电磁场与电磁波习题答案

概论MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h习题11.1给定两矢量和，求它们之间的夹角，以及在上的分量。解：由得到与之间的夹角在上的分量为1.2已知无限长线电荷的电场的矢量形式为 写出在直角坐标系中该电场的分量形式。解：由得到1.3给定两矢量和，求在上的分量。解：在上的分量即为1.4已知无限长线电流的磁场的矢量形式为 写出在直角坐标系中该磁场的分量形式。解：由得到1.5已知点的柱坐标为，请写出在点的柱坐标单位矢量在直角坐标系中的分量形式。解：由得1.6已知点的球坐标为，请写出在点的球坐标单位矢量在直角坐标系中的分量形式。解：由得1.7已知标量场，求梯度为0的点的位置。解：由得到1.8记球面上的点处的法向单位矢量为，求标量场在点处沿法向的方向导数。解：先求法向单位矢量，由得到再求梯度得到方向导数1.9已知矢量场，求通过图示正方体（中心在原点，边长为2）的右侧面的通量。图题1.9解：在右侧面上，有1.10利用高斯定理，求上题中的矢量场通过图题1.9所示正方体表面的通量。解：先求散度从而得到1.11已知矢量场，求沿着图示正方形（位于平面，中心在原点，边长为2）的环量。图题1.11解：如图，根据环量的定义直接求得1.12已知矢量场，求在点处沿着方向的环量面密度。解：先求旋度又所以沿的环量面密度1.13利用斯托克斯定理，求矢量场沿图示三角形的环量。图题1.13解：先求矢量场的旋度又有所以根据斯托克斯定理，所求环量1.14空间电位分布和电荷分布满足泊松方程，若已知电位 其中为场点到轴距离，、、、和均为常数。求电荷分布。解：在直角坐标系中求解，在时，有根据泊松方程有在时，有所以1.15已知矢量场，求穿过图示八分之一球面的通量。（球面半径为1）图题1.15解：由于所以矢量场是无散场。直接求曲面的通量较为困难，可以转而求与曲面共边界的其它曲面的通量，比如在三个扇形、和上的通量分别为所以有1.16求矢量场沿着图示抛物线从原点到点的曲线积分。已知抛物线方程为 图题1.16解：易证，所以矢量场是无旋场，可以选从到的任意路径求曲线积分，比如如图所示，其中、和分别为沿着坐标轴的长度为1的路径，且有所以有静电场MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h习题22.1已知一带电细杆，杆长为,其线电荷密度,其中为常数，求杆上的总电荷量。解：杆上的总电荷量为2.2已知半径为的带电球体的电荷密度为，求球体内的总电荷量。解：球体内的总电荷量为2.3在一条直线上等距分布有四个点电荷，它们是否能处于静止平衡状态？如果能，它们的带电荷量应该满足什么条件？图题2.3解：如图，设点电荷之间的距离为，从左到右依次分布着、、和，根据库伦定律，可列出各点电荷的静电平衡条件化简得到此方程只有零解，说明这四个点电荷不能处于静止平衡状态。2.4如图所示，真空中有一边长为1的正六边形，六个顶点都放有点电荷，求六边形中心𝑂的场强大小。图题2.4解：如图，从最左侧的点电荷开始，顺时针给点电荷依次编号1到6，分别求出个点电荷在中心𝑂的场强为，，，从而得到总场强此题从对称性也易看出，中心的场强应该为0。2.5一半径为的带电球体，其电荷体密度分布为 其中为一常量．试求球体内外的场强分布。解：电荷分布具有球对称性，取一个半径为的高斯球面，根据静电场的高斯定理有，和，因此得到2.6已知真空中的静电场的表达式为，求在点处的电荷密度。解：静电场的旋度为0，因此有得到，即有根据静电场的高斯定理，得到电荷密度2.7边长为的立方盒子的六个面，分别平行于、和平面。盒子的一角在坐标原点处。在此区域有一静电场，场强为。试求穿过各面的电通量。图题2.7解：如图，在各面的电通量分别为2.8已知电场强度，求图中正立方体内的总电荷。图题2.8解：根据高斯定理，先求正方体表面的电通量，由于电场沿轴方向，所以只要计算左右侧面的通量，即有因此有正立方体内的总电荷为此题也可以先通过求电场的散度求得电荷密度，再在正方体内积分得到总电荷量。2.9在平行电容板中充满绝对介电常数分别为和的上下两层均匀介质，已知金属板上的自由电荷面密度为，求两层介质分界面上的极化电荷面密度。图题2.9解：容易从介质中的高斯定理求得上下两层介质中的电位移矢量从而有极化强度得到在介质分界面上的极化电荷面密度2.10有一内外半径分别为和的空心介质球壳，介质的电容率为，使介质内均匀带静止自由电荷，求（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。（1）此问题的电荷和电场分布具有球对称性，空间各点的电场沿径向分布。对于位于内、外球壳之间的场点，，取高斯面为半径为的球面，则由介质中的高斯定律有：即得到场点处的电位移矢量为：对应的电场强度矢量为：同理可以得到，对于位于内、外球壳之间的场点，，电场强度矢量为：对于位于球壳内空间的场点，，电场强度矢量为：，（2）在内、外球壳之间（）的体极化电荷密度为：在球壳内表面（）的面极化电荷密度为：在球壳外表面（）的面极化电荷密度为：2.11已知在空间静电场强度为。选原点𝑂为电位零点，求图中𝑃点的电位。图题2.11解：由静电场的无旋性得从而有2.12求半径为𝑎的均匀带电圆盘的电位。图题2.12解：设圆盘上的电荷面密度为，如图，由得到此积分在一般情形下要用数值求解。