2016-2020五年高考真题分类汇编理科第8讲导数的综合应用

专题三导数及其应用

第八讲导数的综合应用

2020年

1.(2020•全国1卷)已知函数/(x)=e'+av2-x.

(1)当8=1时，讨论f[x)的单调性；

(2)当/0时，〃*)Ng2+1,求a的取值范围.

【答案】(1)当工«-oo,0)时，/(x)<0J(x)单调递减，当工«0,内)时J")>OJ(x)单调递增.

【解析】Q)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.

(2)首先讨论m0的情况,然后分离参数，构造新函数,结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定

实数a的取值范围.

【详解】Q)当。=1时，/(')=-+/-X，f(x)=ex+2x-l.

由于/(x)="+2>0,故/(x)单调递增,注意到广(0)=0,故:

当X£(YO,0)时，r(x)vQ/(x)单调递减，当x«0，T8)时，/'(x)>0J(x)单调递增.

(2)由“RNJV+I得，ex+ax2-x..^-x3+1,其中xNO,

①.当40时，不等式为：1N1,显然成立，符合题意；

ex-----r3—r—1

②.当.00时，分离参数a得，〃2

CI...---------------2----------

X

(x-2)fex--x2-x-1

、ex-^-x3-x-\"——'-------

%(上一—5—

^/?(x)=eA--x2-x-l(x>0)，贝=e'—x-l,/zff(x)=^v-1>0,

2

故力⑺单调递增,"(x)之"(0)=0,故函数网“单调递增，/2(力之〃(0)=0,

由〃(工)之0可得：，—gf-x—10恒成立，故当x«o,2)时，>0,g(x)单调递增；

当x«2,”)时，g«x)<0,83单调递减；因此，根(切2=8(2)=^^，

[7-e2)

综上可得，实数3的取值范围是——,-HX).

L4)

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值:最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数

的应用的考查主要从以下几个角度进行：Q)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)

利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决

生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.

2.(2020•全国2卷)已知因数>(A)=sin2Asin2x

(1)讨论4M在区间(0,用的单调性；

(2)证明：|〃幻区挛；

O

3〃

(3)设,证明：sin2Asin22Asin24x..sin22nx<—.

4〃

【答案】(1)当«0号)时，/(x)>0"(x)单调递增，当口怎哥时，尸(力<0"(6单调递

减,当时，尸(耳>0,/(同单调递增.(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数

的单调性即可；

(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的

不等式；

(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得

2

/«=[sinx(sin2xsin2x)(sin22^sin4x)---(sin22M-Ixsin2wx)sin22"x]*，然后结合⑵的结论和二角

函数的有界性进行放缩即可证得题中的槽式.

【详解】Q）由函数的解析式可得：/（x）=2sin3xcosx,则：

/*(%)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2x(3cos2x-sin2x)

=2sin2x(4cos2x-1]=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-l),

y，当40微）时/x）＞OJ（x）单调递增,

尸（x）=0在x«0,万）上的根为：玉=9，工2

/0、

当X*M个时，/'（x）vOj（x）单调递减，当xw时，/（x）＞OJ（x）单调递增

IJ5）

出注意到了（工+4）=5[!12（工+万向11[2（冗+4）]=5皿2xsin2x=/（X）,

故函数/（X）是周期为"的函数,结合（1）的结论，计算可得：/（0）=/（乃）=0,

母用X湃*僧卜闺+卦-*

据此可得:卜（切a=¥，[〃切」¥,叩（小哈

（3）结合（2）的结论有:

2

sin2Asin22xsin24x---sin22"x=[sin3xsin32xsin34x---sin32"xp

2

=^sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)-(sin22n-,xsin2nxjsin22nx]5

Jie也x^x

88

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值i最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数

的应用的考杳主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）

利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决

生活中的优化问题.（4）考直数形结合思想的应用.

3.（2020•全国3卷）设函数/⑴=V+瓜+c,曲线y=fM在点（1,））处的切线与y轴垂直.

