2025年人教版九年级数学寒假复习 专题28.6 锐角三角函数全章专项复习【2大考点10种题型】

专题28.6锐角三角函数全章专项复习【2大考点10种题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1锐角三角函数】 1【题型1利用设参法求锐角的三角函数值】 2【题型2构造直角三角形求锐角的三角函数值】 3【题型3锐角三角函数与一元二次方程的综合】 4【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】 4【考点2解直角三角形】 5【题型5解直角三角形】 7【题型6构造直角三角形解斜三角形】 8【题型7与仰角、俯角有关的问题】 9【题型8与方位角有关的问题】 11【题型9与坡角、坡度有关的问题】 13【题型10方案设计问题】 15【考点1锐角三角函数】1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作__sinA_.2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作_cosA_.3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作__tanA_.正弦：余弦：；正切：。常见三角函数值：锐角α三角函数30°45°60°1【题型1利用设参法求锐角的三角函数值】【例1】（2024·四川达州·一模）如图，四边形ABCD为矩形纸片，AB=7，BC=9，现把矩形纸片折叠，使得点C落在AB边上的点C′处（不与A，B重合），点D落在D′处，此时，C′D′交AD边于点E，设折痕为PQ．若△PBC′≌△A．35 B．37 C．45【变式1-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC:AB=5:13，则tanA的值为【变式1-2】（2024·上海·模拟预测）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC=5，AD=2，∠ABC的平分线交CD于E【变式1-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，3CD=BD，cos∠ABC=255【题型2构造直角三角形求锐角的三角函数值】【例2】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么sin∠ACBA．52 B．55 C．25【变式2-1】（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，将正方形ABCD折叠，使点D与点E重合，MN为折痕，则sin∠MNBA．255 B．55 C．3【变式2-2】（2024·广东潮州·一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，OE⊥BD交BC于点E，∠ABD＝2∠CBD，若BC＝72，CD＝142，则cos∠CBD＝【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A′重合，连接EA′并延长分别交BD，BC于点G（1）若∠AEB=55°，则∠EBD=．（2）若ABBC=34，则【题型3锐角三角函数与一元二次方程的综合】【例3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）如果把方程x2+6x+5=0变形为x+a2=b的形式，那么以a，b长为直角边的RtA．45 B．35 C．43【变式3-1】（23-24九年级·福建泉州·期末）若cosα，1cosα是关于x的方程3x2A．33 B．3 C．13 【变式3-2】（2024·云南临沧·二模）如果方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为（）A．34 B．35 C．45 D．【变式3-3】（2024·四川成都·二模）关于x的方程2x2−5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角△ABC的一个内角；关于y的方程y2−10y+【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】【例4】（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为10,4，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43．若直线l把矩形OABC和菱形ABEFA．y=3x B．y=−34x+52 【变式4-1】（2024·山东德州·二模）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点A的坐标为(1,3)，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为【变式4-2】（2024·湖北恩施·三模）蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知P0,−2，则Q点坐标为（

A．−23,3 B．−23,4 C．【变式4-3】（2024·湖北武汉·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、D在第一象限内且点Aa−1,3a，点C−1,0点B2,0，∠ACD=45°，点B到射线CD【考点2解直角三角形】1.解直角三角形解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：2.解直角三角形的类型已知条件解法两直角边(如a，b)由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝eq\r(a2＋b2)斜边、一直角边(如c，a)由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝eq\r(c2－a2)一锐角与邻边(如∠A，b)∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；c＝eq\f(b,cosA)一锐角与对边(如∠A，a)∠B＝90°－∠A；b＝eq\f(a,tanA)；c＝eq\f(a,sinA)斜边与一锐角(如c，∠A)∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA3.锐角三角函数的实际应用1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．

4.锐角三角函数实际应用中的相关概念(1)仰角、俯角如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．(2)坡度(坡比)、坡角如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝eq\f(h,l)，坡面与水平面的夹角α叫坡角．(3)方向角指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，OA是表示北偏东60°方向的一条射线．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。(4)方位角从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.

5.三角函数常见模型图1图2如图1是基本图形，若B、C、D在同一直线上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，则有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，∴，；变式为图2，则结论为【题型5解直角三角形】【例5】（23-24九年级·福建泉州·期末）在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠BAD=12，tan∠CAD=1A．30° B．45° C．60° D．90°【变式5-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinA=45，则ABA．4.8 B．9 C．7.5 D．10【变式5-2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC，EF的中点，点D在边AC上，则AD:【变式5-3】（2024·浙江杭州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=3，D为边AB上一点，且AD=2BD，过点D作DE⊥DC，交BC于点F，连接CE，若∠DCE=∠B，则EFDF的值为【题型6构造直角三角形解斜三角形】【例6】（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为cm【变式6-1】（2024·江苏常州·一模）在锐角△ABC中，sinA=31010，cosB=45【变式6-2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，AB=6，点E是∠BAC的平分线AD上的一动点，连接CE，将点E绕点C顺时针旋转60°得到点F，连接CF，BF．若△BCF是直角三角形，则线段AE的长为

【变式6-3】（2024·湖南·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AB=3，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为