2.13如图有两块无限大金属导体平板，板间充满电荷，其体电荷密度为，其中为常数，板间距离为，上下极板电位均为0，求两极板之间的电位分布。图题2.13解：电位函数的泊松方程为其一维形式可写成：此微分方程的通解为：根据边界条件，可求得所以电位的解为：电场强度等于：2.14有一内外半径分别为和的空心导体球壳，内球壳电位为0，外球壳电位为，求球壳之间的电位。解：电位具有球对称性，，所以拉普拉斯方程成为方程的通解为又由边界条件解得从而得到2.15如图所示，证明当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，分界面两侧的电场满足折射关系：。图题2.15解：如图所示，将电场分解为切向分量和法向分量，则由电场的边值关系有得到又得到从而有2.16两块无限大接地导体平板分别置于和处，在两板之间的处有一块电位为的导体平板，求中间导体平板上的面电荷密度。图题2.16解：如图，设两侧空间的电位分别为和，则易求得从而得到中间导体平板上的面电荷密度2.17在均匀外电场中置入半径为的导体球，保持导体球的电位为0，试用分离变量法求空间的电位分布。图题2.17解：如图，设导体球外和球内的电位分别为和，满足拉普拉斯方程，利用分离变量法可求得在轴对称情形下其通解为由于导体球接地，所以有在时，趋向于均匀电场的电位，即有对比系数，从而得到在导体球面，由电位函数的边值关系有对比系数得，所以有2.18如图，沿轴方向的无限长均匀带电导线位于无限大接地导体平面上方，相距为，线电荷密度为，求空间的电位。图题2.18解：如图设置带电导线关于导体平面的镜像，设带电导线及其镜像都位于平面内，场点坐标为，则处的电位等于带电导线及其镜像的电位的叠加，有其中、分别为到带电导线及其镜像的距离，、分别为电位零点到带电导线及其镜像的距离，我们取中点为电位零点，就有。2.19如图，有一点电荷放置于相交成直角的两个接地半无限大导体平板前，求空间的电位。图题2.19解：如图建立起直角坐标，在此坐标系中，点电荷的位置为。镜像电荷共有三个，分别为、和。空间的电位分布为 2.20求半径为、带电量为的导体球的静电场能量。解：导体球的电场分布为因此有静电场能量静电场MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h习题22.1已知一带电细杆，杆长为,其线电荷密度,其中为常数，求杆上的总电荷量。解：杆上的总电荷量为2.2已知半径为的带电球体的电荷密度为，求球体内的总电荷量。解：球体内的总电荷量为2.3在一条直线上等距分布有四个点电荷，它们是否能处于静止平衡状态？如果能，它们的带电荷量应该满足什么条件？图题2.3解：如图，设点电荷之间的距离为，从左到右依次分布着、、和，根据库伦定律，可列出各点电荷的静电平衡条件化简得到此方程只有零解，说明这四个点电荷不能处于静止平衡状态。2.4如图所示，真空中有一边长为1的正六边形，六个顶点都放有点电荷，求六边形中心𝑂的场强大小。图题2.4解：如图，从最左侧的点电荷开始，顺时针给点电荷依次编号1到6，分别求出个点电荷在中心𝑂的场强为，，，从而得到总场强此题从对称性也易看出，中心的场强应该为0。2.5一半径为的带电球体，其电荷体密度分布为 其中为一常量．试求球体内外的场强分布。解：电荷分布具有球对称性，取一个半径为的高斯球面，根据静电场的高斯定理有，和，因此得到2.6已知真空中的静电场的表达式为，求在点处的电荷密度。解：静电场的旋度为0，因此有得到，即有根据静电场的高斯定理，得到电荷密度2.7边长为的立方盒子的六个面，分别平行于、和平面。盒子的一角在坐标原点处。在此区域有一静电场，场强为。试求穿过各面的电通量。图题2.7解：如图，在各面的电通量分别为2.8已知电场强度，求图中正立方体内的总电荷。图题2.8解：根据高斯定理，先求正方体表面的电通量，由于电场沿轴方向，所以只要计算左右侧面的通量，即有因此有正立方体内的总电荷为此题也可以先通过求电场的散度求得电荷密度，再在正方体内积分得到总电荷量。2.9在平行电容板中充满绝对介电常数分别为和的上下两层均匀介质，已知金属板上的自由电荷面密度为，求两层介质分界面上的极化电荷面密度。图题2.9解：容易从介质中的高斯定理求得上下两层介质中的电位移矢量从而有极化强度得到在介质分界面上的极化电荷面密度2.10有一内外半径分别为和的空心介质球壳，介质的电容率为，使介质内均匀带静止自由电荷，求（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。（1）此问题的电荷和电场分布具有球对称性，空间各点的电场沿径向分布。对于位于内、外球壳之间的场点，，取高斯面为半径为的球面，则由介质中的高斯定律有：即得到场点处的电位移矢量为：对应的电场强度矢量为：同理可以得到，对于位于内、外球壳之间的场点，，电场强度矢量为：对于位于球壳内空间的场点，，电场强度矢量为：，（2）在内、外球壳之间（）的体极化电荷密度为：在球壳内表面（）的面极化电荷密度为：在球壳外表面（）的面极化电荷密度为：2.11已知在空间静电场强度为。选原点𝑂为电位零点，求图中𝑃点的电位。图题2.11解：由静电场的无旋性得从而有2.12求半径为𝑎的均匀带电圆盘的电位。图题2.12解：设圆盘上的电荷面密度为，如图，由得到此积分在一般情形下要用数值求解。2.13如图有两块无限大金属导体平板，板间充满电荷，其体电荷密度为，其中为常数，板间距离为，上下极板电位均为0，求两极板之间的电位分布。