2023-2024学年西藏林芝市某中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2023-2024学年西藏林芝市一中高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知独BC的内角AC的对边分别是a,b,c,且二十六：I：=2c2,若。为最大边，贝j丝2的取值范围

a2+b2c

2.已知函数f(x)=x-J7(x>0),g(x)=x+e',力(x)=x+lnx(x>0)的零点分别为』，占，&，则()

A.xt<x2<x3B.x2<xt<x3

X

C.工2<X3<\D.x3<x{<x2

3.已知集合A={x|/og2X<l},集合z?={)'|y=J2r},则()

A.(e,2)B.(-00,2]C.(0,2)D.[0,+oo)

4.如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()

A.9万+20B.9%+26C.5%+20D.5%+26

5.已知i为虚数单位，若复数Z=2+i,zz=5,则|z|=

A.1B.旧

C.5D.5石

x+y<10

6.设实数X、y满足约束条件卜一yV2,则z=2x+3y的最小值为（）

x>4

A.2B.24C.16D.14

22

7.已知片，工分别为双曲线C:£—"=/〉0）的左、右焦点，过匕的直线/与双曲线。的左、右两支分别

交于AS两点，若4?二月=0,阴=2,则双曲线C的离心率为（）

H周5

A.Vt3B.4C.2D.y/3

8.在满足0<£<y44,二），/的实数对（七,凹）。=1,2「一,〃「・）中，使得玉+工2+…+七1<34成立的正整

数"的最大值为（）

A.5B.6C.7D.9

9.已知集合A=={—1,0,1},则AC3等于（）

人I，

A.{x|-l<x<l}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{0,1}

10.在中，角A8,C的对边分别为q/,c,若c-acos8=（2a-〃）cosA,则AA/C的形状为（）

A.直角三角形B.等腰非等边三角形

C.等腰或直角三角形D.钝角三角形

11.下列函数中，图象关于）,轴对称的为（）

X

/（X）=

y]x2+\B.f(x)=《7+2x+S-2x,XG[-1,2]

.1z>一。'

c./（x）=sin8xD./（x）=——；—

厂

12.对于定义在R上的函数y=/（x）,若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（）

A./（/）在（―⑼上是减函数B./（X）在（0,+8）上是增函数

C./（“不是函数的最小值D.对于XER,都有/（X+1）=/（1—X）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在区间［-6,2］内任意取一个数小,则%恰好为非负数的概率是.

14.已知圆O:/+），2=4,直线/与圆。交于尸，Q两点，A（2,2）,若AQ2+AQ2=40,则弦PQ的长度的最大

值为.

2

15.（5分）已知椭圆方程为/+±=1,过其下焦点/作斜率存在的直线/与椭圆交于A8两点，。为坐标原点，

2

则面积的取值范围是.

16.已知全集为R,集合A=何％27.=0｝,4=｛-1,0｝,则AUB=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=e'-2x.

（1）若曲线y=的切线方程为y=ai+l,求实数。的值；

（2）若函数°（司=〃矿（同+2〃吠-f+3在区间［-2,4］上有两个零点，求实数，〃的取值范围.

18.（12分）已知各项均为正数的数列｛4｝的前〃项和为S“，且S〃是。〃与工的等差中项.

n

（1）证明：｛S：｝为等差数列，并求3；

（2）设琢——数列｛2｝的前〃项和为求满足q25的最小正整数〃的值.

19.（12分）如图1,在等腰R/A4BC中，ZC=9O°,D,E分别为AC,的中点，尸为CD的中点，G在线

段8C上，且8G=3CG。将AM底沿。E折起，使点A到A的位置（如图2所示），且A,尸_LCO。

（1）证明：8E//平面A/G；

（2）求平面AFG与平面A.8E所成锐二面角的余弦值

20.（12分）已知函数/（#=巴竺

x

（D若恒成立，求实数。的取值范围；

X

(2)若方程/0)=机有两个不同实根音，/，证明：X,+X2>2.

21.(12分)某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为〃，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前

每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立.若

每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每人个(AK5)一组进行分组检验，如

果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件

产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1+k次.设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验

次数为X.