【题型7与仰角、俯角有关的问题】【例7】（2024九年级·山东青岛·专题练习）小智测量广场上篮球筐距地面的高度．如图，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若小智的目高OC为1.6m，求篮球筐距地面的高度AD．(结果精确到0.1m，参考数据：tan42°≈0.9,tan35°≈0.7,【变式7-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．【变式7-2】（2024·山西大同·二模）2024年是甲辰龙年，在山西太原汾河景区有一条名为“中华第一巨龙”的景观灯，某数学兴趣小组准备用所学的知识测量这条“巨龙”的龙头头顶A距离地面的高度AB（如图），下面是他们的测量过程：小组成员在点C处测得BC与人行道的夹角为45°，测得龙头头顶A的仰角为28°；沿着人行道直行43m到达点D处，此时测得BD与人行道的夹角恰好也是45°．已知B，C，D三点在同一水平面上，A，B两点在垂直于水平面的同一竖直直线上，即AB⊥BC，AB⊥BD，测角仪距地面的高度忽略不计，请根据以上测得的数据，估计龙头头顶A距离地面的高度AB．（结果精确到0.1m；参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，【变式7-3】（2024·浙江宁波·三模）【问题背景】一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．【问题探究】如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角∠ACE的正切值为3，山坡上点D处测得顶点A的仰角∠ADG的正切值为79．斜坡CD的坡比为1:2.4，两观测点CD的距离为26学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．任务1：计算C，D两点的垂直高度差．任务2：求顶点A到水平地面的垂直高度．【问题解决】为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角∠BCE的正切值为23小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角∠GDB的正切值为115任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆AB的高度．【题型8与方位角有关的问题】【例8】（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为22km，南门O设立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求点A1到道路BC(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，cos14°≈0.97，cot14°≈4，【变式8-1】（2024·山东东营·一模）如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度（结果用v表示）．【变式8-2】（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图所示为某景区五个景点A、B、C、D、E的平面示意图，B在A的正东方方向，D在A的北偏东60°方向上，与A相距300米，E在D的正东方向140米处，C在A的北偏东45°方向上，C、E均在B的正北方向．(1)填空：∠CAD=度，∠ADE=度；(2)求景点B、E之间的距离；(3)求景点A、C之间的距离．【变式8-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）北京冬奥村的餐厅由机器人送餐．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数，参考数值：sin73°≈1920，cos73°≈29100，tan73°≈

【题型9与坡角、坡度有关的问题】【例9】（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），当水柱离喷水口以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题：(1)求水柱所在抛物线的解析式；(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；(3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；①河水离地平面AD距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式．【变式9-1】（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台ED上架设测角仪EF，从F处测得塔的最高点A的仰角为42°，测出DE=BC=23m，台阶可抽象为线段CD，CD=203m，台阶的坡角为30°，测角仪EF的高度为2.5(1)求测角仪EF与塔身AB的水平距离；(2)求塔身AB的高度．（结果精确到0.1）（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90【变式9-2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O，B，C，A，(1)求P到OC的距离；(2)求山坡的坡度tanα．（参考数据∶sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50，sin【变式9-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即∠CEF=∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m，BE=20m，DE=2m

【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1=2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE

【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE=2.8m；③测出坡长AD=17m；④测出坡比为8:15（即tan

【题型10方案设计问题】【例10】（2024·山西·二模）应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：测量对象应县木塔测量目的学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题测量工具无人机测量方案1.先将无人机从地面的点G处垂直上升100m至点P，测得塔的顶端A的俯角为16°2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行60m至点C，然后沿垂直方向上升20m至点Q，测得塔的顶端A的俯角测量示意图请根据以上测量数据，求应县木塔AB的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96【变式10-1】（2024·贵州安顺·二模）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，AC在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点A的北偏东55°方向的B处发生火灾，防火员从卡点A去火灾处救援有两种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离B点最近的C处再跑步到B点救援；方案2：防火员从卡点A直接跑步前往B处救援．若防火员的跑步速度为5m/s，骑车的速度为20m/s．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，(1)AB的长为__________米（结果保留整数）；(2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由．【变式10-2】（2024·甘肃天水·模拟预测）苦水高高跷是甘肃省兰州市永登县传统民俗文化之一，起源于元末明初，至今已有700余年的历史，也是国家非物质文化遗产之一．如图1，表演者穿着传统戏剧服饰，画上秦腔剧目中的人物脸谱，手持道具，凌空飞舞，被业内人士称为行走的“空中戏剧”．2024年春节，永登县连城镇牛站村社火团队表演了醉关公．某校综合实践研究小组开展了“测量高跷关公腿多长”的实践活动，过程如下：方案设计：如图2，某人垂直踩在地面上，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为3.9m，∠CAD=42°，∠CBD=58°解决问题：求高跷关公腿CD高度．根据上述方案及数据，完成求解过程．（结果精确到0.1米．参考数据sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°=0.90，sin58°=0.85，【变式10-3】（2024·甘肃·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题．课题探究物理实验装置中的几何测量问题成员组长：xxx

组员：xxx，xxx，xxx实验工具测角仪，皮尺，摄像机等方案设计方案一方案二测量方案示意图（已知PC⊥AC）（已知PB⊥AC）说明点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置．测量数据AB=4米，∠PBC=40°，∠PAB=15°．AC=5.9米，∠PCB=40°，∠PAB=22°．请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据tan40°≈0.84