图题2.13解：电位函数的泊松方程为其一维形式可写成：此微分方程的通解为：根据边界条件，可求得所以电位的解为：电场强度等于：2.14有一内外半径分别为和的空心导体球壳，内球壳电位为0，外球壳电位为，求球壳之间的电位。解：电位具有球对称性，，所以拉普拉斯方程成为方程的通解为又由边界条件解得从而得到2.15如图所示，证明当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，分界面两侧的电场满足折射关系：。图题2.15解：如图所示，将电场分解为切向分量和法向分量，则由电场的边值关系有得到又得到从而有2.16两块无限大接地导体平板分别置于和处，在两板之间的处有一块电位为的导体平板，求中间导体平板上的面电荷密度。图题2.16解：如图，设两侧空间的电位分别为和，则易求得从而得到中间导体平板上的面电荷密度2.17在均匀外电场中置入半径为的导体球，保持导体球的电位为0，试用分离变量法求空间的电位分布。图题2.17解：如图，设导体球外和球内的电位分别为和，满足拉普拉斯方程，利用分离变量法可求得在轴对称情形下其通解为由于导体球接地，所以有在时，趋向于均匀电场的电位，即有对比系数，从而得到在导体球面，由电位函数的边值关系有对比系数得，所以有2.18如图，沿轴方向的无限长均匀带电导线位于无限大接地导体平面上方，相距为，线电荷密度为，求空间的电位。图题2.18解：如图设置带电导线关于导体平面的镜像，设带电导线及其镜像都位于平面内，场点坐标为，则处的电位等于带电导线及其镜像的电位的叠加，有其中、分别为到带电导线及其镜像的距离，、分别为电位零点到带电导线及其镜像的距离，我们取中点为电位零点，就有。2.19如图，有一点电荷放置于相交成直角的两个接地半无限大导体平板前，求空间的电位。图题2.19解：如图建立起直角坐标，在此坐标系中，点电荷的位置为。镜像电荷共有三个，分别为、和。空间的电位分布为 2.20求半径为、带电量为的导体球的静电场能量。解：导体球的电场分布为因此有静电场能量恒定磁场MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h习题33.1半径为、带电量为的均匀带电圆盘绕中心轴以角速度旋转，求圆盘上的电流密度。图题3.1解：根据电流密度的定义即有3.2试根据电流连续性方程证明：在恒定条件下通过一个电流管任意两个截面的电流相等。图题3.2解：如图所示，截取一段电流管，在其表面就有在恒定条件下，电荷密度不变化，在电流管内有根据电流连续性方程即得3.3在如图所示，一条无限长导线在一处弯成半径为的半圆形，导线中的电流强度为，求圆心处的磁感应强度。图题3.3解：由毕奥-萨伐尔定律易知两侧的直导线在圆心处的磁感应强度为0，所以只需求半圆形导线的磁感应强度，有方向垂直向里。3.4如图，在宽为的无限长平面导体薄板流有均匀分布的电流，已知空间中的点到平面距离为，它在板上的投影位于板的中线上，求点的磁感应强度。图题3.4解：如图，将面电流分割为窄条电流，面电流在点产生的磁场可求得3.5半径为、带电量为的均匀带电球体绕直径为角速度旋转，求旋转轴上的磁感应强度。图题3.5解：半径为、电流强度为的圆环电流，在其中心轴上、距圆环中心处的场点处产生的磁感应强度为如图所示，旋转的均匀带电球体在距球心为的场点处产生的磁感应强度为3.6两平行无限长直线电流和，间距为，求每根导线单位长度上受到的安培力。解：直线电流之间的安培力的大小为其中和分别为在处和在处产生的磁感应强度。安培力的方向当两电流同向时是相互吸引的，当两电流反向时是相互排斥的。3.7如图所示，载有电流的长直导线旁有一个边长为、载有电流的正三角形线圈，已知直导线和线圈都在同一平面，线圈的一条边与导线平行，中心到导线距离为，求线圈所受的安培力。图题3.7解：如图，线圈所受的安培力为3.8如图，同轴电缆的内、外筒半径分别为和，内外筒上流有等值反向的电流。设外筒的厚度可以忽略，内筒的横截面上电流是均匀分布的，求空间的磁感应强度。图题3.8解：由安培环路定理，容易求得，当场点位于内筒之内，即时，当场点位于内筒与外筒之间，即时，当场点位于外筒之外，即时，3.9通有均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面尺寸如图所示。试求空间各区域的磁感应强度。图题3.9解：设图示长圆柱导体的电流为垂直往里，则空间的磁场可以视作是一个半径为、电流垂直往里的圆柱电流和一个半径为、电流垂直往外的电流的圆柱电流所产生磁场的叠加，即有当场点位于空腔内时其中为垂直往外的单位矢量。可以看到，在空腔内为一个匀强磁场。当场点位于空腔外、圆柱导体内时其中为场点到的距离。当场点位于圆柱导体外时其中为场点到的距离。在上面的各表达式中，都有3.10两块无限大导体平板平行放置，板间的距离为，两块板上都载有电流密度为的反向均匀电流，在板间填充有相对磁导率为的均匀磁介质，求磁化电流分布。图题3.10解：如图所示，由于磁介质为均匀磁化，在其中没有体磁化电流分布，面磁化电流分布在两导体平板的内侧，利用介质中的安培环路定理可求得介质内的磁场强度大小所以磁感应强度大小在导体平板的总电流密度为所以，在导体平板内侧的磁化电流密度的大小为方向如图所示。3.11一无限长直螺线管，单位长度上的匝数为，螺线管内充满相对磁导率为的均匀磁介质。今在导线圈内通以电流，求磁化电流分布。