2025年沪科版八年级数学寒假预习 第06讲 一元二次方程的根与系数的关系

第06讲一元二次方程的根与系数的关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测了解一元二次方程的根与系数的关系知识点1一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个实数根是，，.注意：它的使用条件为:，.知识点2一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；．考点01一元二次方程根与系数的关系例题1．若、是方程的两个根，则的值是（

）A． B． C． D．【变式1-1】已知，则，．【变式1-2】若、是方程的两个根，则．【变式1-3】已知是一元二次方程的两根，则的值为．考点02：根与系数关系的变形例题2．已知、是的两个根，则的值为【变式2-1】（24-25九年级上·四川·期中）已知、为质数且是方程的根，那么的值是（

）A． B． C． D．【变式2-2】设a，b是方程的两根，则代数式的值是．【变式2-3】（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知实数，且，，则．例题3．已知是方程的两个实数根，且．(1)求及a的值；(2)求的值【变式3-1】若a、b是方程的两个实数根，则．【变式3-2】（24-25九年级上·四川内江·期中）方程的两根为，则．【变式3-3】（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知一元二次方程的两实数根为、，则的值为．例题4．（24-25九年级上·重庆万州·期中）已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式．【变式4-1】已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为．【变式4-2】（24-25九年级上·四川成都·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是．【变式4-3】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知，是方程的两个根，那么．一、单选题1．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如果关于x的一元二次方程的一个实数根为，另一个实数根为（

）A．1 B．2 C．3 D．2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知，是方程的两个实数根，则的值是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（

）A．23 B．15 C．10 D．54．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法：①若，则方程必有一根为；②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根；③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，；④若c是方程的一个根，则一定有；⑤若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤二、填空题5．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）已知是一元二次方程的一个根，则另一个根为．6．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知，是方程的两根，则．7．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是．（填写序号）三、解答题8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）已知等腰三角形一边长为4，另两边恰好是关于的方程的根，求此三角形的另两边长．9．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程有两个实数根和．(1)求实数的取值范围；(2)当时，求的值．10．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的两个实数根．(1)求的取值范围；(2)若，求的值．

