有理数的加减法

个性化教育辅导教案姓名年级七学科数学上课时间知识点有理数的加减法教学目标1、理解有理数加法的意义，掌握有理数的加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算。2、掌握有理数加法运算律，并运用运算律简化运算；解决简单的实际问题。3、理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则，并运用减法法则简化运算。4、掌握将有理数的加减混合运算统一成加法运算的方法，熟练地进行有理数的加减法混合运算。教学重点准确迅速地进行有理数的加减混合运算教学难点减法直接转化为加法及混合运算的准确性作业布置教学过程类型之一:凑整型例1、计算（－0.5）+（）+（+2.75）+（）.【解析】在进行三个以上的有理数的加法运算时，可以利用加法的交换律和结合律，把互为相反数或相加得零的数结合起来.【解答】（－0.5）+（）+（+2.75）+（）=（）+（）+（）+（）=－6+6=0.【评注】把能凑成整数的两个或多个数结合起来，把同分母的数结合起来，把正数、负数分别结合起来，可以使运算简便、迅速且易于检查.类型之二:运算律型例2、计算（－0.5）+（）+（+2.75）+（）.【解析】在进行三个以上的有理数的加法运算时，可以利用加法的交换律和结合律，把互为相反数或相加得零的数结合起来.【解答】（－0.5）+（）+（+2.75）+（）=（）+（）+（）+（）=－6+6=0.【点评】把能凑成整数的两个或多个数结合起来，把同分母的数结合起来，把正数、负数分别结合起来，可以使运算简便、迅速且易于检查.类型之三:综合应用型例3、某市冬季的一天，最高气温为6℃，最低气温为－11℃，这天晚上的天气预报说将有一股冷空气袭击该市，第二天气温将下降10—12℃，请你利用以上信息，估计第二天该市的最高气温不会高于多少度?最低气温不会低于多少度?以及最高气温与最低气温的差至少为多少度?.【解析】计算由某一温度下降若干度后变为多少度，应该进行减法计算.“气温下降10～12度”的含义是至少下降10℃，最多下降12℃.估计第二天的最高气温，应该用当天的最高气温减10℃，而不能减12℃，估计最低气温则与此相反.估计第二天最高气温与最低气温的差至少为多少度，应该用下面“式子”进行计算：（当日最高气温－12℃）－（当日最低气温－10℃）.【解答】6－10=6+（－10）=－（10－6）=－4,－11－12=（－11）+（－12）=－（11+12）=－23,（6－12）－（－11－10）=［6+（－12）］－［－11+（－10）］=［－（12－6）］－［－（11+10）］=－6－（－21）=6+21=21－6=15.答：估计第二天该市最高气温不会高于－4℃，最低气温不会低于－23℃，第二天最高气温与最低气温的差至少为15℃.课堂练习（基础检测）1.下列说法中正确的是（）A.在有理数的减法中，被减数一定要大于减数B.两个负数的差一定是负数C.正数减去负数差是正数D.两个正数的差一定是正数2.我市2006年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2006年温差列式正确的是（）A.（+39）－（－7）B.（+39）+（+7）C.（+39）+（－7）D.（+39）－（+7）3.冬季的某日,上海最低气温是3℃,北京最低气温是－5℃,这一天上海的最低气温比北京的最低气温高________℃.4.比零小4的数是_______，比3小4的数是_______，比－5小－2的数是_______.5.计算：（1）（－13）+（－2）；（2）+（）；（3）+（－0.6）.能力提升类例1计算：一点通：利用有理数加法的交换律和结合律计算。解：原式==点评：在运用有理数加法运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化的目的，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④整数与整数、小数与小数、分数与分数先相加——“同形结合法”。例2一点通：利用有理数减法的运算法则及有理数加法的结合律计算。解：原式= = =点评：将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符号，一个是运算符号“－”变成“+”，另一个是减数的性质符号相应改变。综合运用类例3一点通：有理数加减混合运算应先统一成加法，写成省略加号的和的形式；有绝对值的式子先计算绝对值。解：原式====点评：灵活选择有理数加减混合运算的方法，可以使繁琐的问题变简单。例4若且求的值。一点通：含绝对值的代数式判断绝对值里的式子与0的关系，达到去绝对值的目的。