（1）求仇

(2)若/(幻有一个绝对值不大于1的零点,证明：Ax)所有零点的绝对值都不大于1.

3

【答案】(1)力二一:；(2)证明见解析

4

,1

【解析】(1)利用导数的几何意义得到/(])=0,解方程即可；

(2)由(1)可得/(x)=3f一]=2(/+：)(工一:)，易知/⑴在(_；,；)上单调递减，在(-co,，

(:，”)上单调递增，n/(-l)=C-j,/(-l)=C+l/(l)=C-^/(I)=C+1,采用反证法，推出

2424244

矛盾即可.

1/1\2

【详解】(1)因为fW=3V+b,由题意，/(-)=0，即3x-+b=0

2\2>

3

则6=一=;

4

33II

(2)由(1)可得/(0=丁_]工+。，/'(x)=3X2--=3(X+-)(x--),

令/(x)>0,得或工<一；；令/(x)<0,得一,

所以/(X)在(一总上单调递减，在(--》，(；收)上单调递增，

且/(T)=c_]/(一:)=c+]/(：)=c_]/Xl)=c+：,

若/(工)所有零点中存在一个绝对值大于1零点/,则/(-1)>0或/⑴<0,

即(、>!或CY」.

当时，/(-l)=c-l>0,/(-l)=c+l>0,/(1)=c-l>0,/(l)=c+l>0,

又/(-4c)=-64c3+3c+c=4c(l-16c2)<0,

由零点存在性定理知/(x)在(-4c，T)上存在唯——个零点%,

即/㈤在(YO,-1)上存在唯一一个零点，在(-1,一)上不存在零点,

此时/“)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

当c<一：时，/(-I)=^--<0,/(--)=<?+—<0,/(―)=(?--<0,/(I)=—<0,

4424244

又/(-4。)=64。3+3。+。=4。(1-16。2)>0,

由零点存在性定理知/(x)在(1，-4c)上存在唯——个零点与',

即/(1)在(1,"0)上存在唯一个零点，在(—,1)上不存在零点，

此时，(X)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

综上，/(X)所有零点的绝对值都不大于1.

【点晴】本题主要考杳利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能

力，是一道有一定难度的题.

4.(2020•江苏卷)已知关于x的函数y=/(x),y=g(x)与〃(x)=H+b(hb£R)在区间。上恒有

f(x)>h(x)>g(x).

(1)若〃%)=』+2x,g(x)=-X2+2X,0=(-oo，+8),求/切的表达式；

2

(2)若/(1)=x-x+Ug(x)=k\nxth(x)=kx-k,D=(0,+oo),求Z的取值范围；

(3)若八力=丁―2Zg(x)=4X2-8,h(x)=4(Z2-/)X-3/4+2/2(O<|/|^),D=[〃仁卜也,&],求

证：n-m<yjl.

【答案】(1)h(x)=2x；(2)丘[0,3];(3)证明详见解析

【解析】(1)求得/(M与g(x)的公共点,并求得过该点的公切线方程，由此求得〃(戈)的表达式.

(2)先由/z(x)-g(力NO,求得女的一个取值范围，再由/(%)-〃(»之0,求得〃的另一个取值范围，

从而求得k的取值范围.

(3)先由/(对之〃(x),求得卜|的取值范围，由方程g")一力(另=0的两个根,求得"初的表达式,

利用导致证得不等式成立.

【详解】(1)由题设有一d+2xW奴+6工12+2”对任意的立.

令x=0,贝!JO<Z?KO,所以。=0.因此依《炉+2%即x2+(2—%)x2。又寸任意的冗

所以4=(2-攵『40,因此2=2.故〃(力=2尤

(2)令/(x)=〃(x)-g(x)=Z(xTTnx)(x>0),F(l)=0，XFf(x)=k^^-.

