磁场的高斯定理和安培环路定理

磁场的高斯定理和安培环路定理磁场和电场一样，是场物质的存在形式，电场的性质用电通量和电场强度的环流满足的规律，即高斯定理和环路定理描述；磁场性质的研究也仿照这个思路，引入高斯定理和安培环路定理.这也为其他形式场的物质性质的经典描述提供了很好的思路.磁场的高斯定理一、磁感应线1.前面引入磁感应强度描述磁场，磁感应强度B是空间点函数，不同点的B的大小和方向各不相同，磁场的强弱可用B的表达式精确描述，但这种描述方法不直观.在磁场中，类似于电场线，引入磁感应线（磁力线）形象直观地描述磁场.磁感应线上每点的切线方向和该点磁感应强度B的方向一致，而且定义穿过垂直于该点磁感应强度单位面积元的磁感应线的条数，即磁感应线的密度等于该点B的数值.用磁感应线的疏密程度表示磁场的强弱，B大的地方，磁感应线就密集；B小的地方，磁感应线就稀疏.因而磁感应线的分布能形象地反映磁场的方向和大小的特征.对均匀磁场来说，各处磁感应线密度相等，磁场中的磁感应线相互平行等距；而对于非均匀磁场来说，各处磁感应线密度不相等，如图9-15所示.英国物理学家法拉第在1852年首先提出了磁感应线的概念.他在一张撒了铁粉的纸的下面，用磁棒轻轻颤动，这些铁粉就能够把磁场的磁感应线清楚地呈现出来.图9-15典型电流激发的磁场（a）长直电流

（b）圆电流

（c）螺线管

（d）螺绕环图9-15所示为长直电流、圆电流、螺线管和螺绕环四种典型电流激发的磁场的磁感应线分布实验图.观察上述不同电流的磁感应线，发现这些磁感应线区别于电场线.总结上面四种电流的磁感应线分布情况，可以归纳出磁感应线的性质.(1）磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点——与电场线不同.原因是正负电荷可以分离，而磁铁的两极不可分离.

(2）磁感应线永远与电流互相套合，其环绕方向与电流流向构成右手螺旋关系——与电场线不同.(3)磁感应线不相交——与电场线相同.电场中引入电通量描述电场，同样地，磁场中也可引入磁通量描述磁场.下面介绍磁场中磁通量的概念.磁通量2.通过磁场中某一曲面的磁感应线的条数称为通过此曲面的磁通量，简称B通量，用符号Φm表示.磁通量是标量，但它有正、负之分.磁通量Φm的计算方法与电通量Φe的计算方法类似.在工程中，B也被称作磁通密度.类似于电通量，在磁通量的定义中也有有向曲面的概念.如图9-16所示，在非匀强磁场中任一给定曲面S上取面积元dS矢量，若dS的法线方向en与该处磁感应强度B的夹角为θ，则通过面积元dS的元磁通量为dΦm=B·dS=BdScosθ(9-17)图9-16磁通量式中，dS为面积元矢量，其大小为dS，方向沿法线方向，用法向的单位矢量en表示.通过整个曲面S的磁通量等于通过此面积上所有面积元的磁通量的代数和，即(9-18)在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯（Wb）.

1Wb=1T·m2

对于闭合曲面来说，规定垂直于曲面向外的指向为单位法线矢量en的正方向.这样，当磁感应线从闭合曲面内穿出时，则磁通量为正值；当磁感应线穿入闭合曲面时，则磁通量为负值，如图9-17所示.因为磁感应线是无头无尾的闭合线，所以穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出闭合曲面的磁感应线条数.因此，通过磁场中任一闭合曲面的总磁通量是恒等于零的，这一结论称为磁场的高斯定理，即