解：∵∴∵∴∴当时，；当时，。点评：含绝对值的代数式计算一直都是有理数加减学习中的难点，如何把握去绝对值过程中不丢解和不多解是应在学习过程中不断完善和总结的。思维拓展类例5计算一点通：利用有理数运算的技巧拆项法求解。解：原式==点评：带分数可以拆分为整数与分数相加减的形式，再运用加法的结合律运算。变式化简。解：原式===+=例6观察下列各式：；；……将以上n个等式相加得到：。用上述方法计算：的值。一点通：观察等式的特点：利用拆项错位相消法求解，若同一式子的分母两个数相差为n时，提出后再拆项错位相消。解：原式= 点评：得出规律：，从而得到；求的前n项和用拆项错位相消法。变式求的前n项和。一点通：观察等式的特点：利用拆项错位相消法求解。解：原式=== 点评：观察上述两式的联系与区别，同一分式的分母两个数相差为2，可提出后再拆项错位相消。同时所剩的式子为前两项的和减去后两项。例7已知，且恰好是4个连续自然数，求的和。一点通：由原式可知可见的公分母为180，即的最小公倍数为180，而171是180的4个约数之和。 解：180的约数有1，2，3，4，5，6，9，10，12，15，18，20，30，36，45，60，90，180；其中30+36+45+60=171，因此，故。点评：此题有一定难度，应考虑利用最小公倍数求值，要求课后多理解体会，达到应用的能力。例8有一批钢材标准质量为每捆1500千克,现抽取5捆样品进行检测,结果如下(单位:千克):1502,1497,1512,1491,1489.这5捆钢材的总重量是多少?与标准质量相比是多还是少?【解析】求总质量只需将5个数据相加,但数据大,运算较复杂.可将超出标准质量的数用正数表示,不足的用负数表示,求和.若为正则比标准量多,若为负则比标准量少.【解答】5捆钢材与标准质量的差值如下(单位:千克):+2,－3,+12,－9,－11.(+2)+(－3)+(+12)+(－9)+(－11)=－9(千克).1500×5+(－9)=7491(千克).答:5捆钢材的总质量是7491千克,总计比标准质量少9千克.例9某公路养护小组乘车沿南北方向巡视,从A地出发,晚上到达B地,规定向北为正方向,行驶记录如下(单位:千米):+18,－9,+7,－14,－6,+13,－6.问B地在A地什么位置?若汽车每行驶1千米耗油0.5升,求这天共耗油多少升?【解析】(1)要求B地相对于A地的位置，只要把这7个有理数相加即可；(2)这7个有理数的绝对值的和就是行驶的总路程.【解答】（1）+18+(－9)+(+7)+(－14)+(－6)+(+13)+(－6)=+3千米，即B地在A地正北3千米.（2）因为|+18|+|－9|+|+7|+|－14|+|－6|+|+13|+|－6|=73千米,所以共耗油73×0.5=37.5升.当堂反馈1.下列说法正确的个数为()①两个有理数的和为正数时,这两个数都是正数②两个有理数的和为负数时,这两个数都是负数③两个有理数的和可能等于其中一个加数④两个有理数的和可能等于零A.1个B.2个C.3个D.4个2.若两个有理数的和为正数，那么这两个数（）A.都是正数B.都是负数C.至少有一个正数D.至少有一个负数3.若两个数绝对值之差为0，则这两个数（）A.相等 B.互为相反数C.两数均为0 D.相等或互为相反数4.下面是一个方阵图，每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加的和均相等.如果将方阵图中的每个数都加上同一个数，那么方阵中每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加的和仍然相等，这样就形成了一个新的方阵图.根据下图中给出的数，对照原来的方阵图，你能完成下面的方阵图吗？5.给出20个数：89，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.则它们的和是()A.1789 B.1799C.1879 D.18016.一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是________个单位.7.计算：(1)－14(2)8.甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2米，又向甲队方向移动了0.5米，相持一会后，又向乙队方向移动了0.4米，随后又向甲队方向移动了1.3米，在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队方向移动了0.9米，若规定标志物向某队方向移动2米该队即可获胜，那么现在谁赢了？用算式说明你的判断.