X

若kvO,则尸(%)在(0,1)上递增,在(L+?)上递减，则尸(力4尸(1)=0,即M6-g(x)<0,不符

合题意.当％=0时，F(X)=/?(x)-(X)=0,h[x)=g(x)，符合题意.

当Q0时，尸(x)在(0,1)上递减，在(L+?)上递增，则尸(力之尸(1)=0,

即〃")—g(x)2。，符合题意.综上所述，A:>0.

由/(x)—〃(x)="2-x+l—(点一欠)=X2-(A：4-1)X+(A：4-1)>0

当x=，即攵<_]时，y=f-(Z+l)x+&+l在(0,+?)为增函数，

因为/(0)-〃(0)=攵+1<0,故存在不«。,口)，使/(打一〃(同<0,不符合题意.

当户警=0,即2=-1时，f(x)-h(x)=x2>0，符合题意.

k+\9

当％=三>0,即％>—1时，则需△=(%+1)一4(%+1)<0,解得一l<k43.

综上所述，k的取值范围是kG[0,3].

(3)因为丁一2d之41-卜一3/+2224/一8对任意xe[肛〃]u[-6,立]恒成立，

x4-2x2>4(r3-r)x-3r4+2t2对任意xe[m,〃]u[-夜,61颜立，

等价于*TP任+2tx+3/2-2)>0对任意xe[孙川u[-"O]恒成立.

故W+2a+3产一220对任意xG[〃z,川u[-V2,V2]恒成立

222

v*M(x)=x+2tx+3r-2，当0v/<i,A=-8r+8>0,-l<-r<1f

此时八一加工应+M<&+lvV7，当IV/42,A=-8/2+8<0,

但4炉—824(rT)x-3/+2/对任意的xe[九〃]u[-J2,J2]恒成立.

等价于4/—4(尸-卜+(3/+4)k2-2)《0对任意的工£[见川<=[一"@恒成立.

4炉—4,3―卜+(3/+4)92_2)=0的两根为w，芍，则石+吃=广一用./=岂二3二

所以n-m=归-%|=J(M+々f一4入内=〃_5/+3r+8-

令，=4,4w[1,2],贝！]|〃一时=>/分-5分+32+8.

构造函数。(4=万一5万+3/1+8(；1£[1,2]),^(2)=322-102+3=(2-3)(32-1),

所以丸目1,2]时，r(2)<o,尸⑷递减,尸⑷a=?。)=7.

所以(〃-咐3'即〃-八"

【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考杳利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证

明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.

5.(2020•新全国1山东)已知函数/(x)=ae'-'-Inx+lna.

(1)当。=e时，求曲线片〃x)在点(1,〃1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若〃*)21,求a的取值范围.

2

【答案】(1)--(2)[l,+oo)

e-1

【解析】(1)先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐

标，最后根据三角形面积公式得结果；

(2)解法一:利用导数研究,得到函数f(x)得导函数广(x)的单调递增，当a=l时由尸(1)=0得

/(力“丽=”1)=1，符合题意；当3＞1时,可证八3八1)＜。,从而尸(工)存在零点七＞。,使得

广(%)=。6“7-；=0,得到/，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式

可以证得(X)＞1恒成立；当0＜。＜1时，研究f(l).即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.

解法二：利用指数对数的运算可将转化为*+1+痴+%-1之*+/公，

令gG)="+x,上述不等式等价于g(/w+x-l)Ng(祇)，注意到g(x)的单调性，进一步等价转化为

/wN/nx-x+l,令/?(X)=3T+L利用导数求得Mx',进而艮据不等式恒成立的意义得到关于a

的对数不等式，解得8的取值范围.

