2016-2018年高考全国卷文科数学试题答案解析

2016-2018全国卷文数

2018/2017/2016全国I卷

2018/2017/2016全国H卷

2018/2017/2016全国III卷

1

2018年全国卷1文科数学解析

1.已知集合人={0.2},B={-2,-1,0,1.2),则AAB=

A.{0.2}B.{1.2}C.{0}D.{-2,-1.0,1,2)

【答案】A

【解析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合APIB

中的元素，最后求得结果.

详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得AAB={0,2},故选A.

点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，

从而求得结果.

2.设2=--+2i,则|z|=

1+i

A.0B.；C.1D.3

【答案】C

【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到2=、根据复数模的公式，得到|z|=l,

从而选出正确结果.

•¥初eI]T(1T)2-2i

]羊解：因为z------1-2i-----------n2i-----F2i=i»

1+i(12

所以|z|=Jo+尸=1,故选C.

点暗：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法

运算法则求得结果，属于简单题目.

3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解

该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比

例.得到如下饼图：

2

种植收入种植收入

则下面结

例设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

论中不正确的是

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村速设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

【解析】分析：首先设出新农村送设前的经济收入为M,根据题意，得到新农村建设后的经

济收入为2M,之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较

其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.

详解：设新农村建设前的收入为N,而新农村建设后的收入为2M,

则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后的种植收入为0.74M,所以种植收入增加

了，所以A项不正确：

新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上，所以

B项正确；

新农村建设前，养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍，所以C项正确；

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%+28%=58%>50%,所以

超过了经济收入的一半，所以D正确；

故选A.

3

点暗：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出

相应的信息即可得结果.

22

4.已知椭圆C:二+1=1的一个焦点为(2.0),则C的离心率为

a24

A1n1c/n2yli

A.-B.-C.—D.—

3223

【答案】C

【解析】分析：首先根据题中所给的条件桶圆的一个焦点为(2,0),从而求得c=2,再根据

题中所给的方程中系数，可以得到b?=4,利用椭圆中对应a,b,c的关系，求得a=2屈最后利

用椭圆离心率的公式求得结果.

详解：根据题意，可知c=2,因为b?=4,

所以a?=b2+c2=8»即a=23,

2g

所以桶圆C的离心率为e---=■,故选C.

2a2

点暗：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式,

再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中a,b,c的关系求得结果.

5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。1，O2,过直线的平面截该圆柱所得的截面是

面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A.12&B.12nC.8伍D.\On

【答案】B

【解析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半

径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.

详解：根据题意，可得微面是边长为2啦的正方形，

结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是啦的圆，且高为2死，

所以其表面积为S=2解物?+2兀.也.2"=⑵，故选B.

4

点暗：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确

定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要

注意是两个底面圆与侧面积的和.

6.设函数f(x)=x3+(aT)x2+ax,若f(x)为奇函数，则曲线y-f(x)在点(0,0)处的切线方程为

A.y=-2xB,y=-xC.y=2xD.y=x

【答案】D

【解析】分析：利用声函数偶此项系数为零求得a=l,进而得到f(x)的解析式，再对f(x)求导

得出切线的斜率k,进而求得切线方程.

详解：因为函数f(x)是奇函数，所以a-l=0,解得a=l,

所以f(x)=x3+x,f(x)=3x2+b

所以F(0)=Lf(0)=0,

所以曲线y-f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f(0)x,

化简可得丫=乂，故选D.

点睛：该题考查的是有关曲线丫=£仪建某个点(々Exo))处的切线方程的问题，在求解的过程

中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函

数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得F(x),借助于导数的几何

意义，结合直线方程的点斜式求得结果.

7.在△阳(：中，AD为BC边上的山线，E为AD的中点，则血=

3-1-1-3-

A.-AB—ACB.-AB—AC

4444

3-1-1-3-

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

-1-1-

【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE=-BA+-BC,

22

5

之后应用向量的加法运算法则------三角形法则，得到比=BA+R,之后将其合并，得

到B百=^8\+笈，下一步应用相反向量，求得=从而求得结果.

