成都九中高二下数学试卷

成都九中高二下数学试卷一、选择题

1.下列函数中，在其定义域内连续的是（）

A.$y=\frac{1}{x}$

B.$y=x^2-2x+1$

C.$y=\sqrt{x}$

D.$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$

2.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得极值，则$a$的取值范围是（）

A.$a\neq0$

B.$a\neq1$

C.$a\neq-1$

D.$a\neq0$且$a\neq1$

3.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f'(x)$（）

A.$f'(x)=3x^2-6x+4$

B.$f'(x)=3x^2-6x+3$

C.$f'(x)=3x^2-6x+2$

D.$f'(x)=3x^2-6x+1$

4.设函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(-1)$的值是（）

A.$-1$

B.$1$

C.$0$

D.无解

5.若直线$y=kx+b$与圆$x^2+y^2=1$相切，则$k$的取值范围是（）

A.$k\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

B.$k\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

C.$k\in(-1,1)$

D.$k\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

6.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，求$f''(x)$（）

A.$f''(x)=6x^2-6x+4$

B.$f''(x)=6x^2-6x+3$

C.$f''(x)=6x^2-6x+2$

D.$f''(x)=6x^2-6x+1$

7.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$处取得极小值，则$f(1)$的值是（）

A.$-1$

B.$0$

C.$1$

D.无解

8.设函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f'(x)$（）

A.$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$

B.$f'(x)=\frac{1}{x^2}$

C.$f'(x)=-\frac{1}{x}$

D.$f'(x)=\frac{1}{x}$

9.若直线$y=kx+b$与圆$x^2+y^2=1$相切，则$b$的取值范围是（）

A.$b\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

B.$b\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

C.$b\in(-1,1)$

D.$b\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

10.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，求$f'(1)$（）

A.$f'(1)=2$

B.$f'(1)=3$

C.$f'(1)=4$

D.$f'(1)=5$

二、判断题

1.在直角坐标系中，对于任意一条直线，其斜率存在且唯一。（）

2.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$处取得极值，则该极值为极大值。（）

3.对于任意一个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其图像的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。（）

4.若函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$处可导，则其导数$f'(1)$存在。（）

5.任意一个正弦函数的图像都是周期性的。（）

三、填空题

1.函数$f(x)=x^2-4x+3$的顶点坐标是_________。

2.若函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=2$处的导数是_________。

3.直线$y=3x-2$与圆$x^2+y^2=9$的交点坐标是_________和_________。

4.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$处的二阶导数是_________。

5.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，则系数$a$的取值范围是_________。

四、简答题

1.简述函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的单调性和极值情况。

2.如何判断一个二次函数的图像与x轴的交点个数？

3.请解释函数的周期性和奇偶性的概念，并举例说明。

4.简述如何利用导数判断函数的增减性。

5.请说明如何求一个二次函数的图像的对称轴方程。

五、计算题

1.计算下列极限：$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{5x+7}{x-2}\right)$

2.已知函数$f(x)=2x^3-9x^2+12x+3$，求$f'(x)$和$f''(x)$，并判断函数的单调性。

3.计算直线$y=x+1$与曲线$y=\sqrt{x}$在点$(1,2)$处的切线斜率，并求出切线方程。

4.解方程组：$\begin{cases}x^2+y^2=1\\x-y=1\end{cases}$，并求出所有解。

5.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$，求$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。

六、案例分析题

1.案例分析：某公司生产一种产品，其成本函数为$C(x)=3x^2+4x+2$，其中$x$为生产的数量。已知每单位产品的售价为$10$元，市场需求函数为$Q(x)=18-2x$。请分析以下情况：

a.计算该公司的收益函数$R(x)$；

b.求出使得公司利润最大化的生产数量$x$；

c.分析在市场需求函数$Q(x)$变化时，公司的最优生产数量如何变化。

2.案例分析：某城市打算建设一条新的高速公路，预计长度为100公里。高速公路的建设成本与长度成正比，已知每公里的建设成本为$1$亿元。此外，每公里的运营成本为$0.5$亿元，且运营成本随使用年限增加而增加，每年增加$0.1$亿元。高速公路的寿命预计为20年。请分析以下情况：

a.计算建设这条高速公路的总成本；

b.如果高速公路的收费是每辆车$5$元，计算至少需要多少年才能收回投资；

c.分析高速公路的运营成本如何影响其盈利能力。

七、应用题

1.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$2x$、$3x$和$4x$，求长方体的体积$V$关于$x$的函数表达式，并计算当$x=5$时，长方体的体积。

2.应用题：某工厂生产一种产品，其固定成本为$1000$元，每生产一件产品的可变成本为$5$元。若售价为$20$元，求利润函数$P(x)$，并计算生产$100$件产品时的利润。

3.应用题：一个物体的质量$m$随时间$t$的变化关系为$m(t)=10t^2-20t+5$，其中$t$以小时为单位。求物体在$t=2$小时时的质量，以及物体质量随时间变化的速率。

4.应用题：一个物体的位移$s$随时间$t$的变化关系为$s(t)=t^3-6t^2+9t$，其中$t$以秒为单位。求物体在$t=3$秒时的位移，以及物体速度随时间变化的速率。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B

2.C

3.A

4.A

5.D

6.A

7.A

8.A

9.D

10.A

二、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.(1,2)

2.-2

3.(1,2)，(-3,-2)

4.6

5.$a>0$

四、简答题

1.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$处取得极小值，因为$f'(x)=3x^2-6x+4$，当$x=1$时，$f'(1)=1>0$，且$f''(x)=6x-6$，当$x=1$时，$f''(1)=-6<0$，所以$f(x)$在$x=1$处取得极小值。

2.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的判别式$D=b^2-4ac<0$，则函数与x轴无交点；若$D=0$，则函数与x轴有一个交点；若$D>0$，则函数与x轴有两个交点。

3.周期性：函数$f(x)$满足$f(x+T)=f(x)$，其中$T$为常数，称为周期；奇偶性：若$f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数；若$f(-x)=f(x)$，则函数为偶函数。

4.若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，且$f'(a)<0$，$f'(b)>0$，则函数在$(a,b)$内单调递增；若$f'(a)>0$，$f'(b)<0$，则函数在$(a,b)$内单调递减。

5.二次函数的对称轴方程为$x=-\frac{b}{2a}$。

五、计算题

1.$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{5x+7}{x-2}\right)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{5+\frac{7}{x}}{1-\frac{2}{x}}\right)=5$

2.$f'(x)=6x^2-9x+12$，$f''(x)=12x-9$，函数在$x=\frac{3}{4}$处取得极小值，单调性为：在$(0,\frac{3}{4})$内单调递减，在$(\frac{3}{4},+\infty)$内单调递增。

3.切线斜率$k=\frac{dy}{dx}\bigg|_{(1,2)}=\frac{1}{2}$，切线方程为$y-2=\frac{1}{2}(x-1)$，即$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。

4.解得$x=1$或$x=-3$，交点坐标为$(1,1)$和$(-3,5)$。

5.$f'(x)=3x^2-12x+9$，$f''(x)=6x-12$，函数在$x=2$处取得极小值，最大值为$f(2)=5$，最小值为$f(3)=2$。

六、案例分析题

1.a.$R(x)=10x(18-2x)-(3x^2+4x+2)=180x-20x^2-3x^2-4x-2=-23x^2+176x-2$；

b.令$R(x)=0$，解得$x=7.56$，即生产$7.56$件产品时利润最大；

c.随着市场需求减少，最优生产数量会减少。

2.a.总成本$C=1000+100\times1=2000$亿元；

b.收益$R=100\times5=500$亿元，至少需要$40