【详解】(1)Q/U)=eA-lnx+l:.f\x)=ex--.=

#x

Q/⑴=e+l•切点坐标为(1,1+e),

.・函数f(x)在点(L*l)处的切线方程为y—e—l=(eT)(xT)MI3y=(eT)x+2,

-21-22

•・切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(—7,0)〃••所求三角形面积为-x2x|—|=--；

e-12e-\e-1

(2)解法一：Qf(x)=aex~［-Inx+Intz,

.•./'(》)=aex~x--，且。>0.设g(x)=7'(%)厕g'(x)=aex~l+^->0,

xx

，g(M在Q”)上单调递增，即尸(x)在(0,”)上单调递增，

当"1时，r⑴=0,..〃力*=〃1)=1,."(同？1成立

1I11-1

当。>1时,・・・e丁<1,(一)r(l)=/e。-1)(6/-l)<0,

・•・存在唯一玉)>°，使得((玉))=。6"-----=°，且当X£(0,%)时r(x)<0，当］£(%,+8)时

Xnx

fM>0,ae~=—t.\ln6f+x0-l=-lnx0,因此/(“加=一缶/+In。

=-4-ln6t+x0-l+lna>21ntz-14-2/--x0=21n«+1>1,

%V%

.恒成立;

当0<4<1时，/(I)=a+lna<a<l9:./(l)<l,/(x)>1不是恒成立.

综上所述，实数3的取值范围是［L+8).

解法二：/(X)=aex~}-lnx+Ina=-lnx+lna>\等价于

e-+lna+x-\>lnx+x=*+Inx.

令g(x)=/+x,上述不等式等价于g{lna+x-\)>g(lnx),

显然8(力为单调增函数，，又等价于/也+%-12加%,即•2妹-工+1,

1］-T

令〃(工)=伍T-X+1厕/(/)=——1=-----

XX

在(0,1)上〃的>0力㈤单调递增;在Q.+8)上卜㈤<0%惮调递减，

•"("Lav=硝)=°J〃〃2°，即1,:3的取值范围是［L+8).

【点睛】本题考查导数几何意义、利用导致研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思

想和等价转化思想，属较难试题.

6.(2020・天津卷)已知函数/(幻二/+口11工伏£区)，f。)为f(x)的导函数.

(I)当％=6时，

(i)求曲线V=/*)在点(1J。))处的切线方程；

9

(ii)求函数g(x)=/*)-f。)+一的单调区间和极值；

x

(II)当k..-3时，求证：对任意的冷X2G[1,+OO)，且不>W，有/㈤:/伍)>/\)一"々)

2x1-x2

【答案】(I)i)y=9x-8;(ii)g(x)的极小值为g⑴=1,无极大值；(H)证明见解析.

【解析】(I)(i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；

(ii)首先求得g'(x)的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；

(n)首先确定导函数的解析式，然后令%=f,将原问题转化为与，有关的函数，然后构造新函数，利用

新函数的性质即可证得题中的结论.

【详解】(I)(i)当代6时，〃x)=d+61nx，/(力=3/+9.可得/⑴=1,尸(1)=9,

.X

所以曲线y=在点(1,7(1))处的切线方程为y—l=9(x-l),gpj=9x-8.

3

(ii)依题意，g(x)=d-3f+61nx+-,x£(0,+8).

X

从而可得/(％)=3/-64+9—与，整理可得：/(乃=3。-1)；。+1),

XXX

令g[x)=。，解得X=1.当X变化时，g'(x),g⑴的变化情况如下表：

X(0/)x=\(1,+?)

g'(M—0+

g(x)单调递减极小值单调递增

所以,函数的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为a,+8)；

的极小值为41)=1,无极大值.

(n)证明：由/(x)=%3+%]nx,得/'(了)=3/+".

x

X./1\

对任意的X，七£[1,+00),且X>%2,令—=，。>1),则

X?

(西一马)(f(3)+/'(w))-2(f(芭)一f(w))

=(X)—x2)3x；+—+3^2+――~2x；-W+AIn—

IX引I刈

/\

=M一宕一+A———-2X:In-

E%2

/1\

=£(r—3厂+3/—1j+/ct---2Inf.①

I/7

1i7f1A2

令/Z(R)=X----21nx,xw[l,+oo).当x>l时，力(R)=1+—--=1一一>0,

xxxyx)

由此可得〃(x)在[L"O)单调递增，所以当力1时，恤)>硝)，即f—；—21nr>0.