图题3.11（左：横截面；右：侧视图）解：如图所示，在磁介质内为均匀磁化，体磁化电流为零，面磁化电流分布在螺线管内侧，利用介质中的安培环路定理可求得介质内的磁场强度大小所以磁感应强度大小在螺线管壁的总电流密度为所以，在螺线管壁的磁化电流密度的大小为方向如图所示。3.12求载有电流的无限长直导线的磁矢位，并通过磁矢位求出磁感应强度。图题3.12解：如图所示建立起坐标系，利用磁矢位的计算公式可得该积分是发散的，为此，需附加一个常数，令处的磁矢位为0，即，可得到所以有进而求得磁感应强度3.13如图，两根平行且载有等值反向电流的无限长直导线构成双线输电线，试通过磁矢位求出该系统的磁感应强度。图题3.13解：如图所示，两根无限长直导线的磁矢位等于各自磁矢位之和，有磁感应强度即为3.14求无限大均匀载流导体平板的磁矢位，并通过磁矢位求出磁感应强度。图题3.14解：如图所示，载流平板的磁矢位可以视作为无限窄条线电流磁矢位的叠加，有所以有磁感应强度3.15如图所示，证明在两种绝缘介质的分界面上，分界面两侧的磁场满足折射关系： 其中，其中和分别为两种介质的磁导率，和分别为界面两侧磁场与法线的夹角。图题3.15解：如图所示，将磁场分解为切向分量和法向分量，则由磁场的边值关系有得到又得到从而有3.16证明：磁导率的磁性介质表面为等磁标位面。图题3.16解：由磁场的边值关系和本构关系可得两式相除有当时，，即说明磁场与表面垂直，该磁性物质表面为等磁标位面。3.17将一磁导率为、半径为的球体放入均匀磁场中，求总磁感应强度。解：如图，用磁标位求解，设球外和球内的磁标位分别为和，由于空间没有自由电流，所以和都满足拉普拉斯方程，利用分离变量法可求得在轴对称情形下其通解为在时，趋向于均匀磁场的磁标位，即有对比系数，从而得到在时，应为有限值，所以在介质球面，，由边值关系有，从而得到对比的系数有，，从而解得，所以有3.18求题3.8中的同轴电缆储存的磁场能量。解：已知空间的磁感应强度分布为所以单位长度储存的磁场能量为时变电磁场习题44.1如图，一长直导线载有交变电流，旁边放置有一个矩形线圈，线圈和导线在同一平面内，求线圈中的感应电动势。图题4.1解：根据法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势为4.2如图，双线输电线与一矩形回路共面，已知直导线上的电流为，求矩形回路中的感应电动势。图题4.2解：根据法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势为4.3闭合线圈共有匝，电阻为。试证明：当通过此线圈的磁通量改变时，线圈内流过的电荷量为。解：在时刻，线圈中的感应电动势为流经其中的电流从而有两端积分，即得4.4在一个平行电容板间充满相对电容率为的介质，已知电场强度，求位移电流密度。解：位移电流密度4.5在无源的自由空间中，已知磁场强度，求位移电流密度。解：由全电流定律有位移电流密度4.6一圆形极板的平行板电容器，极板的面积为，两极板之间的距离为，极板间充满电容率为、电导率为的介质，两极板外接一交变电压。求：（1）两极板间的传导电流强度；（2）两极板间的位移电流强度。解：（1）两极板间的传导电流强度大小为（2）两极板间的位移电流强度大小为4.7如图所示为两个绝缘介质的分界面，已知在介质1中的电场强度为在介质2中的电场强度为（1）求两介质中的磁场强度和；（2）求在边界面两侧的电场和磁场满足边值关系的条件。图题4.7解：（1）由得到积分得到（2）在分界面两侧，，有且要有即得满足边值关系的条件为从上述方程组中可解得4.8如图所示，已知两块无限大导体平板之间的电场强度为求板间的磁场强度。图题4.8解：积分即得4.9如图所示，已知同轴电缆的内、外半径分别为和，若内、外导体间的电场强度为求其中的磁场强度。图题4.9解：使用柱坐标系求解，设中心轴为轴，即有积分得4.10已知真空中时变电磁场的矢量位和标量位，求：（1）若，说明满足库仑规范还是洛伦兹规范？（2）磁感应强度；（3）电场强度；（4）位移电流。（5）坡印廷矢量。解：（1）由于所以满足库仑规范而不是洛仑兹规范。（2）磁感应强度（3）电场强度（4）位移电流（5）坡印廷矢量4.11已知均匀绝缘介质中电磁场的矢量位为，求：（1）标量位；（2）电场强度；（3）磁场强度。解：（1）在均匀绝缘介质中，矢量位和标量位要满足将代入上两式，得到所以可取（2）电场强度（3）磁场强度4.12如图所示，已知自由空间中传播的电磁波的电场和磁场分别为求：（1）坡印廷矢量；（2）在某一时刻流入如图所示的长方体中的净功率。图题4.12解：（1）坡印廷矢量（2）在某一时刻流入图示的长方体中的净功率为4.13在球坐标系中，已知电磁场为求通过以坐标原点为球心、为半径的球面的功率。解：先求出坡印廷矢量通过以坐标原点为球心、为半径的球面的功率等于4.14已知均匀平面波电场的复矢量形式：，试写出它的瞬时表达式。解：电场的瞬时表达式为4.15在横截面为的矩形金属波导中，模的电磁场的复矢量为：其中、、和都是实常数。求：（1）电磁场的瞬时表达式；（2）坡印廷矢量。（1）电场的瞬时表达式磁场的瞬时表达式（2）坡印廷矢量平面电磁波MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h习题55.1介质中沿方向传播的均匀平面波电场强度为，求：（1）相对电容率，（2）传播速度，（3）本征阻抗，（4）波长，（5）磁场强度，（6）波的平均功率密度。