4444

详解：根据向量的运算法则，可得

-1-1-1-1--1-1-1-3-1-

BE=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC)=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222224444

“-3-1-

所以EB=-AB—AC,故L选A.

44

点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向

量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要

认真对待每一步运算.

8.已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2，则

A.f(x)的最小正周期为n,最大值为3

B.f(x)的最小正周期为n,最大值为4

C.f(x)的最小正周期为2%最大值为3

D.f(x)的最小正周期为2m最大值为4

【答案】B

【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为

f(x)=2cos2x+2,之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.

详解：根据题意有f(x)=cos2x+1+cos2x+1=2cos2x+2,

所以函数f(x)的最小正周期为T=—="，

0

且最大值为f(X)max=2+2=4,故选B.

6

点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的

性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.

9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对

应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径

B

中，最短路径的长度为

A.2拒B.26

C.3D,2

【答案】B

【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M

在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩

形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.

详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，

可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长

方形的对角线的端点处，

所以所求的最短路径的长度为匹于=2而，故选B.

点晴：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，

需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就

是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.

10.在长方体ABCD-A[B[C]D]中，AB=BC=2,AC1与平面BBRg所成的角为30。，则该长

方体的体积为

7

A.8B.6yliC.8/D.8布

【答案】C

【解析】分析：首先画出长方体ABCD-A[B]C]D],利用题中条件，得到ZAC1B=30°,根据

AB=2,求得Bg=2由，可以确定CC]=23,之后利用长方体的体积公式

详解：在长方体ABCD-A[B[C[D]中，连接BC】，

根据线面角的定义可知4AC]B=30°,

因为AB=2,所以BCI=R5,从而求得CC]=2。，

所以该长方体的体积为V=2x2*2拒=8也故选C.

点睛：该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公

式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长久显

得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.

11.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(l,a),

B(2.b),且

2,

cos2a=则|a—b|=

1J52而

A.-B.上C.D.1

555

【答案】B

8

2

【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到b=2a,利用cos2d=§,利用倍角公式

以及余弦函数的定义式，求得从而得到间=g,再结合b=2a,从而得到

|a-b|=|a"2a|=从而确定选项.

详解：根据题的条件，可知QAB三点共线，从而得到b=2a,

212

因为cos2a=2cosa-1=2,(.)2-1=

Ja2+13

解得/=?，即|a|=1，所以|a-b|=|a-2al=1，故选B.

点晴：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点

的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关

系式，从而求得结果.

12.设函数f(x)=『；，湿),则满足f(x+l)vf(2x)的x的取值范围是

A.(-co.-1]B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(-00.0)

【答案】D

【解析】分析：首先根据题中所绐的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有

f(x+l)vf(2x)成立，一定会有二个,从而求得结果.

(ZX<X十1

详解：将函数f(x)的图像画出来，

所以满足f(x+l)vf(2x)的x的取值范围是(-8.0),故选D.

9

点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数

的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值

的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自

变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知函数f(x)=logXx2+a),若f(3)=l,则2=.

【答案】-7

【解析】分析：首先利用题的条件f(3)=l,将其代入解析式，得到f(3)=log2(9+a)=l,从而

得到9+a=2,从而求得a=-7,得到答案.

详解：根据题意有f(3)=log2(9+a)=L可得9+a=2,所以a=-7,故答案是-7.

点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在

求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.

/X-2y—2<0

14.若x,y满足约束条件卜-y+120,则z=3x+2y的最大值为______.

Iy<0

【答案】6

【解析】分析：首先根据题中所绐的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截

3131

式y=-?+之后在图中画出直线y=-,，在上下移动的过程中，结合子的几何意义，可

以发现直线y=-\+L过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解

22

析式，求得最大值.