因为血之1,「一3-+3f—1=。-1)3>0,k>-3.

所以¥(r_3/+3r_l)+2,_；_2In,..(f3_3〃+3/_l)_3,_；_2ku)

3

=r-3r2+61nr+y-l.②

3

由(I)(ii)可知，当/>1时，g«)>g(l),即，一3/+6坨，+；>1,

a>3

故1-3『+61n/+--1>0③

由①②③可得(X-.)(/'(%)+/’仇))一2(/(5)-/(9))>0.

所以，当左N—3时"王意的'，/，且为>W，有

/'(%)+/(3),/(%)一)(工2)

24-x2

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值［最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数

的应用的考杳主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.

(4)考查数形结合思想的应用.

7.(2020•浙江卷)已知1<〃42,函数/(x)=e'-x-a,其中e=2.71828…为自然对数的底数.

(I)证明：函数)=/(x)在(。，+8)上有唯一零点；

(n)记府为函数y=〃x)在(0，+8)上的零点,证明：

(i)4^\<xQ<^a-\);

(ii)x0/(e^)>(e-1)(«-1)62.

【答案】(I)证明见解析,(II)(i)证明见解析，(ii)证明见解析.

【解析】(I)先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；

(II)(i)先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单

调性确定最值，即可证得不等式；

(ii)先根据零点条件转化：V(^，)=VUo+«)，再根据1<〃K2放缩，转化为证明不等式

4(/-2yN々-If(〃-1),最后构造差函数，利用导数进行证明.

【详解】(I)Qf\x)=/-1,Qx>0,>1,.・./'*)>0,;./(x)在(0,+8)上单调递增，

Ql<a<2,.\/(2)=e2-2-a>e2-4>0,/(0)=l-a<0,

所以由零点存在定理得/“)在(。，+8)上有唯一零点；

(n)(i)Q/(^)=0,.,./°-xo-a=O,

x

da-T<jQj<J2(a-1)<=>e0-x0-l<<2(Z°-x0-l),

令g(x)=^r-x-1-x2[0<x<2),h(x)=ev-x-1-(0<x<2),

一方面：h\x)=ex-i-x=%(x),4'(X)=ex-1>0,

：.hXx)>"(0)=0,/.h(x)在(0,2)单调递增，二〃(x)>A(0)=0,

r2、

€x—x—1---->0,2(e'—x-1)>x,另方面"Ql<aK2「.a-1V1,

2

所以当与时，J工工工毛成立，因此只需证明当Ovxvl时或x)=e、—x—l一炉4o,

因为g,(x)=ex-\-2x=(x),g^(x)=ex-2=0=>x=ln2

当xw(0,ln2)时，g：(x)<0，当xe(ln2,l)时，g：(x)>0,

所以g'(")<max{g'(O),g'⑴},Qg<0)=0,g'(l)=e-3v0,二gf(x)<0,

••・贝乃在(0,1)单调递减，「遭(幻<8(0)=0,：.ex-x-i<x2,

综上，「.e°-x。-1《K2(^°—XQ—1),a—1K/K,2(〃-1).

(ii)f(M)=x0/(/°)=+〃)=对(炭T)与+-2)],

Qf'(x())=2(e"—l)x°+a(e"—2)>0,\[a—\x0<yj2(a—\),

.，.«瓯)>t(y/a-l)=\[a-i[(ea-+a(ea-2)]=(ea-1)((7-1)+-2),因为1<aK2,

所以e">N2(〃—1),f(xO)N(e_l)(a-1)+2(。-l)Ja-l(e“-2),

只需证明2(a—l)Ja—l(e“—2)N(e—l)(a—,即只需证明4(/一2了之(”1)2(〃一1),

令$(〃)=4(ea-2)2-(e-l)2(a-l),(l<a<2),则“〃)=8/(/-2)-(e-l)2>令(e-2)-(e-l)2>0,

5(a)>5(1)=4(e-2)2>0,即4(e“一2尸2(e-l)2(a—l)成立，

因此(e")>(e-l)(a-l)a.