（9-19）式(9-19)与静电场的高斯定理相对应，但两者有着本质的区别.在静电场中，因为自然界有独立存在的自由电荷，所以通过某一闭合曲面的电通量可以不为零，说明静电场是有源场.在磁场中，因为自然界中的磁极总是成对出现的，没有单独存在的磁极，所以通过任一闭合曲面的磁通量必恒等于零，即SB·dS=0，说明磁场是无源场.图9-17闭合曲面的磁通量磁场的安培环路定理二、静电场中的电场线起始于正电荷终止于负电荷，意味着静电场是有源场.这种场的电场强度沿任意闭合路径的环流恒等于零，即∮LE·dl=0，说明静电场是保守场.而在磁场中，磁感应线都是环绕电流的闭合曲线，明显区别于非闭合的电场线，说明磁场的性质一定不同于静电场，那么磁场的磁感应强度沿任意闭合路径的环流不一定恒等于零，即∮LB·dl≠0，说明磁场一定是非保守场.在真空中，各点磁感应强度B的大小和方向与产生该磁场的电流分布有关.可以预见环流∮LB·dl的值也与场源电流的分布有关.磁场中磁感应强度B的环流与场源电流满足一定规律，下面的定理将给出它们之间简单的定量关系.科学研究往往是从一个特殊情形出发得出某种结论，然后进行一定的概括和抽象，最后归纳得出普遍适用的定理，这是一条传统的、比较成熟的科学研究途径.下面从特例出发计算环流∮LB·dl的值，然后引入定理.安培环路定理的内容1.设真空中有一长直线电流，它所激发的磁场的磁感应线是一组以直线电流为轴线的同轴圆，如图9-19(a)所示，即圆心在直电流上，圆所在的平面与电流垂直.在垂直于长直线电流的平面内，任取一条以直线电流为圆心、半径为r的圆形环路L作为积分的闭合路径.其方向与圆周相切.如果积分路径的绕行方向与该条磁感应线方向相同，也就是积分路径的绕行方向与包围的电流成右手螺旋关系，则B与dl间的夹角处处为零，于是式(9-20)左端称为磁感应强度B沿闭合路径L的环流，说明B的环流等于闭合路径所包围的电流与真空磁导率的乘积，而与积分路径的圆半径r无关.图9-19安培环路定理如果保持积分路径的绕行方向不变，而改变上述电流的方向，由于每个线元dl与B的夹角θ=π，因此(9-21)式(9-21)不同于式(9-20)的结论，说明电流方向与积分路径的绕行方向之间的关系影响B的环流的计算结果.式(9-21)不同于式(9-20)的结论，说明电流方向与积分路径的绕行方向之间的关系影响B的环流的计算结果.如果计算B的环流时选取任意闭合路径，见图9-19(a),图9-19(b)是局部细节图.设回路L的绕向为逆时针，电流与回路平面的交点为O，在回路上任取一线元dl，它与B的夹角为θ，对O点的张角为dφ.由于线元dl很小，dφ很小，因此B的环流为这个结论与式(9-20)的结论一致，说明B的环流（B沿闭合路径的积分）与路径形状无关，只与包围的电流有关.如图9-20所示图9-20回路外电流对环流的贡献若在垂直平面内的任一闭合路径L不包围电流，则电流与回路相切于a、b两点，这两点在回路上将L分成L1、L2两段，对同一张角dφ，对应于两个线元dl1和dl2，dl1与B1成钝角，dl2与B2成锐角.因此有当电流未穿过闭合路径L时，路径上各点的磁感应强度虽不为零，但磁感应强度沿该闭合路径的环流为零，即回路外的电流对B的环流无贡献.如果空间磁场由n个电流共同激发，其中闭合回路L包含m个电流，其余n－m个电流没有穿过闭合路径.回路上任一点的B应为各电流在该点所产生的磁感应强度的矢量和，即B=B1+B2+…+Bn，于是对该闭合路径L，B的环流为由此归纳出安培环路定理，其表述为：在真空的稳恒电流磁场中，磁感应强度B沿任意闭合曲线的线积分（B的环流），等于穿过该闭合曲线的所有电流强度（穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流强度）的代数和的μ0倍，即

