正项 级数及其审敛法

正项级数及其审敛法第二节正项级数及其审敛法设级数u1+u2+u3+…+un+…的每一项都是非负数，即un≥0，则称此级数为正项级数．显然，正项级数的部分和数列是单调增加的，即由数列收敛的准则可知，如果{Sn}单调有界，则数列{Sn}一定收敛，即若Sn≤M，则limn→∞Sn=S，且有S≤M．

反之，如果正项级数

收敛于S，即

则{Sn}一定有界．由上面的讨论可得正项级数判别收敛的基本法则．第二节正项级数及其审敛法正项级数

收敛的充分必要条件是它的部分和数列{Sn}有界．此定理的意义在于，当判断一个正项级数是否收敛时，可以不求部分和Sn及其极限，只要能够判定{Sn}是否有界就可以了．定理1第二节正项级数及其审敛法定理1是判别正项级数是否收敛的基本法则，有关正项级数的其他审敛法都是以这条定理为基础而建立起来的．但是，无论是由定义还是基本法则来判定正项级数的收敛性，都涉及部分和的计算，这是相当困难的，为此，下面我们在基本法则的基础上，讨论常用的正项级数的审敛方法．首先看一个例题.第二节正项级数及其审敛法判别正项级数又因为【例1】第二节正项级数及其审敛法当n≥1时，有由定理1可知，级数收敛．根据定理1，可得关于正项级数的一个基本的审敛法——比较审敛法．第二节正项级数及其审敛法（比较审敛法）设有两个正项级数与(1)如果级数

收敛，则级数

也收敛.(2)如果级数

发散，则级数

也发散．定理2第二节正项级数及其审敛法

证记(1)设

，由定理1可知σn有界，且有σn≤σ．于是故{Sn}有界，由定理1可知

收敛．(2)反证法.如果

收敛，由已证结论（1）可知

也收敛，这与已知条件矛盾．第二节正项级数及其审敛法该审敛法条件中的不等式，也可以从某项开始，即un≤vn(n=N,N+1,…)．见推论，请读者自己论证．注意第二节正项级数及其审敛法推论设有正项级数

与

，并且N为某一正整数）.(1)如果

收敛，则级数

也收敛.(2)如果级数

发散，则级数

也发散．第二节正项级数及其审敛法判定级数的敛散性．

解因为级数的一般项

，而级数

是发散的，所以级数

也发散．利用比较审敛法，需要和已知的级数相比较，我们已经有等比级数和调和级数，另一个常用的级数是p级数．【例2】第二节正项级数及其审敛法判定p级数的敛散性．【例3】第二节正项级数及其审敛法

解当p=1时，级数是调和级数，所以它是发散的．当0<p<1时，除第一项外，其余各项都大于调和级数的对应项，所以也是发散的．当p>1时，p级数是正项级数，将它加括号后敛散性不变．顺次把给定p级数的一项、两项、四项、八项……括在一起，即第二节正项级数及其审敛法容易看出，上式各项小于下面级数所对应的各项，即因为后一个级数是公比为

的等比级数，并且由

得知r<1．所以该级数收敛．再根据比较审敛法推得前一个级数也收敛．又因为收敛的正项级数去掉括号后仍收敛，所以原级数收敛．综上所述，p级数

，当p>1时收敛，当0<p≤1时发散．第二节正项级数及其审敛法p级数收敛性结论在以后级数的收敛性判定中经常会用到，请牢记．注意第二节正项级数及其审敛法

例如，级数

是收敛的，因p=2>1；而级数

是发散的，因第二节正项级数及其审敛法判定下列级数的敛散性．【例4】第二节正项级数及其审敛法

解

(1)原级数的一般项为而级数只比调和级数少了前两项，所以级数是发散的．再根据比较审敛法得知，级数发散．(2)因为2n>2n－1≥n，所以又因为级数是p=2的p级数，它是收敛级数．由比较审敛法得知，原级数是收敛的．第二节正项级数及其审敛法利用比较审敛法，常要在讨论不等式上花费很大精力，同时要对所讨论的级数有个大致的估计，才能证明是收敛或是发散．因为我们都是在一般项趋近于零的前提下讨论敛散性，因此我们自然会想，可否通过比较一般项的无穷小的阶来判断其收敛性呢？下面给出比较审敛法的极限形式．第二节正项级数及其审敛法（比较审敛法的极限形式）设有两个正项级数(1)如果，且级数