详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

10

22

3

画出直线丫=-y将其上下移动，

结合三的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，

2

由「号二彳=°,解得B(2,0),

此时2max=3x2+0=6,故答案为6.

点暗：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对

应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断Z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移,

判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的

形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.

15.直线y=x+1与圆x?+y2+2y-3=0交于A,B两点，则|AB|=.

【答案】2也

【解析】分析：首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之

后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成

直角三角形，利用勾股定理求得弦长.

详解：根据题意，圆的方程可化为x2+(y+l)2=4,

所以圆的圆心为且半径是2,

|0+1+1|

根据点到直线的距离公式可以求得d

「+(-1)2

11

结合圆中的特殊三角形，可知|AB|=2/工=2/，故答案为2班.

点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊

三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.

16.△ABC的内角A,B.C的对边分别为a.b.c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,

b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.

【答案】生

3

【解析】分析：首先利用正弦定理将题中的式子化为sinBsinC+sinCsinB-4sinAsinBsinC,化

简求得sinA=-,利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2bccosA=8,可以断定A为锐

2

角，从而求得cosA=^,进一步求得bc=唾，利用三角形面积公式求得结果.

23

详解：根据题意，结合正弦定理

可得sinBsinC+sinCsinB-4sinAsinBsinC,即sinA=

2

结合余弦定理可得2bccosA=8,

所以A为锐角，且cosA=-从而求得be=—,

23

所以△ABC的面积为S=-besinA=—-故答案是二\二.

223233

点睛：该题考查的是三角形面积的求解问题，在解题的过程中，注意对正余弦定理的熟练应

用，以及通过隐含条件确定角为锐角，借助于余弦定理求得bc=+3利用面积公式求得结

3

果.

17.已知数列闻｝满足电=1,nanrl=2(n+l)an,设\=上

n

(1)求b「b2,b3；

(2)判断数列｛bj是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛%｝的通项公式.

【答案】(1)bi=1,小=2,匕4.

12

(2)｛4｝是首项为1,公比为2的等比数列.理由见解析.

⑶a方n•.

【解析】分析：(1)根据题中条件所给的数列｛aj的递推公式n%+i=2(n+l)an，将其化为

部广？(11+D/,分别令和/7=2,代入上式求得中=4和4=12,再利用b=2从而求得A=1,

nnn

*2,&4.

a2a

(2)利用条件可以得到上匚=」，从而可以得出儿产24,这样就可以得到数列［6』是首项

n+1n

为1,公比为2的等比数列.

⑶借助等比数列的通项公式求得七=2"T，从而求得牛二〃・2a.

n

详解：(1)由条件可得ae二迎二93n.

n

将后1代入得，32=4句，而3尸1,所以，32=4.

将正2代入得，a=34，所以，生=12.

从而6=1,b=2,左=4.

(2)｛4｝是首项为1,公比为2的等比数列.

由条件可得把1=3,即儿尸24，又6=1,所以｛AJ是首项为1,公比为2的等比数列.

n+1n

(3)由(2)可得上=2“T,所以为二〃・2工

n

点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，

根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关

系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列｛b#的通项公式，借助于｛1｝的通

项公式求得数列｛aj的通项公式，从而求得最后的结果.

18.如图，在平行四边彩ABCM中，AB=AC=3,ZACM=90。，以AC为折痕将△ACM折起,

使点M到达点D的位置，且AB1DA.

(1)证明：平面ACDJ■平面ABC;

13

2

(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，XBP=DQ=-DA,求三棱锥Q-ABP的体积.

【答案】(1)见解析.

⑵1.

【解析】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到乙BAC=90,即BALAC,再结合已知条件

BA2-AD,利用线面垂直的判定定理证得力8_L平面4必，又因为46u平面48Q根据面面垂

直的判定定理，证得平面彳微_L平面/8C：

(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的

高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.

详解：(1)由已知可得，ZBA0900,BA1AC.

又仍JL4?,且ACDAD=A,所以彳8J■平面

又Mu平面ABC,

所以平面4应LL平面ABC.