（9-22）

为了更好地理解这个定理的含义，需要说明以下几点：（1）回路L的绕行方向可以任意选择，当L与电流Ii满足右手螺旋关系时，电流Ii取正值；反之，取负值.∑L内Ii是指闭合路径L内包围电流的代数和.（2）要注意区分B的环流与B.如图9-21（a）所示，电流I1、I2和I3穿过闭合路径L.电流I1穿入回路L并且穿出回路L，对B的环流的贡献为零.I2与L成右旋关系，I2取正值；I3与L成左旋关系，I3取负值.I4未穿过闭合路径L，所以对B的环流无贡献.于是，B沿该闭合路径的环流为若将电流I4的位置移动，如图9-21（b）所示.此时，B的环流不变，仍为∮LB·dl=μ0(I2－I3).也就是说，回路L外的电流I4的位置对B的环流没有影响.所以，B的环流只由回路L内所包围的电流决定.但是电流I4的位置移动，回路L上的各点B是由空间所有电流共同激发的.所以，B的环流与B是两个不同的概念.图9-21电流与环流的关系（3）与静电场的环路定理∮E·dl=0相比较，稳恒磁场中B的环流∮B·dl≠0，说明稳恒磁场的性质和静电场不同.静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场，不能引入标势的概念.安培环路定理揭示了稳恒电流磁场的基本性质.(4)安培环路定理对于任意稳恒电流均成立.若电流随时间变化，则还必须加以修正.安培环路定理对于研究稳恒磁场有着重要意义，同时它也有很重要的应用.安培环路定理的应用2.安培环路定理除了反映磁场的非保守性外，也可以用来简便地计算具有某些对称性的典型磁场的磁感应强度，类似于静电场的高斯定理的应用.安培环路定理是一个普遍定理，但要用它直接计算磁感应强度，只限于电流分布具有某种对称性，即利用安培环路定理求磁场的前提条件是如果在某个载流导体的稳恒磁场中，可以找到一条闭合环路L，该环路上各点的磁感应强度B的大小处处相等或者一部分B的大小处处相等，其余部分B⊥dl，这样利用安培环路定理求B的问题，就转化为求环路长度及求环路所包围的电流代数和的问题.利用安培环路定理求磁场的关键是在磁场中能否找到上述环路.这取决于该磁场分布的对称性，而磁场分布的对称性又源于电流分布的对称性.应用安培环路定理，计算一些具有一定对称性的电流分布的磁感应强度十分方便.计算时，首先用磁场叠加原理对载流体的磁场进行对称性分析，然后根据磁场的对称性和特征，设法找到满足上述条件的积分路径(使B可提到积分号外)，最后利用定理公式求磁感应强度.（1）无限长直载流圆柱体的磁场分布.无限长直载流圆柱体截面电流强度为I，圆柱体截面半径为R.①首先，分析电流的对称性，找出磁场分布的对称性.如图9-22（a）所示，电流沿轴向在截面上均匀分布.圆柱体电流可看成无数长直线电流的集合.如图9-22(b)所示图9-22无限长直载流圆柱体的磁场②其次，选择合适的闭合回路L.磁场具有轴对称性，轴对称性磁场表现为磁感应线是由等距点组成的，因此磁感应线上各点的B的大小相等，B的方向沿磁感应线的切线方向.根据磁场的对称性选择闭合回路L.如图9-22（b）所示，过场点P的同轴圆L为闭合路径，规定其绕行方向沿逆时针方向，与B同向，则B的环流为上式表明，在导体内部B的大小与r成反比，即长直载流圆柱体外部磁场的B分布与无限长载流直导线的磁场的B分布相同.图9-22（c）给出了长直载流圆柱体的磁场B随r变化的曲线.实际上，只要是无限长直柱状载流体，都可用安培环路定理计算轴对称性的磁场的磁感应强度的大小.例如，无限长直柱面电流，仍可用上述方法计算磁感应强度的大小，柱面内的磁感应强度B=0.另外，一些无限长直柱状电流组合的磁场也可以这样计算.（2）无限大载流平面的磁场.设一无限大载流平面垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流密度（指通过与电流方向垂直的单位长度的电流）均匀，大小为j.①首先，分析对称性.如图9-23所示，这个面电流可视为无限多平行长直电流激发的磁场.电流分布具有面对称性.任取场点P，作PO垂线，取对称的长直电流元，其和磁场方向平行于电流平面.无数对称元在P点的总磁场方向平行于电流平面.因电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点磁感应强度B的大小相等.在该平面两侧的磁场方向相反.该磁场的分布特征具有面对称性，等距点B的大小相等，磁感应线平行于平面.②其次，根据磁场的对称性特征，取合适的安培回路.作一安培回路如图9-23所示，bc和da两边被电流平面等分.图9-23无限大载流平面的磁场（3）长直载流螺线管内的磁场.设螺线管长为L，半径为R，导线均匀密绕在管的圆柱面上，单位长度上的匝数为n，导线中的电流强度为I.①首先，分析磁场的对称性.通常L>20R，可将螺线管视为无限长.长直载流螺线管可看作由无穷多个共轴的圆电流构成，其周围磁场是由各匝圆电流所激发磁场的叠加结果.在长直载流螺线管的内部任选一点P，在点P两侧对称地选择两匝圆电流，由圆电流的磁场分布可知，两者的磁场叠加，磁感应强度B的方向与螺线管的轴线方向平行.因为是无限长，所以只有轴上的分量，在与轴等距离的平行线ab上磁感应强度相等如图9-24所示.图9-24长直载流螺线管内的磁场由于载流长直螺线管的磁感应线与轴平行，两端通向无穷远，在无穷远处