专题28.6锐角三角函数全章专项复习【2大考点10种题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1锐角三角函数】 1【题型1利用设参法求锐角的三角函数值】 2【题型2构造直角三角形求锐角的三角函数值】 6【题型3锐角三角函数与一元二次方程的综合】 12【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】 15【考点2解直角三角形】 20【题型5解直角三角形】 22【题型6构造直角三角形解斜三角形】 26【题型7与仰角、俯角有关的问题】 31【题型8与方位角有关的问题】 37【题型9与坡角、坡度有关的问题】 44【题型10方案设计问题】 54【考点1锐角三角函数】1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作__sinA_.2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作_cosA_.3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作__tanA_.正弦：余弦：；正切：。常见三角函数值：锐角α三角函数30°45°60°1【题型1利用设参法求锐角的三角函数值】【例1】（2024·四川达州·一模）如图，四边形ABCD为矩形纸片，AB=7，BC=9，现把矩形纸片折叠，使得点C落在AB边上的点C′处（不与A，B重合），点D落在D′处，此时，C′D′交AD边于点E，设折痕为PQ．若△PBA．35 B．37 C．45【答案】A【分析】设BC′=m，由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠得PC′=PC，∠PC′E=∠C=90°，则∠BC′P=∠AEC′=90°−∠AC′E，因为△PBC【详解】解：设BC∵四边形ABCD是矩形，AB=7，BC=9，∴∠A=∠B=∠C=90°，由折叠得PC′=PC∴∠BC∵△PBC′≌∴BP=AC′=7−m∵PC′=∴C∵AE∴m解得m1=3，∴BC′=3∴cos∠B故选：A．【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，掌握轴对称的性质是关键．【变式1-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC:AB=5:13，则tanA的值为【答案】5【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义．先可设BC=5x,AB=13x，利用勾股定理求出AC=12x，再根据锐角三角函数正切的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA【详解】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC:AB=5:13∴可设BC=5x,AB=13x，∴AC=A故tanA=故答案为：512【变式1-2】（2024·上海·模拟预测）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC=5，AD=2，∠ABC的平分线交CD于E【答案】2【分析】根据题意，作出图形，先由三角形全等的判定与性质得到AE=CE，∠BAE=∠BCD=90°，即△ABE是直角三角形，过点A作AF∥DC交BC于F，如图所示，由矩形的判定与性质得到FC=AD,AF=DC，在Rt△ABF中及在Rt【详解】解：如图所示：∵CD是∠ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE，在△ABE和△CBE中，AB=BC∴△ABE≌△CBESAS∴AE=CE，∠BAE=∠BCD=90°，即过点A作AF∥DC交BC于∴∠AFB=∠BCD=90°，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠BCD=90°，即四边形AFCD是矩形，∴FC=AD,AF=DC，在Rt△ABF中，AB=5，BF=BC−CF=BC−AD=5−2=3，则由勾股定理可得AF=AB设AE=CE=x，则DE=4−x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+DE在Rt△ABE中，tan故答案为：2．【点睛】本题考查求三角函数值，涉及角平分线定义、三角形全等的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及正切函数值定义等知识，熟练掌握相关几何性质及判定是解决问题的关键．【变式1-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，3CD=BD，cos∠ABC=255【答案】35【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．过点D作DE⊥AB于E，则∠AED=∠BED=90°，设CD=a,BD=3a，则BC=4a，由cos∠ABC=255可得AB=25【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，则∠AED=∠BED=90°，∵3CD=BD，∴设CD=a,BD=3a，∴BC=4a，∵cos∠ABC=∴BCAB∴4aAB∴AB=25∴AC=A∴AD=A∴DE=A∴sin∠BAD=故答案为：35【题型2构造直角三角形求锐角的三角函数值】【例2】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么sin∠ACBA．52 B．55 C．25【答案】C【分析】本题考查解直角三角形，过点B作AC的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质．【详解】解：过点B作AC的垂线，垂足为M，设小正方形的边长为a，∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，∴AB=a2+3a2∴AB=BC，∵BM⊥AC，∴点M是AC的中点，∴CM=1在Rt△BCM中，BM=∴sin∠ACB=∴sin∠ACB的值为2故选：C．【变式2-1】（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，将正方形ABCD折叠，使点D与点E重合，MN为折痕，则sin∠MNBA．255 B．55 C．3【答案】A【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，连接DE交MN与O，设正方形的边长为2a，由勾股定理可求DE的长，由折叠的性质可得DO=EO=52a，DM=ME，DE⊥MN【详解】解：如图，连接DE交MN与O，设正方形的边长为2a，∵点E为AB边的中点，∴AE=a，∴DE=A∵将正方形ABCD折叠，使点D与点E重合，∴DO=EO=52a∵ME∴DM∴DM=5∵AD∥∴∠DMN=∠BNM，∴sin∠MNB=故选：A．【变式2-2】（2024·广东潮州·一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，OE⊥BD交BC于点E，∠ABD＝2∠CBD，若BC＝72，CD＝142，则cos∠CBD＝【答案】14【分析】延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，根据平行四边形性质证明△ABP≌△CDQ，得到BP=DQ，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠ABD＝2∠CBD，∴∠CDB＝2∠CBD，∵DM＝DC，∴∠DCM＝∠M，∴∠CDB＝2∠M，∴∠CBD＝∠M，∴CB＝CM，∵CQ⊥BD，∴BQ＝MQ＝QD+DM＝QD+CD，在△ABP和△CDQ中，∠APB=∠COD∠ABP=∠CDQ∴△ABP≌△CDQ（AAS），∴BP＝DQ，∴PQ＝CD＝142设BP＝DQ＝x，∵BC2﹣BQ2＝CQ2＝CD2﹣DQ2，∴(72)2﹣（x+142）2＝（142解得x＝314∴BP=3∴BQ=3∴cos∠CBD＝BQBC＝7故答案为：144【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，等知识．灵活运用平行四边形性质证明全等三角形是本题关键．【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A′重合，连接EA′并延长分别交BD，BC于点G（1）若∠AEB=55°，则∠EBD=．