积分在物理学上的应用【例52】将直角边分别为a及2a的直角三角形薄板垂直地浸入水中,斜边朝下,边长为2a的直角边与水面平行,且该边到水面的距离恰等于该边的边长,求薄板一侧所受水的压力(设水的密度为ρ).解如图6-29建立坐标系,取x为积分变量，它的变化范围为0,a,在［0,a］上任取一小区间［x,x+dx］,则小矩形片的面积为2(a－x)dx,小矩形片上各处的压强近似为p=ρg(x+2a)，三、定积分在物理学上的应用图6-29三、定积分在物理学上的应用引力3.根据初等物理学知识，质量分别为m1，m2，相距r的两个质点间的引力的大小为引力的方向为两质点的连线方向.

如果要计算一根细棒或一平面对一个质点的引力，由于细棒或平面上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，那么此时应如何计算呢？下面通过具体例子来说明该问题的计算方法.三、定积分在物理学上的应用【例53】设有一半径为R,中心角为φ(0<φ<π)的圆弧形细棒,其线密度为常数ρ,在圆心处有一质量为m的质点M,试求这细棒对质点M的引力.解如图6-30建立坐标系,质点M位于坐标原点,x轴平分该圆弧的圆心角,由于此图形关于x轴对称,而圆弧形细棒又是均匀的,故细棒对质点M的引力在y轴上的分力Fy=0,只计算引力在x轴上的分力Fx即可.图6-30三、定积分在物理学上的应用四、定积分在经济学中的应用由边际函数求总量函数1.已知边际函数F′(x)，可由牛顿莱布尼兹公式求得经济函数(原函数)

F(x)=∫x0F′(t)dt+F(0)；产量由a变到b时，经济函数的增量ΔF=∫baF′(x)dx.

四、定积分在经济学中的应用【例54】生产某产品的边际成本函数为C′(x)=3x2-14x+100,固定成本C(0)=1000,求总成本函数.

解总成本函数C(x)=C(0)+∫x0C′(t)dt=1000+∫x0(3t2-14t+100)dt

=1000+x3-7x2+100x.

四、定积分在经济学中的应用【例55】已知某产品销售量为x时边际收益为R′(x)=100－x.求：(1)销售量为10时的收益.(2)销售量从20增加到30时，收益是多少？四、定积分在经济学中的应用消费者剩余与生产者剩余2.在经济管理中,一般说来,商品价格低,需求就大;反之,商品价格高,需求就小,因此需求函数Q=f(P)是价格P的单调减少函数.

同时商品价格低,生产者就不愿生产,因而供给就少;反之,商品价格高,供给就多,因此供给函数Q=g(P)是价格