解：（1）由得相对电容率（2）传播速度（3）本征阻抗为（4）波长（5）磁场强度（6）波的平均功率密度5.2频率为的时谐均匀平面波在各向同性的均匀、理想介质中沿轴方向传播，其介质特性参数分别为。设电场取向与和轴的正方向都成角，而且当时，电场的大小等于其振幅值，即。求：电场强度和磁场强度的表达式。解：题中电磁波的角频率为相位常数所以，根据题意，电场强度的表达式可写成将，代入，有得到所以本征阻抗磁场强度的表达式5.3已知非磁性理想介质中均匀平面波的电场强度矢量为试求该电磁波的频率，波长，波矢量，磁场强度矢量，能量密度的平均值和能流密度的平均值以及介质的相对介电常数。解：由于对于均匀平面波有所以得频率波矢量波长介质的相对介电常数能量密度的平均值能流密度的平均值5.4已知无界理想媒质中，正弦均匀平面电磁波的频率，电场强度。试求：（1）均匀平面电磁波的相速度、波长、相移常数和波阻抗；（2）电场强度和磁场强度的瞬时值表达式；（3）与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。解：（1）角频率相位常数相速度波长波阻抗（2）电场强度的瞬时值表达式磁场强度的复数表达式磁场强度的瞬时值表达式（3）5.5已知自由空间中均匀平面电磁波的电场：，求：（1）电磁波的频率、速度、波长、相位常数以及传播方向。（2）该电磁波的磁场表达式。（3）该电磁波的坡印廷矢量和坡印廷矢量的平均值。解：（1）电磁波的频率速度波长相位常数传播方向为方向。（2）本征阻抗磁场表达式为（3）坡印廷矢量坡印廷矢量的平均值5.6自由空间中一均匀平面波的磁场强度为求：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）电场强度；（4）瞬时坡印廷矢量。解：（1）波的传播方向为方向；（2）波长频率（3）本征阻抗电场强度（4）瞬时坡印廷矢量为5.7自由空间中均匀平面波的电场强度表达式如下试分析：（1）波的传播方向、相速度和波阻抗；（2）波长；（3）频率；（4）磁场强度；（5）平均坡印廷矢量。解：（1）波的传播方向为方向；相速度波阻抗（2）波长（3）频率（4）磁场强度（5）平均坡印廷矢量5.8频率为的均匀平面波在潮湿的土壤（）中传播。试计算：（1）传播常数；（2）相速度；（3）波长；（4）波阻抗；（5）功率密度衰减90%所对应的传输距离。解：（1）角频率为传播常数（2）相位因子相速度（3）波长（4）波阻抗（5）功率密度衰减90%时，有从而解得5.9已知土壤的电导率为10-3S/m，相对介电常数为5，海水的电导率为4S/m，相对介电常数为80，它们都是非磁性媒质。有以均匀平面电磁波在空气中传播时，其波长为300m。试分别计算：电磁波进入土壤和海水后的（1）相速、（2）波长、（3）能量衰减一半的传播距离。解：电磁波的频率角频率为该电磁波进入土壤后，传播常数相速为波长能量衰减一半的传播距离为该电磁波进入海水后，传播常数相速为波长能量衰减一半的传播距离为5.10频率为50MHz的均匀平面波在媒质（）中传播，垂直入射到另一媒质（）表面。若分界面处入射电场强度的振幅为10V/m，求透射波的平均功率密度。解：角频率为在媒质1中的波阻抗等于在媒质2中的波阻抗等于所以有透射系数设入射波电场为则透射波电场为透射波磁场为透射波的平均功率密度5.11电场强度为的均匀平面波由空气垂直入射到与玻璃介质板的交界面上（z=0）。其中，c为光速，玻璃介质板的电磁参数为。试求反射波和折射波的电场强度表达式。解：在空气中的波阻抗等于在玻璃介质中的波阻抗等于透射系数等于反射系数等于所以反射波的电场表达式为又所以所以透射波的电场表达式为5.12均匀平面波由空气垂直入射到介电常数为的理想介质中，假设空气与介质的分界面为无限大平面并在直角坐标系面内。若入射的电场强度方程为，平均功率密度为10W·m-2，求：（1）反射系数及反射波平均功率密度；（2）透射系数及透射波平均功率密度；（3）边界上磁场强度的表达式；（4）媒质2满足什么样的条件时，电磁波不发生反射。解：（1）在空气中的波阻抗等于在理想介质中的波阻抗等于反射系数为反射波平均功率密度等于（2）透射系数等于透射波平均功率密度（3）媒质分界面上的磁场强度表达式可通过透射波磁场方程在处的取值来求，则上式为复数形式，其时域形式为（4）由反射系数式可知:如果媒质2的本征阻抗与媒质1的本征阻抗相等，则在分界面上实现完美的阻抗匹配，入射的电磁波不会发生反射。在本例中，需要媒质2的本征阻抗等于空气的本征阻抗，即要求一般的介质材料无法满足上式的要求，只有一些铁磁性材料才可以做到。5.13自由空间传播的均匀平面波电场强度已知为。它以与分界面法线30°的角度入射到介质（）上。求（1）波的频率，（2）两种媒质中的电场表达式以及（3）介质中波的平均功率密度。设介质磁导率与自由空间相同。图题5.13解：（1）如图所示，入射电磁波的波矢量为所以有媒质1中的相位常数波的角频率频率（2）在媒质1中的波阻抗等于在理想介质中的波阻抗等于反射波的波矢量媒质2中的相位常数透射角透射波的波矢量为反射系数为透射系数为已知入射波的电场即得反射波的电场透射波的电场媒质1中的电场媒质2中的电场（3）介质中波的平均功率密度5.14简谐变化的均匀平面波由空气入射到z=0处的理想导体平面上。已知入射波电场的表达式为。求：（1）入射角；（2）频率f及波长λ；（3）反射波电场的复数形式；（4）合成波电场的表达式。