【点睛】本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.

2016-2019年

1(2019天津理8)已知QER,设函数/(%)=("%'若关于x的不等式/(x)..O在R上

x-alnx,x>1,

恒成立，则。的取值范围为

A.[O,1]B.[0,2]C.[O,e]D,[l,e]

2.(2019全国m理20)已知函数f(x)=2x3-cuc2+b.

(1)讨论73的单调性;

(2)是否存在a,b,使得在区间[OJ的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出。涉的所有值；

若不存在，说明理由.

3.(2019浙江22)已知实数。工0,设函数f(x)=a\nx+五71,x>0.

3

(1)当。=-：时，求函数/⑴的单调区间；

4

(2)对任意A-€[4,+8)均有人幻4J,求。的取值范围.

e~2a

注：e=2.71828…为自然对数的底数

4.(2019全国I理20)已知函数〃x)=sinx—ln(l+x),广。)为/(x)的导数.证明：

(1)/。)在区间(-1,万)存在唯一极大值点；

(2)/(X)有且仅有2个零点.

X+]

5.(2019全国n理20)已知函数〃x)=ln/----.

x-\

(1)讨论4M的单调性，并证明4M有目仅有两个零点；

(2)设加是的一个零点，证明曲线片Inx在点4灿,In阳)处的切线也是曲线y=e'的切线.

6.(2019江苏19)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c£R、尸(x)为f(*)的导函数.

(1)若a=b=c,〃4)=8,求a的值；

(2)若dwb,且〃x)和尸(幻的零点均在集合｛—3,1,3｝中，求〃*)的极小值；

4

(3)若。=0,0〈&,1,o=1,且”*)的极大值为例，求证:傕二.

27

7.(2019北京理19)已知函数Ax)=。父+-

4

(I)求曲线)=/a)的斜率为1的切线方程；

(II)当.iw［-2,4］时，求证：x-6W

(III)®F(x)=|/(x)-|x+«||(flGR),记F(xi在区间［-2,4］上的最大值为M(a),当M(〃)最小时,求3的值

8.(2019天津理20)设函数f(x)=excosx,g。)为的导函数.

(I)求/(力的单调区间;

(n)^xe时，证明f(x)+g(陪-4.0；

(m)设Z为函数〃(x)=f(x)-l在区间(2团+:,2机兀+］)内的零点，其中〃wN,证明

。兀e—2〃*

2〃万+——x<-------------.

2nsin%-cos%

9.(2017新课标n)若x=-2是函数/(外=*2+公-1)01的极值点，则

/(x)=(x2+ax-1)/7的极小值为

A.-1B.-2e~3C.5e-3D.1

10.(2017浙江)函数y=/(x)的导函数y=/⑴的图像如图所示,则函数y=/(x)的图像可能是

A.B.

12.(2018全国卷I)已知函数/(x)=L-x+alnx.

x

⑴讨论/*)的单调性；

⑵若/(")存在两个极值点小々，证明：/⑻-/⑺<〃一2.

八一々

13.(2018全国卷H)已知函数/(幻二/-加

⑴若a=l,证明：当x2O时,f(x)m;

(2)若/")在(0,+8)只有f零点，求。.

14.(2018全国卷ID)已知函数/(x)=(2+x+or2)]n(l+x)-2x.

(1)若。=0，证明：当一IvxvO时，/(幻<0;当%>0时，/(x)>0;

⑵若x=0是/(x)的极大值点，求a.

15.（2018北京）设函数/（x）=[-2-（4。+1）*+4〃+3]在.

(1)若曲线y="r)在点(1J⑴)处的切线与工轴平行，求。;

(2)若/*)在x=2处取得极小值，求。的取值范围.