实战提高一、选择题1.如果|x|＝4，|y|＝3，则x－y的值是（）A.±7 B.±1 C.±7或±1 D.7或12.已知：a＜0，b＞0，用|a|与|b|表示a与b的差是（）A.|a|－|b| B.－（|a|－|b|） C.|a|＋|b| D.－（|a|＋|b|）3.如果a＜0，那么a和它的相反数的差的绝对值等于（）A.－2a B.－a C.0 D.a4.1997个不全相等的有理数之和为零，则这1997个有理数中（）A.至少有一个为零 B.至少有998个正数C.至少有一个是负数 D.至少有1995个负数5.被减数、减数都是负数，则差一定是 （ ）A.正数 B.零 C.负数 D.以上情况都有可能6.的相反数是 （ ）A. B. C. D.7.根据交换律，由式子－a+b－c可得 （ ）A.b－a+c B.－b+a+c C.b－a－c D.－b+a－c8.下列代数式的和等于4的是 （ ）A. B.C. D.二、填空题1.在－13与23之间插入三个数，使这5个数中每相邻两个数在数轴上表示的点之间的距离相等，则这三个数的和是。2.1－2＋3－4＋5－6＋…－100＋101＝__________。89＋899＋8999＋89999＋899999＝__________。3.已知|+3|+，那么y－x= 。4.一个负数减去它的相反数，其结果是 数。三、简答题1.2.4.1＋2＋3＋…＋1997＋1998＋19995．观察下列两组等式：根据你的观察，先写出猜想：(1)()－() (2)()×()然后，用简单方法计算下列各题：(1) (2)(3) (4)6．若｜x｜＝x，并且｜x－3｜＝3－x，请求出所有符合条件的整数x的值，并计算这些值的和．7．已知m，n为整数，且｜m－2｜＋｜m－n｜＝1，求m＋n的值．8.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自O地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10、－3、+4、+2、－8、+13、－2、+12、+8、+5 （1）收工时距O地多远？ （2）若每千米耗油0.2升，从O地出发到收工时共耗油多少升？9.小张上周末买进股票1000股，每股20元，下表为本周每日股票的涨跌的情况。星期一二三四五每股涨跌+4+5－1－3－6（1）到本周三，小张所持股票每股多少元？ （2）本周内，股价最高出现在星期几？是多少元？（3）已知小张买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和3‰的交易税，如果小张在本周末卖出全部股票，他收益如何？有理数的加减法练习题——提高题1、若是有理数，则的值()A、可能是正数B、一定是正数C、不可能是负数D、可能是正数，也可能是负数2、若的值为()A、正数B、负数C、0D、非正数3、如果，()A、互为相反数B、m＝n,且n≥0C、相等且都不小于0D、m是n的绝对值4、下列等式成立的是()A、 B、＝0C、 D、－＝05、若，则的值是()A、5B、1C、－1D、－56、在数轴上，表示的点在表示的点的右边，且，则的值为()Ａ．－3 Ｂ．－9 Ｃ．－3或－9 Ｄ．3或97、两个数的差为负数,这两个数()A、都是负数B、两个数一正一负C、减数大于被减数D、减数小于被减数6、负数a与它相反数的差的绝对值等于()A、0B、的2倍C、－的2倍D、不能确定8、下列语句中，正确的是()A、两个有理数的差一定小于被减数B、两个有理数的和一定比这两个有理数的差大C、绝对值相等的两数之差为零D、零减去一个有理数等于这个有理数的相反数9、对于下列说法中正确的个数()①两个有理数的和为正数时，这两个数都是正数②两个有理数的和为负数时，这两个数都是负数③两个有理数的和，可能是其中的一个加数④两个有理数的和可能等于0A、1B、2C、3D、410、有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则()－－110abA、a＋b＝0B、a＋b＞0C、a－b＜0D、a－b＞011、下列各式中与的值不相等的是()A、 B、C、 D、12、下列各式与a－b＋c的值相等的是()A．a－(b＋c)B．c＋(a＋b)C．c－(b－a)D．