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正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法设级数u1+u2+u3+…+un+…的每一项都是非负数，即un≥0，则称此级数为正项级数.显然，正项级数的部分和数列是单调增加的，即

S1≤S2≤S3≤…≤Sn≤Sn+1≤…，由数列收敛的准则可知，如果{Sn}单调有界，则数列{Sn}一定收敛，即若Sn≤M，则

且有S≤M

.反之，如果正项级数

收敛于S，即

则{Sn}一定有界.由上面的讨论可得正项级数判别收敛的基本法则.S正项级数及其审敛法定理1正项级数

收敛的充分必要条件是它的部分和数列{Sn}有界.此定理的意义在于，当判断一个正项级数是否收敛时，可以不求部分和Sn及其极限，只要能够判定{Sn}是否有界就可以了.定理1是判别正项级数是否收敛的基本法则，有关正项级数的其他审敛法都是以这条定理为基础而建立起来的.但是，无论是由定义还是基本法则来判定正项级数的收敛性，都涉及部分和的计算，这是相当困难的，为此，下面我们在基本法则的基础上，讨论常用的正项级数的审敛方法.首先看一个例题.正项级数及其审敛法【例8】正项级数及其审敛法定理2正项级数及其审敛法该审敛法条件中的不等式，也可以从某项开始，即un≤vn(n=N,N+1,…).见推论，请读者自己论证.注正项级数及其审敛法推论正项级数及其审敛法【例9】利用比较审敛法，需要和已知的级数相比较，我们已经有等比级数和调和级数，另一个常用的级数是p级数.正项级数及其审敛法【例10】判别p级数正项级数及其审敛法p级数收敛性结论在以后级数的收敛性判定中经常会用到，请牢记.注正项级数及其审敛法【例11】判定下列级数的敛散性.正项级数及其审敛法利用比较审敛法，常要在讨论不等式上花费很大精力，同时要对所讨论的级数有个大致的估计，才能证明是收敛或是发散.因为我们都是在一般项趋近于零的前提下讨论敛散性，因此我们自然会想，可否通过比较一般项的无穷小的阶来判断其收敛性呢？下面给出比较审敛法的极限形式.正项级数及其审敛法定理3正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法【例12】正项级数及其审敛法定理4正项级数及其审敛法(11-3)正项级数及其审敛法(2)当ρ>1时，取ε使得ρ－ε=q>1，于是当n>N时，正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法【例14】正项级数及其审敛法【例15】正项级数及其审敛法【例16】正项级数及其审敛法定理5正项级数及其审敛法【例17】正项级数及其审敛法【例18】正项级数及其审敛法【

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