(2)由已知可得，DU阱AM3,阱3屈

14

2「

又BP=DQ=§DA,所以BP=2啦.

作QEA.AC,垂足为£,则QE=II夕C.

由已知及（1）可得。CJ•平面48C,所以。RL平面48C,QE=1.

因此，三棱锥Q-ABP的体积为

VQ-ABP=jxQExSAA«>=3X1x-x3x2^sin45°=l.

点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的

体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位受，结合线面垂直的判

定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线

面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.

19.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50

天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量须数分布表

日用

[0,0.1)[0.1,0,2)[0,2,0,3)[0.3,0.4)[3.4,0,5)[0.5.0.6)[0.6,0,7)

水量

频数13249265

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用

[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4.0.5)[0.5,0.6)

水量

频数151310165

15

(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:

0.102030.40.J0J6(1用水♦/of

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35n?的概率；

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的

数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)

【答案】(1)直方图见解析.

(2)0.48.

⑶4745m乙

【解析】分析：(1)根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在

相应区间上的频率，借助于直方国中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而

确定出对应矩形的高，从而得到直方图；

⑵结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率：

(3)根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年

能节约用水多少从而求得结果.

详解：(1)

16

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为

0.2X0.1+1X0.1+2.6X0.1+2X0.05=0.48,

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

_1

A=4(0.05x1+0.15x3+0.25x2+0.35x4+0.45x9+0.55x26+0.65x5)=0.48.

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

_1

x2=小05x1+0,15x5+0.25x13+0.35x10+0.45x16+0.55x5)=035.

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-0.35)x365=47.45(m，

点睛：该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率

分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程

中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.

20.设抛物线C:y2=2x，点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线1与C交于M,N两点.

(1)当1与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：ZABM-<ABN.

17

【答案】（1）*;x+1或y=

（2）见解析.

【解析】分析：（1）首先根据1与x轴垂直，且过点A（2.0）,求得直线/的方程为41,代入

抛物线方程求得点附的坐标为（2,2）或（2,-2）,利用两点式求得直线BM的方程；

⑵分直线/与x轴垂直、/与x轴不垂直两种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，

对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.

详解：（1）当/与x轴垂直时，/的方程为产2,可得"的坐标为（2,2）或（2,-2）.

所以直线BM的方程为*QX+1或丫=--x-1.

（2）当/与x轴垂直时，48为腑的垂直平分线，所以NA8依

当/与x轴不垂直时，设/的方槎为y=k（x-2）（k，0）,附（必，“），“（跖”），则x,>0,x2>0.

由P弊-“,得〃/一2y-4A=0,可知％+1b=2与叩・4.

（y=2xk

直线BM,酬的斜率之和为

Yiy2XM+xM+Z&i+yj）

kBM+kBN-----1------=--------------------.①

BMBNX]+2X2+2（X1+2XX2+2）

将*=々+2,x,=与+2&%+%,“2的表达式代入①式分子，可得

1k2k

2y1y2+4k（y1+y2）,8+8

x必+32+2d+y）=---------------=——=0*

2KK

所以3廿0,可知8M,创的倾斜角互补，所以4ABMNABN.

综上，/AB归乙ABN.

点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线

与抛物税相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方

程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时

候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦

达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.

18

21.已知函数f(x)=aeX-lnxT・

(1)设x=2是f(x)的极值点.求a,并求f(x)的单调区间；

(2)证明：当aj时，f(x)>0.

e

1

【答案】(1);;f3在(0,2)单调递减，在(2,+oo)单调递增.

2e2

(2)证明见解析.

1

【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f'(2)=0,求得左f，从

21

而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位理，从而得到函数的增

区间和减区间；

⑵结合指数函数的值域，可以确定当a2-时，f(x)之后构造新函数g(x)

ee

=-.lnx-b利用导数研究函数的单调性，从而求得g(x)2g(1)=0,利用不等式的传递

e

性，证得结果.