图题5.14解：（1）如图所示，入射角（2）入射电磁波的波矢量为所以有媒质1中的相位常数波的角频率频率波长（3）在理想导体表面，反射系数，所以有反射波电场的复数形式（4）合成波电场的表达式其瞬时形式为5.15光纤一般由纤芯、包层和涂覆层构成，其中纤芯、包层起到导波的作用，涂覆层起到保护光纤、避免受到外界的侵蚀及其他损伤作用。如下图所示，图题5.15图中未画出包层外面的涂覆层。若纤芯的折射率为n1，包层的折射率为n2，如果选取二者材料的折射率满足n1>n2，则以某一角度从光纤端部的入射光，在纤芯中的折射光将以全反射的形式在其内部传播。对应折射光的临界角θc，入射光的入射角θi达到最大值θmax。如果入射角大于θmax，则入射光在纤芯和包层的分界面上有透射光，从而不能很好地导波。一般称θmax为光纤端面入射临界角（或称入射临界角）。根据上述已知条件，求入射临界角的大小。解：如图所示，要使纤芯中的折射光在纤芯和包层的分界面上全反射，就要有从而有即两边平方利用折射定律有得到所以所以5.16空气中有一均匀平面电磁波的电场强度矢量为，在入射面上入射到的半无限大介质平面上，其相对介电常数和磁导率分别为和。试求空气中的反射波和介质中折射波的电场强度和磁场强度的复矢量式和瞬间值式。解：入射波的波矢量为在媒质1（空气）中的相位常数在媒质2中的相位常数入射角等于折射角等于从而得到折射波的波矢量在媒质1（空气）中的波阻抗等于在理想介质中的波阻抗等于反射系数等于透射系数等于所以有反射波的电场折射波的电场5.17如下图所示，用二维介质波导作为传输线来传输电磁能量。图题5.17如果要求电磁波以任意角入射到介质线的一端面时，透入介质中的电磁波能量全部传输到另一端。试求介质线相对介电常数的最小值。解：由题5.15可知在端面上的入射临界角为当即时，电磁波能以任意角入射，即求得介质线相对介电常数或5.18已知一个向正轴方向上传播的平面电磁波在空间某点的表达式为：，在的平面上，电场强度的分量分别为：，，若此波为圆极化波，求和的值，并判断该电磁波是左旋还是右旋圆极化波。解：由于是圆极化波，所以有，为常数代入和表达式，得两端对时间求导，得到要使上式恒成立，就有解出或容易判断，对于前一组解，为右旋圆极化波；对于后一组解，为左旋圆极化波。5.19指出下列各均匀平面波的极化方式：（1）（2）（3）（4）解：（1）由于所以为椭圆极化波。（2）由于所以且为圆极化波。（3）由于所以且为椭圆极化波。（4）由可知所以由所给复振幅有，，为线极化波。5.20证明：任意线性极化波可以分解为两个振幅相等，旋向相反的圆极化波的叠加。证明：设电磁波沿轴正向传播，设线性极化波的电场沿轴方向，则其电场可表示为假设其可以分解为两个振幅相等，旋向相反的圆极化波的叠加，则有要使此式成立，解得，得证。导行电磁波MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h习题66.1空心矩形波导a=5cm，b=2cm，工作频率20GHz。求：（1）TM21模的截止频率并决定它是否为衰减模式。若不是，决定其相位常数、相速、群速及传播波长。（2）TM21模的波阻抗。（3）若波导中外加电场幅值为500V/m，求波导所传送的平均功率。试决定波导中最低次的TM11模的截止频率、电场和磁场分布、相位常数、特征阻抗及平均功率流。解：（1）TM21模的截止频率为所以有不是衰减模式。相位常数相速度群速度传播波长（2）TM21模的波阻抗等于（3）波导所传送的平均功率为最低次的TM11模的截止频率电场和磁场的分量表达式为其中，截止波数相位常数且有特征阻抗平均功率流6.2空心矩形波导a=5cm，b=2cm，工作频率1GHz。（1）证明在这一频率下TM21模不能传播（为衰减模）。（2）决定使电场的z分量衰减到它在z=0处的幅值的0.5%所需的距离。设在z=0处电场z分量的幅值为1KV/m。解：（1）TM21模的截止频率为所以有是衰减模式。（2）相位常数电场的z分量衰减到它在z=0处的幅值的0.5%所需的距离为6.3b=1cm的空心波导TE10模的相位常数是102.65rad/m。若波导工作频率为12GHz，且只有TE10模传播，计算波导尺寸a。解：根据题目，波导工作频率角频率由即可解得6.4波导管壁由黄铜制成，其尺寸为a=1.5cm，b=0.6cm，电导率σ=1.57×107S/m，填充介电常数εr=2.25，磁导率μr=1.0的聚乙烯介质。设频率为10GHz的TE10模在矩形波导中传播，试求TE10模的如下参数：（1）波导波长；（2）相速度； （3）相移常数；（4）波阻抗；（5）波导壁的衰减常数。解：电磁波的频率为角频率相位常数（相移常数）波导波长相速度波阻抗波导壁的衰减常数为其中，，所以6.5无限长矩形波导的截面尺寸为a×b，其中的z>0段为空气，z≤0段为εr=4.0，μr=1.0的理想介质。频率为f的电磁波沿z方向单模传输，求仅考虑主模时z≤0区域的驻波比。解：矩形波导的主模为模，波阻抗为在空气中，有在介质中，有对于段波导的波阻抗为对于段波导的波阻抗为因此，界面的反射系数为故段波导的驻波比为6.6在尺寸为a×b=22.86mm×10.16mm矩形波导中，传输TE10波，工作频率为10GHz。请回答以下几个问题：（1）求截止波长、截止频率、波导波长和波阻抗；（2）若波导的宽边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能传输什么模式？