2024-2025学年北京市顺义区第二中学高三上学期12月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市顺义区第二中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=−1,0,1,2，B=xx≤1，则A∩BA.−1,0,1 B.0,1,2 C.0,1 D.1,22.复数z=2−i1+2i，则z等于(

)A.0 B.5 C.553.已知2+x5=a0+A.10 B.20 C.40 D.804.下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是(

)A.y=1x B.y=−x3 C.5.南京大学开展数学建模选拔赛，对参赛的100名学生的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图(每组为左闭右开的区间)，根据图中信息，下列说法错误的是(

)

A.图中的x值为0.020

B.得分在70分及以上的人数为75

C.这组数据的平均数的估计值为76(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)

D.这组数据的中位数的估计值为786.已知向量a与向量b的夹角为π3，且a=1，2a−bA.4 B.3 C.2 D.7.设各项均为正数的等比数列an的公比为q，且bn=log2an，则“A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.正四棱四P−ABCD中，AB=2，二面角P−CD−A的大小为π4，则该四棱锥的体积为(

)A.4 B.2 C.23 D.9.若角α、β是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是(

)A.cosα>cosβ B.sinα<sinβ10.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数Rt与天数t之间满足关系式：Rt=R0ekt，其中k为常数，R0是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000A.9 B.10 C.11 D.12二、填空题：本题共5小题，共30分。11.若2x−1xn展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是12.已知等差数列an的公差是2，且a1，a3，a4成等比数列，则当数列an的前n项和Sn取最小值时，13.在▵ABC中，a=2，b=22.若∠A=π4，则c=

；若满足条件的三角形有两个，则∠A14.设函数fx=−x+a,x≤1−ax−22+1,x>1，若a=2，则fx的单调递增区间是

，若fx15.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面ADD1A1上运动，满足三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知函数fx(1)求f0(2)从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使函数fx存在且唯一确定，判断函数fx在π6,π条件①：函数的一个对称中心为π6条件②：函数图象过点−π条件③：两条相邻对称轴间的距离为π2条件④：函数y=fx的的最大值与最小值之和为0(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.)17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=4，PA=PD=22，E，F分别为BC，PD

(1)求证：EF//平面PAB；(2)求平面BEF与平面ABE夹角的余弦值；(3)求点P到平面BEF的距离．18.某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组.观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表．株高增量(单位：厘米)4,77,1010,1313,16第1组鸡冠花株数92092第2组鸡冠花株数416164第3组鸡冠花株数1312132假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为7,10厘米的概率；(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为7,10厘米，求X的分布列和数学期望EX；(3)用“ξk=1”表示第k组鸡冠花的株高增量为4,10，“ξk=0”表示第k组鸡冠花的株高增量为10,16厘米，k=1,2,3，直接写出方差Dξ1，Dξ19.在▵ABC中，2ccosA=2b−a(1)求∠C的大小；(2)若c=3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在，求条件①：▵ABC的面积为23；条件②：sinB−sinA=注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20.已知函数fx=aex(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点0,f0(2)求gx(3)若fx和gx有相同的最小值，求a21.给定正整数k，m，其中2≤m≤k，如果有限数列an同时满足下列两个条件，则称an为(k,m)−数列.记(k,m)−数列的项数的最小值为G条件①：an的每一项都属于集合{1,2,3,…,k}条件②：从集合{1,2,3,…,k}中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是an注：从an中选取第i1项、第i2项、...、第is项(其中i1<i(1)分别判断下面两个数列是否为3,3−数列，并说明理由：数列A1:1,2,3,1,2,3,1,2,3(2)求证：Gk,2(3)求G4,4的值．

参考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.D

6.B

7.C

8.D

9.D

10.D

11.60

12.4或5

13.2；π3(14.(1,2]；(0，2]

15.616.(1)f=2f(2)由①：2⋅π6ω−π3由②：2sin由③：T2=π2，故由④：f(x)=2sin2ωx−π3+m若选①②，由2sin−π若选①③，ω=1满足ω=1+3kk∈Z，所以存在唯一f(x)=2当x∈π6,π2时，0<2x−π3若选①④，显然m=1与m=0不能同时成立，故不存在满足条件的f(x)；若选②③，由ω=1代入得，2sin−π所以存在唯一f(x)=2sin2x−π3，当所以当2x−π3=π2若选②④，由m=0，可得2sin−π6ω−解得ω=−12k+1,k∈Z，故f(x)不唯一；若选③④，fx存在且唯一f(x)=2当x∈π6,π2即x=5π12时，