详解：(1)f(x)的定义域为(0.+oo),f，(x)=aex-

x

1

由题设知，f'(2)=0,所以左一;.

2e2

,、1X1X1

从而f(x)=_ze-Inx-1,fz(x)=--e-

2e-2e-x

当0<求2时，f'(x)<0:当x〉2时，f'(x)>0.

所以f(x)在(0,2)单调递减，在(2,+oo)单调递增.

(2)当众-时,f(x)云3.lnx・I.

ee

xx1

设g(x)二e一jnx-1,则g(x)=e_--.

eex

当0<X1时，g'(x)<0;当x>\时，g'(x)>0.所以『1是g(z)的最小值点.

故当x>0时，g(x)2g(1)=0.

因此，当aH时，f(x)>0.

e

点暗：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导致与吸值、导数与最值、导

19

数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权,

先确定函数的定义域，之后根据导致与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定

出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.

22.［选修4—4：坐标系与参数方程］

在直角坐标系xOy中，曲线C］的方程为丫=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建

立极坐标系，曲线的极坐标方程为p2+2pcos0-3=0-

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C］与C?有且仅有三个公共点，求C］的方程.

【答案】［选修4-4：坐标系与参数方程］

解：(1)由x=pcos。，y=psinB得C2的直角坐标方程为

(x+l)2+y2=4-

(2)由(1)知C2是圆心为A(T,0),半径为2的圆.

由题设知，C］是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为iy轴左边的射

线为b由于B在圆C2的外面，故C］与C?有且仅有三个公共点等价于I1与C?只有一个公共点且

%与c2有两个公共点，或匕与c2只有一个公共点且L与c2有两个公共点.

|-k+2|4

当1］与C)只有一个公共点时，A到11所在直线的距离为2,所以g-==2,故卜=—或k=0.

也~+13

4

经检验，当k=0时，L与C?没有公共点；当k=-§时，L与C?只有一个公共点，1与C2有两个

公共点.

|k+2|、4

当1,与C)只有一个公共点时，A到u所在直线的距离为2,所以0—==2,故k=0或k=-.

也+13

4

经检脸，当k=0时，L与C?没有公共点；当k=§时，1与C?没有公共点.

4

综上，所求C］的方程为y=-qx|+2.

20

【解析】分析：(1)就根据x=pcosO,y=psin。以及p?=x2+y2,将方程p?+2pcos0-3=0中的

相关的量代换，求得直角坐标方程：

⑵结合方程的形式，可以断定曲线C?是圆心为A(・l,0),半径为2的圆，G是过点B(0,2)X关

于y轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直

线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.

详解：(1)由x=pcos0,y=psin僻C2的直角坐标方程为

(x+l)2+y2=4-

(2)由(1)知C?是圆心为A(・1Q),半径为2的圆.

由题设知，g是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为L，y轴左边的射

线为b由于B在圆C2的外面，故C］与C?有且仅有三个公共点等价于11与C?只有一个公共点且

马与C2有两个公共点，或％与只有一个公共点且L与C?有两个公共点.

I-k+2|4

当L与C,只有一个公共点时，A到11所在直线的距离为2,所以g—=2,故卜=--或k=0.

出2十13

4

经检脸，当k=o时，L与c?没有公共点：当k=-g时，L与c?只有一个公共点，匕与c2有两个

公共点.

|k+2|4

当I与。只有一个公共点时，A到L所在直线的距离为2,所以一=2,故k-0或k-.

"+］3

4

经检验，当k=o时，L与c?没有公共点；当k=§时，1与c?没有公共点.

综上，所求C］的方程为y=-，x|+2.

点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向

平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极

坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与

圆的位更关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.

21

23.［选修4—5：不等式选讲］

已知f(x)=|x+l|-|ax-l|.

(1)当a=l时，求不等式f(x)>l的解集；

(2)若x€(0.1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.

【答案】⑴{x|x>；}.