（3）若波导的窄边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能传输什么模式？解：（1）工作频率角频率截止波数截止波长截止频率相位常数波导波长波阻抗（2）若波导的宽边尺寸增大一倍，截止波长、截止频率、波导波长和波阻抗分别为满足条件即的模式有TE10、TE20、TE30。（3）若波导的窄边尺寸增大一倍，截止波长、截止频率、波导波长和波阻抗分别为满足条件即的模式有TE01、TE10、TE11、TM11。6.7已知空气填充的铜质波导尺寸为7.2cm×3.4cm，工作于主模，工作频率为f=3GHz。如果波导壁引起的衰减常数为求当场强振幅衰减一半时的距离。解：对于铜质波导，波导壁表面电阻，则设场强衰减一半的距离为，则由可求得。6.8空心矩阵波导尺寸为a=3cm，b=1cm，假如空气击穿强度为30KV/cm，当工作频率为7GHz时，计算传输TE10波时的最大功率（为了能安全传输TE10模，通常应给空气击穿强度乘以安全系数，这里选安全系数为0.1）。解：工作波长为的电场分量为令，则空气介质能被击穿的模的最大功率为为了能安全传输模，如果取安全系数为0.1，则可令最大电场振幅为由此可得能安全传输模的最大功率为6.9一矩形波导的宽边为a=8cm，窄边为b=4cm，当工作频率f=3GHz时波导中可传输哪些波形？当工作频率为5GHz时波导中又可传输哪些波形？解：要使电磁波能够传输，需满足，即代入题目所给条件，上述不等式可写成满足条件的模式只有TE10。当工作频率为5GHz时，有满足条件的模式有TE01、TE10、TE11、TE20和TM11。6.10已知空气填充的圆形波导直径为d=50mm，如果工作频率为f=6.725GHz，给出该波导可能传输的模式；如果填充相对介电常数εr=4的理想介质以后，那么可能传输的模式有哪些？解：当圆形波导内为空气时，工作波长为已知TM波的截止波长为，因此能够传输的模式对应的第一类贝塞尔函数的根必须满足，即有满足这个条件的只有，因此只有模可以传输。TE波的截止波长为，那么能够传输的模式对应的第一类贝塞尔函数的导数的根必须满足，即有满足这个条件的只有和，因此只有和波可以传输。填充介电常数为的理想介质以后，工作波长变为，那么能够传输TM模对应的第一类贝塞尔函数的根必须满足，即，得满足这一条件的模式有TM01模、TM02模、TM11模、TM12模和TM21模。能够传输的TE模对应的第一类贝塞尔函数的导数的根必须满足，得满足这一条件的模式有TE01模、TE02模、TE11模、TE12模、TE21模和TE22模。6.11有一方圆过渡波导如下图所示，矩形波导尺寸为7.2cm×3.4cm工作波的长度为10cm，波导中的介质为空气，圆形波导直径与矩形波导对角线相等，从矩形波导向圆形波导方向传播TE10波。试比较电磁波从矩形波导进入圆形波导后，介质波长和波导波长的变化。如果TE11波自圆形波导向矩形波导传播，情况会怎样？解：在矩形波导中圆形波导直径为电磁波从矩形波导传到圆形波导中变为TE11波，此时有可见当TE10波进入圆形波导变为TE11波后，截止波长变短了，波导波长变长了，因此有些能在矩形波导中传播的较低频率电磁波不能进入圆形波导中传播；反过来TE11波从圆形波导方向传来时则无此现象发生，但要注意必须使电场强度的方向要垂直于矩形波导的宽边。如果电场强度方向垂直于矩形波导的窄边，那么就相当于矩形波导的边变成了边，变成，则电磁波不能通过该波导。6.12加在100m长平板无损耗传输线的电压为v(t)=100cos(105t)V，板间距离为2mm，每板的宽度为10mm。若电介质的相对电容率和相对磁导率分别为4和1，求每板上面电荷密度和面电流密度的瞬时值（时域）表示式。解：假定在任意给定时间时，平板传输线的下板相对于上板为正，则在处两板间的电场强度为媒质的相位常数和本征阻抗为和传输线上任意点的电场强度为从而可求出下板的面电荷密度为下板的面电流密度为6.13一条500m长的无损耗传输线，其分布参数值为Ll=2.6μH/m和Cl=28.7pF/m，感性负载阻抗为（75+j150）Ω。外施电源电压VG的有效值为120V，其内阻抗ZG为（1+j90）Ω。试求工作频率为10KHz时（1）输入端的电压和电流；（2）负载的电压和电流；（3）输入传输线的功率；（4）发送给负载的功率。并求出前向行波和反射波的电压和电流表达式。解：用传输线的分布参数，求得特性阻抗、传播常数和相位常数为如所预期，无损耗传输线的特性阻抗为纯电阻而传播常数为纯虚数。相速度和波长可求得为经常，波在传输线上的相速也可用光速的百分数表示。此处，相速是光速的38.6%。也可以用波长表示传输线的长度。这里，线的长度是。计算负载的反射系数得乘积将在下面需要，所以计算它，得注意是前向波和反射波经过500m长的传输线后产生的相位差。计算输入端的反射系数得在的输入阻抗为应用分压法则，求得传输线的输入电压传输线输入端的相应电流为输入传输线的功率可以计算得为了计算接收端的电压和电流，首先计算得从而求得负载端的电压相应的负载电流为最后，发送给负载的功率是因为传输线是无损耗的，在线上没有功率损耗。发送端输入线路的功率全部送给接收端的负载。由于和已知，便能求得进而得到于是，前向波的电压和电流以它们的有效值表示成相量形式为在时域中则有注意在时域中的表达式总是要用幅值。