17.(1)证明：取PA中点G，连接FG，EG，如图所示：

∵F为PD的中点，∴FG//AD，FG=12∵E是BC的中点，∴BE=1在正方形ABCD中，AD//BC，AD=BC，∴FG//BE且FG=BE，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF//BG，又平面PAB，BG⊂平面PAB，∴EF//平面PAB；(2)取AD中点O，连接OP，OE，∵PA=PD=22，∴PO⊥AD，且∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD∴PO⊥平面ABCD，又OE⊂平面ABCD，∴OP⊥OE，在正方形ABCD中，OE⊥OA，则建立以O为原点，以OA、OE、OP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系O−xyz，如图所示：

则O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(−2,4,0),D(−2,0,0),E(0,4,0),P(0,0,2),F(−1,0,1)，∴EB=(2,0,0)，设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z)则n⋅EB=2x=0n⋅EF=−x−4y+z=0∴平面BEF的一个法向量为n=(0,1,4)又OP⊥平面BAE，则平面ABE的一个法向量为m=(0,0,2)∴cos∴平面BEF与平面ABE夹角的余弦值4(3)由(2)知平面BEF的一个法向量为n=(0,1,4)又BP=(−2,−4,2)所以点P到平面BEF的距离为BP⋅

18.(1)设事件A为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为7,10厘米”，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为7,10厘米，所以PA估计为20(2)设事件B为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为7,10厘米”，设事件C为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为7,10厘米”，根据题中数据，PB估计为1640=25根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.3，且PX=0PX=1PX=2PX=3则X的分布列为：X0123P2111293所以EX=0×21(3)D理由如下：Pξ1=1Pξ2=1Pξ3=1所以Dξ

19.解：(1)由正弦定理

及2ccos得2因为A+B+C=π，所以sin由①②得2sin因为A∈0,π，所以sin所以cosC=因为C∈0,π所以C=π(2)选①，▵ABC的面积为2即12absinC=2因为c=3，由余弦定理得即a2+b由基本不等式得a2+b故此时三角形不存在，不能选①，选条件②：sinB−由(1)知，∠B=π−π所以sin=所以sinπ因为A∈0,2π3所以π3−A=π所以▵ABC是以AC为斜边的直角三角形．因为c=所以AC=AB所以AC边上的中线的长为12选条件③：b2由余弦定理得a2+b设AC边上的中线长为d，由余弦定理得d2所以AC边上的中线的长为1．

20.(1)因为a=1，f(x)=ae所以f′(x)=e所以f′(0)=e0−1=0所以，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程y−1=0x−0，即y=1(2)函数g(x)=x−alnx(a∈R)的定义域为所以，g′(x)=1−a所以，当a≤0时，g′(x)>0在0,+∞上恒成立，函数g(x)在0,+∞上单调递增，当a>0时，x∈0,a时，g′(x)<0，g(x)单调递减；x∈a,+∞时，g′(x)>0，综上，当a≤0时，增区间为0,+∞，无减区间；当a>0时，减区间为0,a，增区间为a,+∞．(3)由(2)知，当a>0时，g(x)在0,a上单调递减，g(x)在a,+∞单调递增．所以，g(x因为f′(x)=aex−1，f′(x)=a所以，当x∈−∞,ln1a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈ln所以，f(x)因为f(x)和g(x)有相同的最小值，所以1+lna=a−aln令ℎx=1+x令tx=ln所以，当x∈0,1时，t′x<0，tx单调递减，当x∈所以tx≥t1所以，ℎx在0,+∞因为ℎ1所以，1+alna−a+1=0即a的值为1．

21.(1)m=3,k=3，数列A1和A2中每一项都属于集合{1,2,3}，符合条件从集合{1,2,3}中取出3个不同的元素，排成一列得到1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1．根据子数列的定义可知，以上6个数列都是数列A1的子数列，故数列A1是而数列3,1,2不是数列A2的子数列，故数列A2不是(2)m=2，若从集合{1,2,3,⋯,k}中任取2个不同的数排成一列，得到的数列都是数列{a则为了满足1,2；1,3；⋯，1,k；2,3；2,4；⋯；2,k；⋯等数列都是{a则数列{an}又为了满足k,1；k−1,1；k,2；k−1,2；⋯等数列都为{a则数列{an}则当数列{an}为1,2,3,⋯k,k−1,⋯,2,1故G(k,2)=2k−1．(3)m=k=4，从集合{1,2,3,4}中取出4个不同的数排成一列，可得1,2,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4；1,3,4,2；1,4,2,3；1,4,3,2；2,1,3,4；