(2)(0,21.

【解析】分析：(1)将a=l代入函数解析式，求得f(x)=|x+l|・|x-l|,利用零点分段将解析

-2,x<-1,

式化为f(x)=2x,・lvx〈l,,然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式f(x)>l的解集为

2,x>l

1

{x|x>-);

⑵根据题中所给的(0,1),其中一个绝对值符号可以去掉，不等式f(K)>X可以化为x€(0,l)

nt|ax-l|<l,分情况讨论即可求得结果.

22

2017全国卷1数学试题解析

1.已知集合布{x|K1},B={x\3x<\},则

A.AAB={x|x<0}B.A\JB=R

C.A\jB={x\x>i]D.=0

【答案】A

【解析】试题分析：由3,<1可得3、<3°,则x<0,即8={用工<0},所以

AnB={x|x<l)n{A：|x<0|

={x|x<0),A(JB={X|X<1}U{A：|X<O}={X|X<1},故选A.

【考点】集合的运算，指数运算性质

【拓展】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图

进行处理.

2.如图，正方形4仇》内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色

部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率

是

A.

4

C.

2

【答案】B

【解析】试题分析：设正方彩边长为。，则圆的半径为巴，正方彩的面积为。2,圆的面

2

23

积为——.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由

4

171(72

几何概型概率的计算公式得，比点取自黑色部分的概率是2,4=,,选B.

a28

秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,

由图可知其概率〃满足;<p<g,故选B.

【考点】几何概型

【拓展】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、

面积、体积或时间)，其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后

计算P(A).

3.设有下面四个命题

Pi：若复数z满足一wR,则zcR;

z

p2：若复数Z满足Z?£R,则ZWR：

p3：若复数4*2满足Z[Z2€R,则Z]=Z2；

pA:若复数zwR,则，wR.

其中的真命题为

A.历，凸B.P„p4C.〃2，P3D.P2R4

【答案】B

【考点】复数的运算与性质

【拓展】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共甄复数，化简成z=a+6i(a,b£R)

的形式进行判断，共箱复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.

4.记S〃为等差数列｛为｝的前〃项和.若%+%=24,56=48,则｛4｝的公差为

A.1B.2C.4D.8

24

【答案】C

【解析】

【考点】等差数列的基本量求解

【拓展】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如｛凡｝为等差数列，

若〃2+〃=，+4，^']am+an=ap+aq.

5.函数/（%）在单调递减，且为奇函数.若/（1）=一1,则满足一1«/。一2）«1

的x的取值范围是

A.[-2,2JB.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【答案】D

【解析】试题分析：因为/（X）为奇函数且在（-00,+8）单调递减，要使一1V/（X）K1成

立，则x满足一14x41,从而由一1工1一241得14无K3,即满足一1«/（无一2）«1成

立的犬的取值范围为[1,3],选D.

【考点】函数的奇偶性、单调性

【拓展】百偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等

式和比较大小问题，若/（幻庄R上为单调递增的奇函数，且/（%）+/（8）＞0,则

玉+芍＞。，反之亦成立.

6.（1+」7）（1+冗）6展开式中一的系数为

X

A.15B.20C.30D.35

【答案】C

【解析】试题分析：因为则（1+幻6展开式中

XX

含一的项为1.或工2=15工2,l.（i+x）6展开式中含一的项为士,《％4=15%2,故一

XX

的系数为15+15=30,选C.

25

【考点】二项式定理

【拓展】对于两个二项式乘积妁问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每

项，分析含/的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构

成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r不同.

7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，

正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这

些梯形的面积之和为

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

［解析］试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，

则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为

2x(2+4)x2xl=12

2,故选B.

【考点】简单几何体的三视图

26

【拓展】三视图往往与几何体妁体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结

合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉

常见几何体的三视图.

8.下面程序框图是为了求出满足3"-2)1000的最小偶数n,那么在O口=1两个空白框中,

可以分别填入

A.74>1000和