第06讲一元二次方程的根与系数的关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测了解一元二次方程的根与系数的关系知识点1一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个实数根是，，.注意：它的使用条件为:，.知识点2一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；．考点01一元二次方程根与系数的关系例题1．若、是方程的两个根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“设，是一元二次方程的两个根，则有”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可得．【解析】解：∵、是方程的两个根，∴，故选：D．【变式1-1】已知，则，．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，结合方程即可得出结论．【解析】解：，，．故答案为：；．【变式1-2】若、是方程的两个根，则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，再代入计算即可．【解析】解：、是方程的两个根，，，，故答案为：．【变式1-3】已知是一元二次方程的两根，则的值为．【答案】【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，程的两根分别为和，则根据根与系数的关系直接计算即可．【解析】解：∵是一元二次方程的两根，∴∴故答案为：．考点02：根与系数关系的变形例题2．已知、是的两个根，则的值为【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得、，再把化为，再代入求值即可．【解析】解：∵m，n是方程的两实数根，∴、，∴，故答案为：．【变式2-1】（24-25九年级上·四川·期中）已知、为质数且是方程的根，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系、质数的定义，根据一元二次方程根与系数关系得到，再利用质数求得，或，，再代值求解即可．【解析】解：∵、为质数且是方程的根，∴，则，或，，当，时，当，时，，综上，的值是，故选：B．【变式2-2】设a，b是方程的两根，则代数式的值是．【答案】3【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：根据根与系数的关系得，，所以．故答案为：3．【变式2-3】（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知实数，且，，则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握其计算方法是解题的关键．根据题意，设，，可得，将原式变形得，由此代入计算即可求解．【解析】解：已知实数，且，，∴设，，∴，即，∵，∴原式，故答案为：．例题3．已知是方程的两个实数根，且．(1)求及a的值；(2)求的值【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值：（1）根据根与系数的关系得到，，再由求出，则；（2）根据（1）所求，结合进行求解即可．【解析】（1）解：∵是方程的两个实数根，∴，，∵，∴，∴；（2）解：由（1）可得，，∴．【变式3-1】若a、b是方程的两个实数根，则．【答案】5【分析】本题主要考查了根与系数的关系、完全平方公式、代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．先利用根与系数的关系求出与的值，再利用完全平方公式变形后代入计算即可．【解析】解：∵a，b是方程的两个实数根，∴，∴．故答案为：5．【变式3-2】（24-25九年级上·四川内江·期中）方程的两根为，则．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，代数式求值，解题的关键是理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系，．利用一元二次方程的根与系数的关系和完全平方公式变形解答即可．【解析】解：方程的两根为，，，，故答案为：．【变式3-3】（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知一元二次方程的两实数根为、，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，，再代入计算即可得出答案．【解析】解：∵一元二次方程的两实数根为、，∴，，∴，故答案为：．例题4．（24-25九年级上·重庆万州·期中）已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由题意可得，，再将式子变形为，整体代入计算即可得解．【解析】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个根，∴，，∴，∴，故答案为：．【变式4-1】已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，代数式求值，若是一元二次方程的两个实数根，则，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据一元二次方程的解得出，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，再整体代入代数式计算即可得到答案．【解析】解：，是方程的两个实数根，，，故答案为：．【变式4-2】（24-25九年级上·四川成都·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是．【答案】2040【分析】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握，．将代数式同时加上和减去，根据一元二次方程的解及根与系数的关系直接求解即可得到答案.【解析】解：∵，是方程的两个实数根，∴，，，故答案为：．【变式4-3】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知，是方程的两个根，那么．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，即，由题意可得，即，于是可推出，进而可得，化简即可得出答案．【解析】解：，是方程的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，，，，，，故答案为：．一、单选题1．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如果关于x的一元二次方程的一个实数根为，另一个实数根为（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，则，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键．设一元二次方程的另一个实数根为a，然后运用一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解析】解：设一元二次方程的另一个实数根为a，∵一元二次方程的一个实数根为，另一个实数根为a，∴，解得：．故选C．2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知，是方程的两个实数根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出，，将其代入原式中即可求出结论．【解析】解：，是方程的两个实数根，，，，．故选：．3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（

）A．23 B．15 C．10 D．5【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键．将，进行变形可知，为方程的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到，的值,利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值．【解析】解：，是不为0的实数，由，，得，，又，，为一元二次方程的两个不相等实根，，，，故选：A．4．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法：①若，则方程必有一根为；②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根；③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，；④若c是方程的一个根，则一定有；⑤若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤【答案】D【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．【解析】解：①当x=1时，，是方程的解，①的说法正确；②若方程无实根，则，∴，对于方程，，则方程无实根；②的说法不正确．③若方程两根为，且满足，，，，，即可得出方程，必有实根，，③的说法正确；④由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么④不一定正确；⑤若是一元二次方程的根，则，，，，，⑤的说法正确；综上，①③⑤的说法正确；故选：D．二、填空题5．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）已知是一元二次方程的一个根，则另一个根为．【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【解析】解：设该方程的另一个根为，∵，，∴；故答案为．6．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知，是方程的两根，则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得【解析】解：∵，是方程的两根，∴，∴，故答案为：．7．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是．（填写序号）【答案】①②④【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断．【解析】解：根据根与系数的关系得，∵，∴，∴，故①正确；∵，，∴，，故②正确；∵，∴，即，∴，故③错误；∵，∴方程化为，∴，∵方程可变形为，∴或，解得，，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）已知等腰三角形一边长为4，另两边恰好是关于的方程的根，求此三角形的另两边长．【答案】此三角形的另两边长为4和2【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，解题的关键是注意进行分类讨论．分两种情况进行讨论：当腰长为4时，把代入原方程求出m，