16.(2018天津)已知函数g(x)=\ogax，其中.

Q)求函数力(x)=/(x)—xln。的单调区间；

(2)若曲线y=/(x)在点(百处的切线与曲线)，=g(x)在点(勺送(吃))处的切线平行，证明

2InIn£7

x+g（w）=-

In。

⑶证明当〃二小时，存在直线/,使/是曲线y=/a)的切线，也是曲线y=g(T)的切线.

17.(2018江苏)记/'(x),g'(x)分别为函数/*),g(x)的导函数.若存在X°£R,满足、〃Xo)=g*o)且

广"o)=gUo)，则称为为函数/(工)与g")的一个"S点".

⑴证明：函数f(x)=x与g(x)=f+2工-2不诙"S点”；

⑵若函数/")=心2-1与g*)=inx存在"S点"，求实数d的值;

(3)已知函数/(%)=-炉+。,g(x)=一.对任意。>0，判断是否存在人>。，使函数/&)与g(x)

x

在区间(0,+oo)内存在"S点：并说明理由.

18.(2018浙江)已知函数/")=4-11)工.

⑴若/(x)在x=%,4*户9)处导数相等，证明：/(^)+/(^)>8-81n2;

(2)若〃W3-41n2,证明：对于任意A>0,直线y=履+。与曲线y=有唯一公共点.

19.(2017新课标I)已知函数/(1)=/'+(。—2)靖7.

⑴讨论/*)的单调性；

(2)若/")有两个零点，求。的取值范围.

20.（2017新课标n）已知函数/（幻=加-arrlnx,且/3）20.

⑴求〃；

(2)证明：/(%)存在唯一的极大值点,且"2</(%)<2-2.

21.(2017新课标m)已知函数f(x)=x-\-a\nx.

⑴若f(x)20,求〃的值；

(2)设〃，为整数，且对于任意正整数"，(1+1)(1+])…(1+[)<根，求，〃的最小值.

2222"

22.(2017浙江)已知函数/(%)=(1-反二1)1(x2g).

(I)求/3的导函数;

(n)求f(x)在区间[；,+◎上的取值范围.

23.(2017江苏)已知函数/(x)=V+公2+以+]也>0公R)有极值，且导函数,⑴的极值点是

fM的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求h关于。的函数关系式，并写出定义域；

(2)证明：/>3。；

(3)若八外,尸“)这两个函数的所有极值之和不小于-g,求。的取值范围.

24.(2017天津)设。£Z,已知定义在R上的函数/(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一

个零点小,g(x)为/*)的导函数.

(I)求以外的单调区间；

(n)设机£[1,%)1)*0,2],函数力(x)=g(x)(加一/)-/(M，求证:h(m)h(x0)<0;

(III)求证：存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且K£[1MO)U(XO,2],满足

q

1

而•

25.(2017山东)已知函数/(x)=d+2cosx,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828…是自然

对数的底数.

(I)求曲线y=/(x)在点(4J(m)处的切线方程；

(n)令〃(幻=g(x)-af(x)(aGR),讨论〃(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

26.(2016年山东)已知/(x)=〃(x—ln.E)+'^,〃wR.

JC

(I)讨论/*)的单调性；

(II)当〃=1时，证明/(幻>/(力+：对于任意的xG［1,2］成立.

27.(2016年四川)设函数/(乃二以？—。-］。］,其中

(1)讨论/。)的单调性；

(II)确定。的所有可能取值，使得f(幻>3、在区间(1,y)内恒成立(e=2.718…为自然对数的

x

底数).

28.(2016年天津)设函数/(%)=(%-1)3-⑪-瓦工,其中

(1)求/*)的单调区间；

(H)若/(x)存在极值点与,且/(玉)=/*0),其中百工与，求证：％+2/=3;

(H)设。>0,函数g(x)=|/(x)|,求证：g(x)在区间上的最大值不小于；.