（2）若ABBC=34，则【答案】40°10【分析】（1）根据折叠的性质可得∠AEB=∠A′EB，进而求出∠AEA′（2）过点E作EH⊥BC于点H，得到四边形ABHE、EHCD均为矩形，根据BG=BF得到∠BGF=∠BFG，由平行线的性质得∠DEG=∠BFG，由对顶角相等得∠BGF=∠DGE，则∠DEG=∠DGE，进而得到DE=DG，根据勾股定理求出BD=5x，设BG=BF=y，则DG=DE=5x−y，AE=BH=y−x，FH=x，再根据勾股定理求得EF=10x，根据折叠的性质可得，AB=A′B=3x，AE=A′E=y−x，本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠BFG，根据折叠的性质可得，∠AEB=∠A∵∠AEB=55°，∴∠AEA∴∠DEF=70°，∴∠BFG=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°，∴∠GBF=180°−∠BGF−∠BFG=40°；故答案为：40°；（2）如图，过点E作EH⊥BC于点H，∵四边形ABCD为矩形，设AB=3x，BC=4x，∴AD=BC=4x，AB=CD=3x，∠A=90°，AD∥BC，∵EH⊥BC，∴四边形ABHE、EHCD均为矩形，∴AE=BH，AB=EH=3x，DE=CH，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG，∵AD∥BC，∴∠DEG=∠BFG，∵∠BGF=∠DGE，∴∠DEG=∠DGE，∴DE=DG，在Rt△ABD中，AB=3x，∴BD=A设BG=BF=y，则DG=DE=5x−y，∴AE=AD−DE=4x−(5x−y)=y−x，∴BH=AE=y−x，∴FH=BF−BH=y−(y−x)=x，在Rt△EFH中，EF=根据折叠的性质可得，AB=A′B=3x，AE=∴A′F=EF−在Rt△A′∴3x2解得：y=10∴tan故答案为：10【题型3锐角三角函数与一元二次方程的综合】【例3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）如果把方程x2+6x+5=0变形为x+a2=b的形式，那么以a，b长为直角边的A．45 B．35 C．43【答案】B【分析】本题考查配方法的应用，勾股定理，求角的余弦值．掌握配方法，勾股定理和余弦的定义是解题关键．根据配方法可求出a=3，b=4，结合勾股定理可求出【详解】解：方程x2+6x+5=0变形为x+a2∴a=3，∵Rt△ABC以a∴Rt△ABC的斜边长为a∴cosB=故选B．【变式3-1】（23-24九年级·福建泉州·期末）若cosα，1cosα是关于x的方程3x2A．33 B．3 C．13 【答案】C【分析】利用根与系数的关系得出cosα⋅1cosα=【详解】解：∵cosα，1cosα是关于x∴cosα⋅1cos即：3x2−10x+3=0解得x1=1∵0<∴cosα=故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的取值范围及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的关系：x【变式3-2】（2024·云南临沧·二模）如果方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为（）A．34 B．35 C．45 D．【答案】D【分析】首先解出方程的解为3或5，接着分情况讨论：①当3和5为直角边时；②当5为斜边时，另一直角边为4，再根据tan函数的定义即可得出答案.【详解】x2﹣8x+15＝0，（x﹣3）（x﹣5）＝0，则x﹣3＝0，x﹣5＝0，解得x＝3或5，①当3和5为直角边时：tanA＝35②当5为斜边时，另一直角边为4，tanA＝34故选D．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程以及锐角三角函数，关键是要掌握正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切.【变式3-3】（2024·四川成都·二模）关于x的方程2x2−5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角△ABC的一个内角；关于y的方程y2−10y+【答案】16或10+2【分析】根据方程2x2−5xsinA+2=0有两个相等的实数根，求得sinA=45；根据y的方程【详解】∵方程2x∴(−5sin∴sinA=45，sinA=-4∵方程y2∴(−10)2∴(m−2)2∵(m−2)2∴m-2=0，∴方程有两个相等的实数根，∴y1当∠A为等腰三角形的顶角时，过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1:∵AB=AC=5，sinA=45∴BD=ABsinA=5×45=4，AD=∴DC=2，∴BC=BD2+C∴△ABC的周长是10+25当∠A为等腰三角形的底角时，过点B作BE⊥AC，垂足为E，如图2:∵AB=BC=5，sinA=45∴BE=ABsinA=5×45=4，AE=∴AE=CE=3，∴AC=6，∴△ABC的周长是10+6=16；故答案为：16或10+25【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，实数的非负性，等腰三角形的分类思想，锐角三角函数，利用方程根的特点确定角的正弦，实数的非负性，确定三角形是等腰三角形是解题的关键．【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】【例4】（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为10,4，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43．若直线l把矩形OABC和菱形ABEFA．y=3x B．y=−34x+52 【答案】D【分析】如图，连接AC，BO交于点D，连接AE，BF交于点H，连接DH，过E作EG⊥AB于点G，由题意知，EG=8，EB=EF=AB=10，∠EGB=90°，D，H分别为线段OB，FB的中点，在Rt△EGB中，由勾股定理求BG的值，可得AG的值，则可确定E，F的坐标，进而可得D，H的坐标，由题意知，直线DH将矩形OABC【详解】解：如图，连接AC，BO交于点D，连接AE，BF交于点H，连接DH，过E作EG⊥AB于点G，由题意可得：∠EGB=90°，D，H分别为线段∵顶点B的坐标为10,4，四边形ABEF是菱形，且tan∴EB=EF=AB=10，EG=8，在Rt△EGB中，由勾股定理得，BG=∴AG=AB−BG=4，∴E4，12∴D10+02，由题意知，直线DH将矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，设直线DH的解析式为y=kx+b，将D5,2，H解得，k=−2b=12∴直线DH的解析式为y=−2x+12，即为直线l的解析式，故选：D．【点睛】本题考查了矩形、菱形的性质、勾股定理、坐标与图形、中点坐标、求一次函数解析式，解题的关键在于明确直线l即为直线DH．【变式4-1】（2024·山东德州·二模）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点A的坐标为(1,3)，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为【答案】(−1,【分析】先确定6次一个循环，再确定第2023次旋转的位置，再构建直角三角形求解即可．【详解】解：∵A(1,3)，∠∴OB=1，AB=3∵∠A=30°，∴OA=2OB=2，∵将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，∴旋转6次回到原位置，∵2023÷6=所以旋转2023次的位置如图示，由题意可得：tan∠AOB=∴∠AOB=∠A过A′作A′H⊥OB∴OH=1∴第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为(−1,3故答案为(−1,3【点睛】本题考查图形变化-旋转，规律型：点的坐标，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握探究规律的方法，属于中考常考题型．【变式4-2】（2024·湖北恩施·三模）蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知P0,−2，则Q点坐标为（