(1)求X的分布列及其期望；

(2)(i)试说明，当〃越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；

(ii)当〃=01时，求使该方案最合理时k的值及1000件该产品的平均检验次数.

22.(10分)已知抛物线M：x2=2py(p>0)的焦点R到点N[—l,-2)的距离为何.

(1)求抛物线M的方程；

(2)过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A,B,点A、8分别在第一和第二象限内，求AA5N的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

4.44212

由4+1jc尸折=2。2,化简得到COSC的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.

a2+b2

【详解】

.a4+b4-^-c4+a2b2、？_(a2+b2)2+c4-a2b2

由------.——.-------=2c-,可得------3——z------=2c~2,

a2+b2a2+b2

可得/+-=总*二”纥

a~+h~

通分得=0,

a~+b~

整理得(二+b2-c2)2=a2h2,所以尸+"I)=1,

lab4

因为C为三角形的最大角，所以cosC=-g,

2

又由余弦定理c?=a2+b2-2abcosC=a2+b~+ab=(a+b)2-ab

>(«+Z?i2-(—)2=-(«+Z?)2,当且仅当〃时，等号成立，

24

gcBlf日0〃+8/2s

所以c>—(a+b),即-----<-----,

2c3

又由a+b>c,所以卓的取值范围是(1,竿].

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了

推理与运算能力.

2、C

【解析】

转化函数f(x)=x-4x(x>0),g(x)=x+e',〃(x)=x+lnx(x>0)的零点为y=x与)，=J7(x>0),y=-ex,

y=-lnxa>0)的交点，数形结合，即得解.

【详解】

函数/(A)=x-\/x(x>0),g(x)=x+/,〃(x)=x+lnx(x>0)的零点，即为丁=%与)，=«[x>0),y=-ex,

y=-ln戈(％>0)的交点，

作出丁=不与丁=J7(x>0),y=-ex,y=-lnx(x>0)的图象，

如图所示，可知々V&<X|

故选：C

【点睛】

本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.

3、D

【解析】

可求出集合A,B,然后进行并集的运算即可.

【详解】

解：A={x\0<x<2}f8={田），20}；

・•・AU8=［（）*）.

故选Q.

【点睛】

考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算.

4、C

【解析】

根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体

的底面四边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积

S=^-xl2+—x2.7rx1x4+1x2x2+1x4x2+2x4=5^4-20,故选C.

2

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

5、B

【解析】

由=5可得z=W,所以|z|=U="三=4=石，故选B.

2,|2|I|2+1|V5

6、D

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.

【详解】

x+y<\0

做出满足•x-），02的可行域，如下图阴影部分,

x>4

根据图象，当目标函数z=2x+3y过点4时，取得最小值,

x=4解得彳x=4

由《\,即A(4,2),

卜=2

所以z=2x+3），的最小值为14.

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

7、A

【解析】

由已知得A8J.8/"忸可=4凡由已知比值得|A段=5x,|A同=3x,再利用双曲线的定义可用a表示出|4制，

用勾股定理得出dc•的等式，从而得离心率.

【详解】

㈣J

0,/.=90°.又.•.可令忸用=4x,则|然|=5x,\AB\=3x.设

ABBF2=O,AB^O,BF2^ZABF2I*5

|A制=/,得|你|一|西|=|幽|一忸回=2a,即5x-1=(3x+/)-4x=2a,解得f=3a,x=〃,

・•・忸周=4凡忸用=|4耳+|4胃=6a,

由忸周2+忸周2=忻图2得《方+^^二0a，C2=13/,c=JE,•,.该双曲线的离心率八、/瓦

故选；A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点到

焦点的距离都用。表示出来，从而再由勾股定理建立凡。的关系.

8、A

【解析】

\nx;Iny...Inr,、/、

由题可知：。＜苍＜y,Y4,且叶=力可得一二一，构造函数/?(/)=——(0＜，44)求导，通过导函数求出力(，)

XiX-t

的单调性，结合图像得出。n=2,即得出3x〃＜3e,

从而得出〃的最大值.

【详解】

因为0＜七W4,二yj

则Inxf=Inyf,即y,Inx.=xrIn%

In菁_In%

整理得令£=%=%,

%y.