29.(2016年全国I)已知凶数/*)=(.・2)/+。*-1)2有两个零点.

(I)求a的取值范围；

(H)设内，々是/(x)的两个零点，证明：%+々<2.

30.(2016年全国D)

x-2

(I)讨论函数/(x)=I；e'的单调性，并证明当x>0时，(x-2)e*+x+2>0;

x+2

(H)证明:当。以0,1)时，函数8(力/一，"0>0)有最小值.设8(/)的最小值为〃⑷，求函数力⑷

X

的值域.

31.(2016年全国印)设函数/(%)=acos2x+(a-l)(8sx+l),其中a>0,

记|/(幻|的最大值为A.

(i)求r(©；

(n)求A；

(川)证明/*)|辽24.

32.(2016年浙江高考)已知〃N3,函数工(")二0±1{2|号-1|,炉-2以+4。-2},其中

fp,

min{〃M}二{

［q，p>q

(I)求使得等式FM=x2-2ajc+4a-2成立的,v的取值范围；

(11)”)求尸(幻的最小值风。)；

(ii)求/")在区间［0,6］上的最大值M(a).

33.(2016江苏)已知函数f(x)=，+"(a>O,b〉OMH31).

(1)设a=2"1.

①求方程〃x)=2的根;

②若对于任意KWR,不等式/(2力2可.(力-6恒成立，求实数小的最大值；

(2)若Ova<l,b>l，函数g(x)=/(x)-2有且只有1个零点，求面的值.

2016-2019年

1.解析当X=1时，/(l)=l—2〃+2a=l>0颉立;

当xvl时，/(力=/-20¥+2。庞0。2。工，皿立，

X—1

X2X2(1-X-1)2(1-X)2-2(1-X)+1

令g(x)----=-------=―=----------------------------

X-11-X\—X1-x

-(l-x)+p!——2?

-2(1-X)---2=0,

1—Xj

所以2a...g(x)=0,即。>0.当X>1时，/(x)=x-alnx屋0=〃立,

|皿Inx

lnx-x—.

令/心)=户，则“(x)=,，

Inx(Inx)-(Inx)

当x〉e时，”(x)>0,0(x)递增，当1<x<e时，"(x)vO,递减，

所以当x=e时，，2(x)取得最小值〃(e)=e.所以小，〃(现加=e.综上，〃的取值范围是［0,e］.

2.解析(1)/(%)=642-2or=2%(31-。).

令八的=。，得六0或X样

若》0,则当xw(—8,0)U(早+8)时，f\x)>0;当X€(O,1)时,f(x)<0.故/(%)在

(8,0),件18)单调递增，在(o身单调递减；

若a=0,f(幻在(F,+oo)单调递增;

若a<0,贝(J当U(0,+<»)时，f(x)>0；当%£(三,0)时，/'(x)v0.故/(x)在

卜呜),(0,+8)单调递增，在性可单调递减.

(2)满足题设条件的3,6存在.

(i)当"。时，由(1)知，/(x)在［0,1］单调递增,所以/W在区间［05的最小值为f(O)=b,最大

值为f(1)=2—。+〃.此时d，6满足题设条件当且仅当人=一1,2-a+b=\,即3=0,b=一1.

(ii)当表3时，由(1)知，/(%)在［0,1］单调递减，所以f(x)在区间［0,1］的最大值为f⑼=b,最

小值为/(1)=2-。+〃.此时d，6满足题设条件当且仅当2—。+人=-1,3=1,即a=4,b=l.

(iii)当0<a<3时，由(1)知，/")在［0,1］的最小值为/(§］二-34力，最大值为6或2—4+匕.

J27

若一二•+/?=—1,6=1,贝I」〃=3^^，与。<a<3矛盾.

27

§--+/?=-1,2-a+b=\,贝!或。=-36或a=0,与0<a<3矛盾.

综上,当且仅当a=0,6=-1或a=4,氏1时