A．−23,3 B．−23,4 C．【答案】B【分析】如图，由正六边形，可得∠BAP=180°×46=120°，∠OAP=∠OPA=∠OAB=60°，则△AOP是等边三角形，OA=AP=OP=2，则CD=OD=OA⋅sin60°=3，【详解】解：如图，∵正六边形，∴∠BAP=180°×46=120°∴△AOP是等边三角形，OA=AP=OP=2，∴CD=OD=OA⋅sin60°=3∴OC=23∴Q−2故选：B．【点睛】本题考查了正多边形的内角，等边三角形的判定与性质，正弦，点坐标等知识．熟练掌握正多边形的内角，等边三角形的判定与性质，正弦，点坐标是解题的关键．【变式4-3】（2024·湖北武汉·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、D在第一象限内且点Aa−1,3a，点C−1,0点B2,0，∠ACD=45°，点B到射线CD【答案】355【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，一次函数，等腰直角三角形的判定与性质，设直线AC交y轴于点E，过点C作CN⊥AC，过点B作BM⊥CD于点M，交CN于点N，过点B作BF⊥CN于点F，CN交y轴于点G，求出直线AC的解析式，得OE=3，然后根据勾股定理可得CE=10，证明∠CEO=∠BCF，根据已知条件证明△MCN和△BFN【详解】解：如图，设直线AC交y轴于点E，过点C作CN⊥AC，过点B作BM⊥CD于点M，交CN于点N，过点B作BF⊥CN于点F，CN交y轴于点G，设直线AC的解析式为y=kx+b，∵点Aa−1,3a，点C∴ka−1解得，k=3b=3直线AC的解析式为y=3x+3，当x=0时，y=3,∴E0,3∴OE=3∵C∴OC=1,∴CE=∴tan∠CEO=∵∠CEO+∠ECO=90°，∴∠CEO=∠BCF，∴sin∠BCF=∵B2∴OB=2,∴BC=OC+OB=1+2=3，∴BF=BC•sin∵tan∠BCF=∴CF=3×3∵∠ACD=45°，∴∠MCN=∠MNC=45°=∠NBF，∴△MCN和△BFN都是等腰直角三角形，∴BN=2∴CN=CF+FN=6∴MN=2∴BM=MN−BN=6∴点B到射线CD的最小值是35故答案为：35【考点2解直角三角形】1.解直角三角形解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：2.解直角三角形的类型已知条件解法两直角边(如a，b)由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝eq\r(a2＋b2)斜边、一直角边(如c，a)由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝eq\r(c2－a2)一锐角与邻边(如∠A，b)∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；c＝eq\f(b,cosA)一锐角与对边(如∠A，a)∠B＝90°－∠A；b＝eq\f(a,tanA)；c＝eq\f(a,sinA)斜边与一锐角(如c，∠A)∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA3.锐角三角函数的实际应用1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．