设/2(f)=乎(0<K4),

则〃曾;■，

tr

令万'«)＞0,则Ov/ve,令〃则ev/44,

故g)在(O,e)上单调递增，在(e,4)上单调递减，则/)=：,

因为a〈％,〃(%)="();)，

由题可知：〃(7)=Jln4时，则Ln=2,所以2We,

所以2$七ve<y.£4,

当Z无限接近e时，满足条件，所以2Wx”<e,

所以要使得X+9+…+七.1<3x”<女H8.154

故当王=/=刍=%时，可有

=2X)+x2+x3+x4=8<8.154,

故〃一1W4,即〃W5,

所以：〃最大值为5.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.

9、C

【解析】

先化简集合A,再与集合8求交集.

【详解】

因为

所以4c3={-

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.

10、C

【解析】

利用正弦定理将边化角，再由sin(A+8)=sinC,化简可得sinBcos4=sinAcosA,最后分类讨论可得;

【详解】

解：因为c-acosB=(2a-b)cosA

所以sinC-sinAcosB=(2sinA-sin8)cosA

所以sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sin(A+B)-sinAcos8=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinAcosB+sinBcosA-sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinBcosA=sinAcosA

TT

当以％4=0时A=-,AA3C为直角三角形；

2

当cosAwO时51114=5m8即A=A,AA5C为等腰三角形：

•••AABC的形状是等腰三角形或直角三角形

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

11、D

【解析】

图象关于)'轴对称的函数为偶函数，用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.

【详解】

图象关于)'轴对称的函数为偶函数；

A中，xeR,/(—)=I,二=-7'*),故/(幻=7^为奇函数；

+1।y/x2+1

8中，f(x)=J7+2x+J7—2x的定义域为[-1,2],

不关于原点对称，故为非奇非偶函数；

。中，由正弦函数性质可知，f(x)=sin8x为奇函数；

。中，X£R且九工0,/(-1)==4-=/(幻，故为偶函数.

(-X)-X-

故选：D.

【点睛】

本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法：

(1)定义法：对于函数/*)的定义域内任意一个X都有/(X)=-/(-X),则函数/(X)是奇函数；都有/。)=/'(7),

则函数/(X)是偶函数

(2)图象法：函数是奇(偶)函数O函数图象关于原点()'轴)对称.

12、B

【解析】

根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可.

【详解】

由/(x+1)=/(1-x)得f(X)关于X=1对称，

若关于x=l对称，则函数/(x)在(0,内)上不可能是单调的，

故错误的可能是4或者是。，

若。错误，

贝IJ/。)在(F,0]上是减函数，在/。)在(0,+8)上是增函数，则/(0)为函数的最小值，与C矛盾，此时。也错误,

不满足条件.

故错误的是月，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13>-

4

【解析】

先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出恰好为非负数”的概率.

【详解】

当后是非负数时，XOG[0,2],区间长度是2-0=2,

又因为[-6,2]对应的区间长度是2-(-6)=8,

所以“与恰好为非负数”的概率是「哈：•

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.

14、2〃

【解析】

取尸。的中点为M,由AP2+AQ2=4O可得4172-0加2=]6,可得M在式+y+2=O上，当OW最小时，弦尸。

的长才最大.

【详解】

22222222

设M为PQ的中点，2(4P+AQ)=(2AM)+PQ,AP+AQ=2AM+2MQf

即40=24〃2+2(0。2—0例2)，20=AA/2+4—CW?,AM2-69M2=16.

设M(x,y),则(x—2)2+(y—2)2—(f+/)=i6,得x+)，+2=0.

所以OM«=±e,PQa=2、6.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.

15、（0,争

【解析】

由题意，a=C,b=l,贝!lc=，7彳=1，得产（。,一1）.由题意可没/的方程为丁=依一1,4（内,），］）,3（工2，%），

y=七（一1、、-12k

联立方程组J；,,c八，消去）'得（公+2）f—2履一1=0，/>0恒成立，玉元二,则

2x~+y~-2=0FTP…二E

IAB\=J(1+—)[(X[+刀)2-44七】=2勺2+D,点。（0,0）到直线/的距离为1=二二，则

炉+2

____&_______________

sT„=:^i=E看'又K看22尸高=2,则

720__

TJ当且仅当即攵=0时取等号・故,AO3面积的取值范围是

16、｛-1.0,1）

【解析】

先化简集合A,再求AUB得解.

