探究与发现 牛顿法-用导数方法求方程的近似解说课稿-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册001

探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解说课稿-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解说课稿-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册教学内容本节课教学内容选自2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册第三章“探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解”。主要内容包括：

1.牛顿法的基本原理及推导过程；

2.牛顿法求方程近似解的步骤；

3.利用导数求解方程近似解的实际应用；

4.方程求解过程中误差的分析与控制。核心素养目标1.理解并运用导数方法解决实际问题，发展数学抽象与逻辑推理能力；

2.通过牛顿法的学习，培养数学建模与数学运算能力；

3.在方程求解过程中，提高数学分析及问题解决能力；

4.增强对数学探究的兴趣，培养独立思考与创新能力。重点难点及解决办法重点：

1.牛顿法原理的理解与应用。

2.导数在方程求解中的应用。

难点：

1.牛顿法迭代过程的推导。

2.迭代误差的控制与理解。

解决办法：

1.通过实例演示和图形化解释，帮助学生直观理解牛顿法的迭代过程及其几何意义。

2.通过详细推导步骤，讲解牛顿法中导数的应用，强调每一步的数学逻辑。

3.安排课堂练习，让学生亲自操作，逐步掌握牛顿法的计算过程。

4.对迭代误差进行案例分析，引导学生通过实际计算来感受误差变化，并探讨如何合理控制误差，例如通过选择合适的初始值和迭代次数。教学资源1.软硬件资源：多媒体教室、投影仪、计算机、黑板。

2.课程平台：学校数学教学平台。

3.信息化资源：数学软件（如GeoGebra）、教学PPT、在线数学练习题库。

4.教学手段：案例教学、图形演示、课堂讨论、小组合作。教学过程一、导入新课

1.各位同学，大家好。上一节课我们学习了导数在函数研究中的应用，今天我们将利用导数的知识来探究一种新的数学方法——牛顿法。牛顿法可以帮助我们求解方程的近似解。请大家打开课本，翻到第三章“探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解”。

二、探究牛顿法原理

1.首先，我们来看一下牛顿法的原理。请大家跟随我一起阅读教材中的相关内容。牛顿法的基本思想是利用函数在某一点的切线来逼近函数的根。

2.（板书）设方程f(x)=0的根为a，我们选择一个初始值x0，然后通过以下公式迭代计算：

x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)

3.现在，我想请大家尝试解释一下这个公式的含义。哪位同学愿意分享一下？

（学生回答后，老师总结）很好，这位同学说得非常准确。这个公式是通过函数在某一点的切线斜率（即导数）来调整下一次的近似值。

三、示例讲解

1.接下来，我们通过一个具体的例子来理解牛顿法。请看教材例1，求解方程x^3-x-2=0在x=2附近的根。

2.（板书并演示）首先，我们确定初始值x0=2，然后根据牛顿法公式计算x1、x2、x3，直到我们得到一个足够接近真实根的近似值。

3.现在，请大家跟随我一起计算，看看能否得到相同的结果。

（学生跟随计算，老师指导并解答疑问）

四、课堂练习

1.现在，请大家尝试独立完成教材练习题1，求解方程x^2-5=0在x=2附近的根。

2.（学生在练习，老师巡视并指导）

3.好的，我看到大多数同学都已经完成了练习。现在，请一位同学来分享一下你的答案和计算过程。

（学生分享，老师点评并总结）

五、难点讲解

1.接下来，我们来探讨一下牛顿法的难点。第一个难点是如何选择合适的初始值x0。请大家阅读教材中的相关内容，并思考为什么初始值的选择会影响牛顿法的收敛性。

2.（学生思考后，老师总结）对，选择合适的初始值可以加快收敛速度，甚至影响牛顿法是否能够收敛到方程的根。

3.第二个难点是迭代误差的控制。请大家阅读教材中关于迭代误差的分析，并尝试解释如何控制误差。

4.（学生思考后，老师总结）正确，通过选择适当的迭代次数和观察近似值的变化，我们可以合理控制迭代误差。

六、小组讨论

1.现在，请大家分成小组，讨论以下问题：牛顿法在实际应用中有哪些限制？如何克服这些限制？

2.（学生分组讨论，老师巡视并指导）

3.各小组分享讨论成果，老师总结并点评。

七、总结与反思

1.通过今天的学习，我们了解了牛顿法的基本原理和应用。请大家回顾一下我们今天所学的内容，并思考牛顿法在实际问题中的应用。

2.现在，请大家合上课本，闭上眼睛，思考一下：如果你遇到一个复杂的方程求解问题，你会如何利用牛顿法来求解？

（学生反思后，老师总结）很好，今天我们学习了牛顿法，这是一种非常实用的数学方法。希望大家能够将所学知识运用到实际问题中，解决更多的数学问题。

八、布置作业

1.请大家完成教材课后习题1、2、3。

2.思考题：如何利用牛顿法求解非线性方程组的近似解？

（学生记录作业，老师结束本节课）教学资源拓展1.拓展资源：

-拓展阅读：推荐学生阅读《数学分析》中关于实根存在定理和牛顿迭代法的相关章节，以加深对实数根求解方法的理解。

-数学研究论文：介绍一些利用牛顿法进行方程求解的数学研究论文，如《牛顿法在求解非线性方程中的应用》等，让学生了解该方法的实际应用和前沿动态。

-数学软件使用：推荐学生使用Mathematica、MATLAB等数学软件，这些软件内置了牛顿法求解方程的功能，可以帮助学生更好地理解算法和进行实际操作。

-在线教育资源：介绍一些在线教育平台，如KhanAcademy、Coursera上的相关课程，这些资源可以为学生提供额外的学习材料和练习题。

2.拓展建议：

-深入理解牛顿法原理：鼓励学生通过阅读教材外的数学资料，进一步理解牛顿法背后的数学原理，如切线逼近法、函数的连续性和可导性等。

-实践操作与模拟：建议学生使用数学软件进行牛顿法的实际操作，通过模拟方程求解过程，加深对迭代步骤和误差控制的理解。

-探索不同初始值的影响：鼓励学生通过改变初始值，观察牛顿法求解方程的收敛性和解的变化，从而更好地掌握初始值选择的重要性。

-研究牛顿法的改进算法：引导学生研究牛顿法的改进算法，如牛顿下山法、拟牛顿法等，了解它们在处理特定类型方程时的优势。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如数学建模竞赛，这些竞赛中常常会涉及到利用牛顿法求解实际问题的题目，通过竞赛可以锻炼学生的实际应用能力。

-跨学科学习：建议学生将牛顿法的学习与其他学科相结合，如物理、工程等，探索牛顿法在其他领域中的应用。

-开展小组讨论：鼓励学生组成学习小组，针对牛顿法的不同应用场景进行讨论，分享各自的学习心得和发现，促进知识的深入理解和交流。

-撰写研究报告：建议学生选择一个与牛顿法相关的研究课题，撰写研究报告，通过整理和总结学习内容，提高自己的学术研究能力。内容逻辑关系①牛顿法的基本原理

-重点知识点：牛顿法的迭