4.锐角三角函数实际应用中的相关概念(1)仰角、俯角如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．(2)坡度(坡比)、坡角如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝eq\f(h,l)，坡面与水平面的夹角α叫坡角．(3)方向角指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，OA是表示北偏东60°方向的一条射线．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。(4)方位角从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.

5.三角函数常见模型图1图2如图1是基本图形，若B、C、D在同一直线上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，则有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，∴，；变式为图2，则结论为【题型5解直角三角形】【例5】（23-24九年级·福建泉州·期末）在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠BAD=12，tan∠CAD=1A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【分析】本题考查解直角三角形,根据题意画出图形,令AD=x，勾股定理求得AB,AC，根据等面积法求得CE，根据sin∠BAC=【详解】解：△ABC如图所示，∵tan∠BAD=12则令AD=x，∴BD=12x在Rt△ABDAB=x2同理可得，AC=103过点C作AB的垂线，垂足为E，则12∴CE=53在Rt△ACEsin∠BAC=CE∴∠BAC=45°．故选：B．【变式5-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinA=45，则ABA．4.8 B．9 C．7.5 D．10【答案】D【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．【详解】解：如图，∵sinA=∴设BC=4x，AB=5x，∴由勾股定理得：AC=A解得：x=2，∴AB=5x=10，故选：D．【变式5-2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC，EF的中点，点D在边AC上，则AD:【答案】3【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，连接OA、OD，由已知可以推出ODOE=OA【详解】解：连接OA、∵△ABC，△DEF均为等边三角形，O为∴∠OED=60°，∴∠DOE=∠AOB=90°，∴ODOE∵∠DOE=∠AOB=90°，∴∠DOE−∠EOA=∠AOB−∠EOA，即∠DOA=∠EOB，∵ODOE∴△DOA∽∴AD:故答案为：3．【变式5-3】（2024·浙江杭州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=3，D为边AB上一点，且AD=2BD，过点D作DE⊥DC，交BC于点F，连接CE，若∠DCE=∠B，则EFDF的值为【答案】7【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，过点F作FG⊥AB，可得BD=2，CD=5，由∠DCE=∠B得tan∠B=tan∠DCE=DECD=ACAB=12，即得DE=12CD=52，又由∠A=∠CDF=90°可得∠ACD=∠FDG，得到ADAC=FG【详解】解：如图，过点F作FG⊥AB，∵AD=2BD，∴AD=23AB=4在Rt△ACD中，CD=∵∠DCE=∠B，∴tan∠B=∴DE=1∵∠A=∠CDF=90°，∴∠ACD+∠ADC=∠ADC+∠EDG=90°，∴∠ACD=∠FDG，∴tan∠ACD=tan∠FDG设DG=3t，则FG=4t，在Rt△DGF中，DF=同理可得，tan∠B=∴BG=2FG=8t，∴BD=DG+BG=11t=2，解得t=2∴DF=5t=10∴EF=DE−DF=5∴EFDF故答案为：74【题型6构造直角三角形解斜三角形】【例6】（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为cm【答案】8【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，由题意易得四边形ABCD是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得AM=AN，即可得到四边形ABCD是菱形，再解Rt△ADN可得AD=ANsin【详解】解：过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，则∠AND=90°，∵两张纸条的对边平行，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵两张纸条的宽度相等，∴AM=AN，∵S▱ABCD∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形，在Rt△ADN中，∠ADN=60°，AN=3∴AD=AN∴四边形ABCD的周长为23故答案为：83【变式6-1】（2024·江苏常州·一模）在锐角△ABC中，sinA=31010，cosB=45【答案】3【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，学会作出辅助线构造直角三角形解决问题．过点C作CD⊥AB构造直角三角形，再根据三角函数定义解直角三角形即可．【详解】解：过点C作CD⊥AB垂足为D，∵cos∴设BD=4k，BC=5k，在Rt△BCDCD∴CD=3k，∵sin∴AC=10由勾股定理得：AD=k，∴AB=k+4k=5k=15，∴k=3，∴AC=310故答案为：3【变式6-2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，AB=6，点E是∠BAC的平分线AD上的一动点，连接CE，将点E绕点C顺时针旋转60°得到点F，连接CF，BF．若△BCF是直角三角形，则线段AE的长为

【答案】33或【分析】根据等边三角形的性质和角平分线的定义可得AC=BC，∠CAD=30°，再根据旋转的性质可得∠ACB=∠ECF=60°，EC=FC，利用等量代换可得∠ACE=∠BCF，证得△ACE≌△BCFSAS，可得∠CAE=∠CBF=30°，∠AEC=∠BFC，∠ACE=∠BCF，由△BCF是直角三角形，分类讨论：∠AEC=∠BFC=90°或∠ACE=∠BCF=90°【详解】解：∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，∴AC=BC，∠CAD=30°，∵将点E绕点C顺时针旋转60°得到点F，∴∠ACB=∠ECF=60°，EC=FC，∴∠ACE+∠ECB=60°，∠BCF+∠ECB=60°，∴∠ACE=∠BCF，∴△ACE≌△BCFSAS∴∠CAE=∠CBF=30°，∠AEC=∠BFC，∠ACE=∠BCF，∵△BCF是直角三角形，当∠AEC=∠BFC=90°，在Rt△AEC中，EC=∴AE=6当∠ACE=∠BCF=90°时，在Rt△ACE中，cos∠CAE=AC∴AE=43故答案为：33或4【点睛】本题考查等边三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数及旋转的性质，熟练掌握相关定理证得△ACE≌△BCF，进行分类讨论是解题的关键【变式6-3】（2024·湖南·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AB=3，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为

【答案】32/【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂线段最短等等，在AC上截取AH=AN，连接BH、MH，易证明△AHM≌△ANMSAS，得到HM=NM，则BM+MN=BM+HM，故当B、M、H三点共线，且BH⊥AC时，BM+HM最小，即此时BM+MN最小，最小值即为BH的长，解直角三角形求出BH【详解】解：如图所示，在AC上截取AH=AN，连接BH、MH，