【详解】

由题得A={O,1},

所以AUB={4,O,1}.

故答案为{・1,0,1}

【点睛】

本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[36

17、(1)a=—\;(2)-2e<fn<—^ni=-r

ee'

【解析】

(D根据解析式求得导函数，设切点坐标为(无,0“-2%),结合导数的几何意义可得方程与1-*+1=。，构造

函数〃卜)=并求得由导函数求得〃(“有最小值力(0)=0,进而可知由唯一零点/二0,即可

代入求得a的值；

(2)将/(戈)解析式代入e(x),结合零点定义化简并分离参数得〃「宁，构造函数#(工)==2,根据题意可

知直线y=m与曲线g(x)==2有两个交点；求得/(力并令/(力=0求得极值点，列出表格判断g(x)的单调

性与极值，即可确定与)'="?有两个交点时机的取值范围.

【详解】

(1)依题意，/(x)=eA-2x,f\x)=ex-2,

设切点为-2%)，/'(入0)=泊一2,

J"+1=e与一2x0

故与)-2)+1=e"-2%),则与0。-ex°+1=0；

令7i(x)=xex-/+1,”(%)=xex,

故当x«-oo,0)时，//(x)<0,

当x«0,+co)时，ZZ(x)>0,

故当JV=0时，函数/2(工)有最小值，

由于妆0)=。故网切=0有唯一实数根o,

即升)=0，则a-—1；

(2)由0(1)=〃如(同+2〃氏一工2+3=/〃€'—12+3=0,得〃?=，'-3.

所以”(x)在区间［-2,4］上有两个零点”等价于“直线)，=〃?与曲线g(x)=Z/在1«-2,4］有两个交点”;

—储+2x+3

由于g'(x)=

由g'(x)=°，解得X]=-1,%=3.

当X变化时，，(力与g(犬)的变化情况如下表所示:

X[-2,-1)-1(T3)3(利

g'(x)—0+0—

g(x)极小值/极大值

所以g⑺在卜2,-1),(3,4］上单调递减，在(-1,3)上单调递增.

又因为g(-2)=/,^(-l)=-2e,

g⑶=］<g(-2)，g(4)=J>g(T)，

C-v,

故当-26<〃?<1或〃7=g时，直线尸〃2与曲线网耳=二^在/4-2,4］上有两个交点，

eee

即当d或〃z=?时，函数姒力在区间［-2,4］上有两个零点.

ee'

【点睛】

本题考杳了导数的几何意义应用，由切线方程求参数值，构造函数法求参数的取值范围，函数零点的意义及综合应用,

属于难题.

18、(1)见解析，5〃=6(2)最小正整数〃的值为35.

【解析】

(1)由等差中项可知2s当〃22时，得2S“二S“-S“T+《［整理后可得S：-S3=1,从而证

明代｝为等差数列，继而可求S“・

(2)〃=j〃+；+4=4^-G,则可求出(=JE-1,令而？一125‘即可求出〃的取值范围'进而

求出最小值.

【详解】

解析；(D由题意可得2s〃=凡+」-,当〃一1时，2§=0+-!-,.・.q2=l,q=l,

4的

当〃N2时，2S—1+[,整理可得s；-S,3=l,

・・・｛s；｝是首项为1,公差为1的等差数列，・・・s；=s；+(〃-1)=〃，s〃=G.

(2)由(1)可得勿=-/=」--j==x[nV\-4n,

yjn+\+yjn

••Tlt=-y/l+>/3-y/2+…+\fn—-1+\]n+1—>/n=JA?+1-125,解得nN35,

，最小正整数〃的值为35.

【点睛】

本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了%与S”的关系，考查了裂项相消求和.当已知有为与S”的

q,〃=l

递推关系时，常代入q=7进行整理,证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常

-3c”一]

数.