类似地，后向波的电压和电流以它们的有效值表示成相量形式为在时域中则有6.14如下图所示，AB和BC是两段参数不同的无耗均匀传输线。已知Zc1=50Ω，λ1=5cm，l1=0.625cm，Zc2=100Ω，λ2=10cm，l2=1.25cm。在传输线的终端接有负载ZL=50Ω，连接处的并联导纳为。试求A点的等效阻抗。解：对AB和BC段分别求解。设在B点并联前的等效阻抗为，则当并联后，B点的等效导纳为因此。B点的等效阻抗为故A点的等效阻抗为6.15截面尺寸为a×b=22.86mm×10.16mm的矩形波导，传输频率为10GHz的H10波，在某横截面上放一导体板，试问在何处再放导体板，才能构成振荡模式为H101模的矩形谐振腔；若其包括导体板在内的其他条件不变，只是改变工作频率，则腔体中有无其他振荡模式存在？若将腔长加大一倍，工作频率不变，此时腔中的振荡模式是什么？谐振波长有无变化？解：矩形波导的波导波长为由于第二块导体板应放在相邻的波节处，故两板间的距离为由矩形波导谐振腔的谐振波长：可见，若、、的尺寸不变，频率改变，则谐振波长随之改变，因而、、不同，谐振腔是多谐的，故有可能存在其他许多谐振模式。若腔长增加一倍，设，则由此可见，振荡模式变为H102，谐振波长不变。6.16一条100m长无损耗传输线，其分布电感为296nH/m，分布电容为46.2pF/m，工作于无负载状态。在传输线输入端接有电压源输送功率。电压源的开路电压为vs(t)=100cos(106t)V，其内阻抗可以忽略。计算：（1）线路的特性阻抗和相位常数；（2）接收端的电压和电源供给的电流；（3）电源送出的功率。解：（1）特性阻抗为相位常数为（2）由这矩阵方程，我们首先求出电源输出的电流为接收端的电压为注意,接收端的电压高于发送端的电压。这是当无负载时，传输线的电容引起的。（3）发送端的复功率为因而在发送端的平均功率等于零。无功功率。电磁波的辐射与接收MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h习题77.1简述天线的功能。解：从信息传递的角度看，天线的功能主要有：（1）完成射频电流与空间电磁波之间的能量转换，因此天线本质上是一种能量转换装置。（2）实现对电磁波能量的集中，即天线具有方向性。（3）具有极化特性。天线只能发射和接收预定极化的电磁波。7.2天线的特性参数有哪些？分别是怎样定义的?解：描述和设计天线的特性参数有：方向性及方向图、增益和效率、前后比和轴比、输入阻抗、有效长度、极化方式、频带宽度等。定义分别如下：（1）方向性及方向图。天线在有的方向辐射或接收较强，而在有的方向辐射或接收较弱甚至为零，天线的方向性描述了天线向一定方向辐射电磁波的能力。方向图用于表示天线在各个方向辐射（或接收）场强的相对大小。以天线的中心为原点，向各方向作射线，在距离天线同样距离但不同方向上测量辐射（或接收）电磁波的场强，使各方向的射线长度与场强成正比，即得天线的三维空间方向分布图。（2）增益和效率。天线效率定义为天线辐射功率与输入到天线的总功率之比。天线的增益又称增益系数，它定义为在输入功率相等的条件下，天线在最大辐射方向上某点的功率密度和理想的无方向性天线在同一点处的功率密度（或场强振幅的平方值）之比。（3）输入阻抗。天线输入阻抗是指加在天线输入端的高频电压与输入端电流之比。（4）极化方式。天线向周围空间辐射的电磁波由交变的电场和磁场构成，电磁波的极化是指在垂直于传播方向的波阵面上，电场强度矢量端点随时间变化形成的轨迹。如果轨迹为直线，则称为线极化波；如果轨迹为圆形或者椭圆形，则称为圆极化波或者椭圆极化波。（5）频带宽度。天线的带宽定义为天线增益偏离中心频率两侧下降3dB时的频率范围，或在规定的驻波比下信号的工作频率范围。7.3按极化方式划分，天线有哪几种？解：根据天线的极化特性分，有线极化（包括垂直极化和水平极化）天线、圆极化天线和椭圆极化天线。7.4从接收角度讲，对天线的方向性有哪些要求？解：从接收的角度讲，要保证正常接收，必须使信号功率与噪声功率的比值（信噪比）达到一定的数值。为此，对接收天线的方向性有以下要求：（1）主瓣宽度尽可能窄，以抑制干扰。（2）副瓣电平尽可能低。（3）天线方向图中最好能有一个或多个可控制的零点，以便将零点对准干扰方向，而且当干扰方向变化时，零点方向也随之改变。7.5设某天线的方向图如图题7.5所示，试求主瓣零功率波瓣宽度、半功率波瓣宽度和第一旁瓣电平。图题7.5天线方向图解：由图可知，主瓣零功率点分别为和，所以主瓣零功率波瓣宽度半功率点分别为和，所以半功率波瓣宽度第一旁瓣电平7.6长度为、沿轴放置的短振子，中心馈电，其电流分布为式中，。试求短振子的如下参数：(1)辐射电阻；(2)方向系数；(3)有效长度（归于输入电流）。解：（1）由于短振子的辐射场为则辐射功率同时考虑到则短振子的辐射电阻为（2）方向系数为（3）归于输入电流的有效长度为7.7有一个位于平面的很细的矩形小环，环的中心与坐标原点重合，环的两边尺寸分别为和，并分别与轴和轴平行，环上电流为。假设、，试求小环的辐射场及两主平面的方向图。图题7.7解：如图，设矩阵小环沿轴方向的两个边产生的矢量磁位为，则有其中因为，，所以则有同理，沿轴方向的两个边产生的矢量磁位为所以其中辐射场为7.8有一长度为的电基本振子，电流载有振幅为、沿轴正方向的时谐电流，试求其方向性函数，并画出在面、面和面的方向图。图题7.8解：电基本振子如图放置，其上电流