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，又∵AH=AN，∴△AHM≌△ANMSAS∴HM=NM，∴BM+MN=BM+HM，∴当B、M、H三点共线，且BH⊥AC时，BM+HM最小，即此时BM+MN最小，最小值即为BH的长，∴此时∠AHB=90°，∵∠BAC=60°，∴∠ABH=30°，∴BH=AB⋅cos∴BM+HM的最小值为32故答案为：32【题型7与仰角、俯角有关的问题】【例7】（2024九年级·山东青岛·专题练习）小智测量广场上篮球筐距地面的高度．如图，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若小智的目高OC为1.6m，求篮球筐距地面的高度AD．(结果精确到0.1m，参考数据：tan42°≈0.9,tan35°≈0.7【答案】篮球筐距地面的高度AD约为3.0【分析】本题考查解直角三角形的实际应用——仰俯角问题，恰当构造直角三角形，正确应用锐角三角函数的定义式是解题的关键．过点B作BG⊥CD，交CD的延长线于点G，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BG于点F，OE=xm，解Rt△AOE可得AE=0.9x，解【详解】解：如图，过点B作BG⊥CD，交CD的延长线于点G，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BG于点F．由题意得AB=EF=0.45m，OC=ED=1.6m，设OE=xm，则OF=(x+0.45)在Rt△AOE中，∠AOE=42°，tan解得AE=0.9x，∴BF=0.9xm在Rt△BOF中，∠BOF=35°，OF·∴x+0.45×0.7=0.9x解得x=1.575，∴AE=0.9x=1.4175m∴AD=AE+ED=3.0175≈3.0(m答：篮球筐距地面的高度AD约为3.0m【变式7-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．【答案】(1)1.5，2(2)41.2【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是：（1）证明△DCE是等腰直角三角形，即可求得DC=CE=1.5m，解直角三角形即可求得CF=2（2）根据等腰直角三角形的性质得到AB=BE=163.3m，进一步求得BF=162.8m，然后解直角三角形即可求得BG=122.1m【详解】（1）解：∵∠MDE=45°，∴∠DEC=45°，∵DC⊥BC，∴△DCE是等腰直角三角形，∴DC=CE=1.5m在Rt△DCF中，∠DFC=36.9°，DC=1.5∴DF=DC∴CF=D故答案为：1.5，2；（2）∵∠DEC=45°，∴∠AEB=45°，∴∠BAE=45°，∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°，∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m∴BF=163.3−0.5=162.8(m在Rt△BFGBG=tan∴AG=163.3−122.1=41.2(m即“美”字的高度AG约为41.2m【变式7-2】（2024·山西大同·二模）2024年是甲辰龙年，在山西太原汾河景区有一条名为“中华第一巨龙”的景观灯，某数学兴趣小组准备用所学的知识测量这条“巨龙”的龙头头顶A距离地面的高度AB（如图），下面是他们的测量过程：小组成员在点C处测得BC与人行道的夹角为45°，测得龙头头顶A的仰角为28°；沿着人行道直行43m到达点D处，此时测得BD与人行道的夹角恰好也是45°．已知B，C，D三点在同一水平面上，A，B两点在垂直于水平面的同一竖直直线上，即AB⊥BC，AB⊥BD，测角仪距地面的高度忽略不计，请根据以上测得的数据，估计龙头头顶A距离地面的高度AB．（结果精确到0.1m；参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，【答案】16.1【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先证明△BCD是等腰直角三角形，求得BC的长，在Rt△ABC【详解】解：根据题意，得∠BCD=∠BDC=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，CD=43，∴BC=CD⋅sin∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∠ACB=28°，tan∴AB=BC⋅tan答：龙头头顶A距离地面的高度AB约为16.1m【变式7-3】（2024·浙江宁波·三模）【问题背景】一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．【问题探究】如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角∠ACE的正切值为3，山坡上点D处测得顶点A的仰角∠ADG的正切值为79．斜坡CD的坡比为1:2.4，两观测点CD的距离为26学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．任务1：计算C，D两点的垂直高度差．任务2：求顶点A到水平地面的垂直高度．【问题解决】为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角∠BCE的正切值为23小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角∠GDB的正切值为115任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆AB的高度．【答案】任务1：10米；任务2：38.7米；任务3：小组一：30.1米；小组二：31.16米【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角，解直角三角形的应用−坡度坡角，正确记忆相关知识点是解题关键．任务一，过点D作DH⊥CF，垂足为H，利用勾股定理求出CD，再求出DH的长即可；任务二，延长AB交FE的延长线于点M，延长DG交AB于点N，CM=x米，则DN=(x+24)米，利用三角函数求出AN和MN，即可求出AM；任务三，选择任意一个方案，利用三角函数进行求解即可．【详解】解：任务1：过点D作DH⊥CF，垂足为H，∵斜坡CD的坡比为1:2.4，∴设DH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△CDH中，CD=CH∵CD=26米，∴2.6x=26，解得：x=10，∴DH=10米，CH=24米，∴C，D两点的垂直高度差为10米；任务2:延长AB交FE的延长线于点M，延长DG交AB于点N，由题意得：DH=NM=10米，DN=MH，设CM=x米，∵CH=24米，∴DN=MH=CM+CH=(x+24)米，在Rt△ACM中，tan∴AM=CM⋅tan∠ACM=3x（米)在Rt△ADN中，tan∴AN=DN⋅tan∵AM=AN+MN，∴3x=7解得：x=12.9，∴AM=3．x=38.7（米)，∴顶点A到水平地面的垂直高度为38.7米；任务3:若选择小组一的方案：在Rt△BCM中，tan∠BCM=2∴BM=CM⋅tan∠BCM=12.9×2∴AB=AM−BM=38.7−8.6=30.1（米)，∴旗杆AB的高度为30.1米；若选择小组二的方案：在Rt△DNB中，tan∠NDB=115，∴BN=DN⋅tan∠NDB=36.9×1在Rt△ADN中，tan∴AN=DN⋅tan∠ADN=36.9×7∴AB=AN+BN=28.7+2.46=31.16（米)，∴旗杆AB的高度为31.16米．【题型8与方位角有关的问题】【例8】（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为22km，南门O设立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求点A1到道路BC(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，cos14°≈0.97，cot14°≈4，【答案】(1)90°，76°(2)2.0(3)24【分析】（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；（2）过点A1作A1D⊥BC，垂足为D，解Rt△CA2A（3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC，垂足为【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：360°8∴∠CA1A（2）解：过点A1作A1D⊥BC∵∠C∴在Rt△CA2A1∴∠A∴CA在Rt△CA1∴A答：点A1到道路BC的距离为2.0（3）解：连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A∵正八边形的外角均为45°，∴在Rt△A7∴FB=A又∵A8F=∴CB=CD+DF+FB=5+∵∠CFA∴Rt△C∴CFCB=∵2∴EB≈2.4km答：小李离点B不超过2.4km【点睛】本题考查正多边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．【变式8-1】（2024·山东东营·一模）如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度（结果用v表示）．【答案】甲船的平均速度约为2v【分析】本题考查了解直角三角形，30°角的直角三角形的性质，过点C作CD⊥AM，垂足为D，构造直角三角形，可得△ACD是含有30°角的直角三角形，△BCD是含有45°角的直角三角形，设CD=a，则BD=a，BC=2a，【详解】如图，过点C作CD⊥AM，垂足为D，由题意，得∠CAD=75°−45°=30°，∠CBD=75°−30°=45°，设CD=a，∴BD=CDtan45°=a，∵两船同时到达C处海岛，∴ACv∴2av∴v甲答：甲船的平均速度约为2v【变式8-2】（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图所示为某景区五个景点A、B、C、D、E的平面示意图，B在A的正东方方向，D在A的北偏东60°方向上，与A相距300米，E在D的正东方向140米处，C在A的北偏东45°方向上，C、E均在B的正北方向．(1)填空：∠CAD=度，∠ADE=度；(2)求景点B、E之间的距离；(3)求景点A、C之间的距离．【答案】(1)15，150；(2)150米；(3)1506【详解】（1）解：如图：由题意得：∠FAD=60°，∠FAC=45°，∠FAB=90°，DE∥AB，∴∠CAD=∠FAD−∠FAC=15°，∠DAB=∠FAB−∠FAD=30°，∵DE∥AB，∴∠ADE=180°−∠DAB=150°，故答案为：15，150；（2）解：过点D作DH⊥AB，垂足为H，由题意得：DH=BE，AD=300米，在Rt△ADH中，∠DAH=30°∴DH=12AD=150∴BE=DH=150米，∴景点B、E之间的距离为150米；（3）解：由题意得：DE=BH=140米，BC⊥AB，在Rt△ADH中，∠DAH=30°，DH=150∴AH=3DH=1503∴AB=AH+BH=(1503在Rt△ABC中，∠CAB=∠FAB−∠FAC=45°∴AC=AB∴景点A、C之间的距离为(1506【变式8-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）北京冬奥村的餐厅由机器人送餐．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数，参考数值：sin73°≈1920，cos73°≈29100，tan73°≈