19、(1)证明见解析

⑵回

5

【解析】

(1)要证明线面平行，需证明线线平行，取8c的中点连接DW，根据条件证明〃尸G,即

BE//FG；

(2)以尸为原点，叱所在直线为x轴，过尸作平行于C8的直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标

系尸一乃，Z,求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：取〃。的中点“，连接DW.

••・8G=3CG,・・・G为CM的中点.

又F为CD的中氤，工FG//DM.

依题意可知。EJ3M,则四边形DWB£为平行四边形，

/.BE//DM,从而BE//FG.

又/Gu平面A/G,BEa平面AFG,

・・・3七7/平面A/G.

(2)'：DELAD^DELDCt且AQlOC=O,

.•.。七_1平面4。。，Abu平面ADC,

DE1A.Ff

vA.F1DCt且DEcDC=D,

人/上平面/^石，

二.以尸为原点,爪所在直线为x轴，过b作平行于C8的直线为)'轴，FA所在直线为二轴，建立空间直角坐标系

F-xyzf不妨设C/)=2,

则打0,0,0),4(0,0,73),8(1,4,0),石(一1,2,0),G(1J,O),

R=(0,0,@,FG=(l,l,0),AE=(T，2,-G),EZ?=(2,2,0).

设平面AFG的法向量为勺=(%„y,zJ,

小/G=()

令罚=1,得〃=(1,-1,0).

设平面ABE的法向量为m=(%，%，4)，

-x2+2y2-V3Z2=0

mEB=()2X2+2y2=0

令马=1,得加=(1,一1,一75人

故平面AFG与平面ABE所成锐二面角的余弦值为叵.

5

【点睛】

本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档

题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行

四边形，这些都是证明线线平行的常方法.

20、(1)(《,3)(2)详见解析

2e

【解析】

InrInY

(D将原不等式转化为一，构造函数g(x)二一，求得g(x)的最大值即可；

x~x~

(2)苜先通过求导判断了(x)的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数〃(幻=/(幻-/(2-.。，将问题转化为

证明〃(x)v0,探究在区间内的最大值即可得证.

【详解】

解：(1)由/(x)vax+,，即电)vox,

nr111X

即4>—,

Inx

令g(x)=r，。>()),则只需a>gCr)3x，

x

g(x)=l2]nx,令g<x)=。，得犬=&,

x

g*)在(0,五)上单调递增，在(V^,+00)上单调递减,

・飞⑴g=g(G)=7T，

2e

・・•，的取值范围是(「，18)；

2e

(2)证明：不妨设不<X2，/'。)=——->

x~

.•.当xe(0,1)时，f(x)>0,f(x)单调递增，

当xw(l,+oo)时，f(x)<0,/(x)单调递减，

v/(l)=l,/^=0,当工—转时，

/.0<m<l,—<x<1<x,

e12

要证西+々>2,即证占>2-

由9>1：2-芭>1,/。)在(1,y)上单调递增，

只需证明/(9)〈/(2—%)，

由/(3)=〃％)，只需证明/(不)<〃2—不)，

令a(x)=/(x)—/(2-X),XG(OJ),

只需证明力")<0,

Inxln(2-x)

易知力(1)=0,〃(x)=f(x)+/(2-x)=

X2(2-x)2

由XE(0,1),故一lnx>0,f<(2-X)2,

-lnx-ln(2-x)-ln[x(2-x)l

/.h(x)>>0,

(2-x)2(27)2

从而〃(x)在(0,1)上单调递增,

由/?(1)=0,故当X£(。』)时，h(x)<0,

故菁十三>2,证毕.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如把恒成立问题转化为最值问题，把根的

个数问题转化为图像的交点个数，进而转化为证明不等式的问题，属难题.

21、(1)见解析，1一(1一〃>十；(2)(i)见解析(ii)攵=4时平均检验次数最少，约为594次.

K

【解析】

I।+攵

(1)由题意可得产,X的可能取值为二和一「，分别求出其概率即可求出分布列，进而可求出

kk

期望.

(2)⑴由⑴记〃p)=l—(l—根据函数的单调性即可证出；(ii)记g仅)=1一(1—〃1+；