收敛，则级数

收敛.(2)如果，且级数发散，则级数

发散．定理3第二节正项级数及其审敛法证因为对任给ε>0，存在正整数N，当n>N时（1）当n>N时因为

收敛，由比较审敛法的推论可知

也收敛．第二节正项级数及其审敛法（2）l>0，取0<ε<l，当n>N时因为

发散，由比较审敛法的推论可知

也发散．对于

时的情形，则可类似讨论．第二节正项级数及其审敛法对于极限形式的比较审敛法来说，在两个正项级数的一般项趋于零的情况下，其实是比较它们一般项作为无穷小的阶．定理表明，当n→∞时，如果un是与vn同阶或比vn高阶的无穷小，而级数

收敛，则级数

收敛；如果un是与vn同阶或比vn低阶的无穷小，而级数

发散，则级数

发散．第二节正项级数及其审敛法判定级数

的敛散性．

解因为而级数

发散，根据比较审敛法的极限形式知此级数发散．【例5】第二节正项级数及其审敛法判定级数

的敛散性．

解因为而级数收敛，根据比较审敛法的极限形式知此级数收敛．【例6】第二节正项级数及其审敛法由上可知，利用比较审敛法判定一个级数的敛散性，需要选择一个已知收敛或发散的级数作为比较标准，如等比级数、p级数等．但选择什么样的级数才能使比较审敛法有效．这并不容易做到的．因此，我们必须寻求更有效的审敛法．第二节正项级数及其审敛法（比值审敛法，达朗贝尔（d’Alembert）审敛法）设

是正项级数，如果则（1）当ρ<1时，级数

收敛.（2）当ρ>1时，级数

发散（包括ρ=∞）.

（3）当ρ=1时，级数

可能收敛也可能发散．定理4第二节正项级数及其审敛法证由极限的定义可知，对任给ε>0，存在正整数N，当n>N时，不等式成立．（1）当ρ<1时，取ε使得ρ+ε=q<1，于是当n>N时，即第二节正项级数及其审敛法因此，有故正项级数(11-16)的各项小于或等于级数第二节正项级数及其审敛法的对应项，而上式是收敛的等比级数，由比较审敛法可知式(11-6)收敛，从而

也收敛.（2）当ρ>1时，取ε使得ρ－ε=q>1，于是当n>N时，从而所以un是递增的，

故级数发散．第二节正项级数及其审敛法

的情形可以类似地证明．（3）当ρ=1时，级数可能收敛也可能发散．例如，p级数

，不论p为何值时都有当p>1时级数收敛，当p≤1时级数发散．第二节正项级数及其审敛法判定级数

的敛散性．

解因为即

．由比值审敛法可知，级数

收敛．【例7】第二节正项级数及其审敛法顺便指出，在判定级数收敛后，利用级数收敛的必要条件可以得到

因此，有时可通过级数收敛性来判别某些数列的极限．第二节正项级数及其审敛法判定级数

的敛散性．

解因为即

由比值审敛法可知，级数

收敛．同时，由收敛的必要条件知

【例8】第二节正项级数及其审敛法判定级数

的敛散性．

解因为即

由比值审敛法可知，级数

发散．【例9】第二节正项级数及其审敛法根值审敛法，柯西审敛法）设是正项级数，如果则（1）当ρ<1时，级数

收敛.（2）当ρ>1时，级数

发散（包括ρ=∞）.

（3）当ρ=1时，级数

可能收敛也可能发散．定理5的证明与定理4类似，在此不再赘述．定理5第二节正项级数及其审敛法判定级数

的敛散性．

解因为即

由比值审敛法可知，级数

收敛．【例10】第二节正项级数及其审敛法判定级数

的敛散性．

解因为即

由比值审敛法可知，级数

收敛．【例11】第二节正项级数及其审敛法需要指出的是，定理4和定理5的条件都是使结论成立的充分条件，而不是必要条件.例如，级数

是收敛的，但

不存在；又如，p>1时的p级数是收敛的，但

，而不小于1．第二节正项级数及其审敛法判定级数

的敛散性．

解由于【例12】第二节正项级数及其审敛法对于级数

，由于级数

收敛，从而本例题所讨论的级数收敛．上面用