【答案】约为357米【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点A作AN⊥DM，垂足为N，根据三角函数值计算得出MC=15007m【详解】解：如图，过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点A作AN⊥DM，垂足为N，由题意得，AB=200m，BC=500则四边形ABMN、ANDE、CFDM都是矩形，∴∠ADN=∠DAE=73°,∠MDC=∠DCF=37°，设MC=x米，则BM=AN=(500−x)米，在Rt△ADN∵tan∠ADN=AN∴DN=1500−3x在Rt△DMC∵tan∠MDC=MC∴DM=4x又∵DM−DN=MN=AB=200米，∴4x解得x=1500即MC=1500在Rt△DMC∵sin∠MDC=MC∴DC=2500答：中餐台C到就餐区D(即CD)的距离约为357米．【题型9与坡角、坡度有关的问题】【例9】（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），当水柱离喷水口以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题：(1)求水柱所在抛物线的解析式；(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；(3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；①河水离地平面AD距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式．【答案】(1)y=−(2)不能，理由见详解(3)①73米，②【分析】本题主要考查了二次函数的应用，坡度比，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数法求解析式是关键．（1）依据题意得：二次函数的顶点坐标为2,3．故设该二次函数的解析式为：y=ax−22+3（2）依据题意，由（1）该二次函数的解析式为：y=−34x−22+3（3）①先求出A3.5,0，B的坐标为6,−5，再设AB的解析式为y1=kx+bk≠0，建立方程组可得k，b进而可得直线AB，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解；②根据平移可得新的抛物线解析式为：y=−34x−22+3+m，结合坝面AB的坡比为i=1:0.5，根据①中求解点B【详解】（1）由题意得：二次函数的顶点坐标为2,3．∴设该二次函数的解析式为：y=ax−2∵二次函数经过原点，∴4a+3=0，解得：a=−3∴该二次函数的解析式为：y=−3（2）水柱不能喷射到护栏上，理由如下：当x=3.5时，y=−3∵1.3125>1.2，∴水柱不能喷射到护栏上；（3）①∵河道坝高AE=5米，坝面AB的