a＋(b＋c)13、用式子表示引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算，正确的是()A、a＋b－c＝a＋b＋cB、a－b＋c＝a＋b＋cC、a＋b－c＝a＋(－b)＝(－c)D、a＋b－c＝a＋b＋(－c)14、若，则以下四个结论中，正确的是()A、一定是正数B、可能是负数C、一定是正数D、一定是正数15、若a、b为有理数，a与b的差为正数，且a与b两数均不为0，那么()A、被减数a为正数，减数b为负数B、a与b均为正数，切被减数a大于减数bC、a与b两数均为负数，且减数b的绝对值大D、以上答案都可能16、若a、b表示有理数，且a>0，b＜0，a＋b＜0，则下列各式正确的是()A、－b＜－a＜b＜aB、－a＜b＜a＜－bC、b＜－a＜－b＜aD、b＜－a＜a＜－b17、下列结论不正确的是()A、若，，则B、若，，则C、若，，则D、若，，且，则18、若，时，，，，中，最大的是()A、 B、C、D、19、数m和n，满足m为正数，n为负数，则m，m－n，m＋n的大小关系是()A、m＞m－n＞m＋nB、m＋n＞m＞m－nC、m－n＞m＋n＞mD、m－n＞m＞m＋n20、如果a＜0，那么a和它的相反数的差的绝对值等于()A、a B、0 C、－a D、－2a21、若，则下列各式中正确的是()A、 B、C、 D、22、在数轴上，点x表示到原点的距离小于3的那些点，那么等于()A、6 B、－2x C、－6 D、2x23、如果a、b是有理数，则下列各式子成立的是()A、如果a＜0，b＜0，那么a＋b＞0B、如果a＞0,b＜0,那么a＋b＞0C、如果a＞0,b＜0,那么a＋b＜0D、如果a＜0,b＞0,且︱a︱＞︱b︱,那么a＋b＜024、已知a＜c＜0，b>0，且|a|>|b|>|c|，则|a|＋|b|－|c|＋|a＋b|＋|b＋c|＋|a＋c|等于()A、－3a＋b＋cB、3a＋3b＋cC、a－b＋2cD、－a＋3b－3c25、填上适当的符号，使下列式子成立:(1)(_____5)＋(－15)＝－10；(2)(－3)＋(_____3)＝0；(3)(_____)＋(－3)＝－1.26、若有理数a＞0，b＜0，则四个数a＋b，a－b，－a＋b，－a－b中最大的是，最小的是．27、已知．28、三个连续整数，中间一个数是a，则这三个数的和是___________．29、若，，且，，则＝________．30、当时，、、中最大的是_______，最小的是_______．31、若，那么等于___________．32、若数轴上，Ａ点对应的数为－5，B点对应的数是7，则A、B两点之间的距离是．33、若x＋m＝n，则x＝______；若x－m＝n，则x＝_______．34、有若干个数，第一个数记为a1,第二个数记为a2,第3个数记为a3,…,第n个数记为an,若a1＝－0.5，从第二个数起，每个数都等于“1”与它前面的那个数的差的倒数。（1）计算：a2＝，a3＝，a4＝；（2）根据以上计算的结果，请写出a2009－a2011＝．35、若异号，则___________．36、用“＞”或“＜”号填空：有理数a，b，c在数轴上对应的点如图：ccab0则a＋b＋c______0；|a|______|b|；a－b＋c______0；a＋c＿＿＿b；c－b＿＿＿a；37、如果|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝a＋b，则a－b的值是．38、观察下列的排列规律，其中( ●是实心球，○是空心球)……从第1个球起到第2011个球上，共有实心球个．39、分别输入－1，－2，按图所示的程序运算，则输出的结果依次是、．输入输入输出－5－(－3)＋440、已知，，．(1)你能判断是正数还是负数吗？(2)试求和的值．41、如图，已知a、b、c在数轴上的位置，化简：|a－b|－|b－c|＋|c－a|。ccab042、已知有理数a、b满足：a＜0，b＞0且，化简．43、一个小吃店去超市买10袋面粉，这10袋面粉的重量分别为：24.8千克，25.1千克，24.3千克，24.6千克，25.5千克，25.3千克，24.9千克，25.0千克24.7千克，25.1千克，你能很快就求出这10袋面粉的总重量吗？44、下表列出国外几个城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数)．城市东京巴黎纽约芝加哥时差(时)＋1－7－13－14如果现在时间是北京时间上午8∶30，那么现在的纽约时间是多少？东京时间是多少？小兵现在想给远在巴黎的爸爸打电话，你认为合适吗？45、有依次排列的3个数：3、9、8，对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后，也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8.继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？有理数的加减法（课后作业）一、选择题：1、在这3个数中，任意两数之和的最小值是（）A、0B、