北京高三月考数学试卷

北京高三月考数学试卷一、选择题

1.在下列各数中，无理数是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

C.$1.414$

D.$\frac{1}{3}$

2.设函数$f(x)=x^2-4x+4$，则函数的对称轴是（）

A.$x=2$

B.$x=-2$

C.$y=2$

D.$y=-2$

3.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$a_1=3$，$a_5=15$，则$d=$（）

A.$2$

B.$3$

C.$4$

D.$5$

4.在下列各三角形中，是直角三角形的是（）

A.$a^2+b^2=c^2$

B.$a^2-b^2=c^2$

C.$a^2+b^2+c^2=0$

D.$a^2-b^2+c^2=0$

5.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_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二、判断题

1.在函数$f(x)=\frac{1}{x}$中，当$x>0$时，函数是增函数。（）

2.二项式定理中的通项公式是$T_{r+1}=C_n^r\cdota^{n-r}\cdotb^r$。（）

3.等差数列的通项公式是$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$是首项与公差之间的差。（）

4.在圆的方程$x^2+y^2=r^2$中，$r$表示圆的半径。（）

5.若函数$f(x)=x^3$在区间$[0,1]$上单调递增，则其导数$f'(x)=3x^2\geq0$在整个实数域上恒成立。（）

三、填空题

1.函数$f(x)=\sqrt{4-x^2}$的定义域为________。

2.若等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=5$，公差$d=3$，则第10项$a_{10}=$________。

3.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(1)=$________。

4.在直角坐标系中，点$(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点坐标为________。

5.若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1=8$，公比$q=2$，则第5项$a_5=$________。

四、简答题

1.简述二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图像与系数$a$、$b$、$c$之间的关系，并说明如何根据这些关系判断函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。

2.请给出两个不同类型的函数（如一次函数和二次函数），分别说明它们的单调性，并举例说明如何利用这些性质解决实际问题。

3.解释等差数列和等比数列的定义，并说明如何计算它们的第$n$项和前$n$项和。

4.简述如何判断一个点是否在一个圆内，以及如何求出点$(x_0,y_0)$到圆$x^2+y^2=r^2$的最短距离。

5.请说明如何利用导数的几何意义来求解函数在某一点的切线方程，并给出具体的求解步骤。

五、计算题

1.计算下列极限：

\[

\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+5}{x-2}-\frac{4}{x}\right)

\]

2.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f'(x)$，并找出函数的极值点。

3.设等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$，公差$d=2$，求前10项的和$S_{10}$。

4.解方程组：

\[

\begin{cases}

2x-y=5\\

3x+2y=11

\end{cases}

\]

5.求圆$x^2+y^2=16$上的点$(4,0)$到直线$3x+y-12=0$的距离。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司生产一批产品，已知产品的生产成本随生产数量增加而增加，具体成本函数为$C(x)=0.2x^2+10x+100$，其中$x$为生产数量，$C(x)$为总成本。

案例分析：请分析以下问题：

-当生产数量$x=100$时，计算产品的单位成本。

-假设产品售价为$P=25$元，求产品的利润函数$L(x)$，并找出使利润最大的生产数量$x$。

-讨论当生产数量增加时，总成本和利润的变化趋势。

2.案例背景：某市欲在市中心区域建设一座公园，已知公园的建设成本和绿化面积之间的关系为$C(A)=0.01A^2+0.1A+100$，其中$A$为公园的绿化面积（单位：公顷），$C(A)$为建设成本（单位：万元）。

案例分析：请分析以下问题：

-若公园的绿化面积定为$A=50$公顷，计算公园的建设成本。

-假设该市每年投入公园的维护费用为$M=30$万元，求公园的总成本函数$C(A,M)$，并分析如何通过调整绿化面积和投入的维护费用来降低总成本。

-讨论公园建设对市中心区域的环境和居民生活质量的影响。

七、应用题

1.应用题：某城市计划在市中心建设一个公园，已知公园的占地面积为$A$公顷，公园的绿化成本为$C(A)=0.01A^2+0.1A+100$万元，公园的维护成本为$M=30$万元/年。若公园的绿化成本和维持成本总和不超过$T$万元，求公园占地面积$A$的可能范围。

2.应用题：某商店销售两种商品，商品A的售价为$P_A=20$元，商品B的售价为$P_B=30$元。已知商品A和商品B的成本分别为$C_A=12$元和$C_B=18$元。商店希望至少获得$100$元的利润，求商品A和商品B的最小销售数量。

3.应用题：一辆汽车以恒定速度行驶，行驶了$t$小时后，其行驶的距离为$s=60t+30$千米。求汽车的速度（即每小时的行驶距离）。

4.应用题：某工厂生产的产品质量服从正态分布，已知平均质量为$50$克，标准差为$5$克。若要求至少$95\%$的产品质量在$45$克到$55$克之间，求工厂需要生产的最少产品数量。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.A

2.A

3.A

4.A

5.C

二、判断题答案：

1.×

2.√

3.×

4.√

5.×

三、填空题答案：

1.$(-2,2]$

2.$21$

3.$-1$

4.$(-1,6)$

5.$256$

四、简答题答案：

1.二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图像与系数$a$、$b$、$c$的关系如下：

-当$a>0$时，函数图像开口向上，顶点为函数的最小值点；

-当$a<0$时，函数图像开口向下，顶点为函数的最大值点；

-对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$；

-顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$。

2.一次函数$f(x)=mx+b$（$m\neq0$）是增函数，当$m>0$时，函数图像随$x$增大而增大；二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$，当$a>0$时，函数图像开口向上，函数在$x$轴左侧递减，在$x$轴右侧递增。