【全程复习方略】2020年数学文(广西用)课时作业：第八章-第五节圆锥曲线的综合问题

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十二)一、选择题1.(2021·济南模拟)过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=()(A)-2 (B)-QUOTE (C)-4 (D)-QUOTE2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()(A)[-QUOTE,QUOTE] (B)[-2,2](C)[-1,1] (D)[-4,4]3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为()(A)1 (B)QUOTE (C)2 (D)2QUOTE4.若点O和点F分别为椭圆QUOTE+QUOTE=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则QUOTE·QUOTE的最大值为()(A)2 (B)3 (C)6 (D)85.(力气挑战题)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为()(A)QUOTE+2 (B)QUOTE+1 (C)QUOTE-2 (D)QUOTE-16.(2021·河池模拟)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1·e2的取值范围是()(A)(0,+∞) (B)(QUOTE,+∞)(C)(QUOTE,+∞) (D)(QUOTE,+∞)二、填空题7.(2021·南宁模拟)过椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若QUOTE<k<QUOTE,则椭圆离心率的取值范围为.8.设连接双曲线QUOTE-QUOTE=1与QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的4个顶点的四边形面积为S1,连接其4个焦点的四边形面积为S2,则QUOTE的最大值为.9.过抛物线y2=2px(p>0)上确定点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,则QUOTE的值为.三、解答题10.(2021·广州模拟)如图,已知椭圆C:QUOTE+y2=1(a>1)的上顶点为A,离心率为QUOTE,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且QUOTE·QUOTE=0.(1)求椭圆C的方程.(2)求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.11.(力气挑战题)已知椭圆E:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的离心率e=QUOTE,a2与b2的等差中项为QUOTE.(1)求椭圆E的方程.(2)A,B是椭圆E上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(t,0),求实数t的取值范围.12.已知椭圆C1:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线C2:y2=4x的焦点重合,椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P,|PF2|=QUOTE.圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点,圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4.(1)求椭圆C1的方程.(2)证明:无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上确定点.13.(2021·成都模拟)给定椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),称圆心在坐标原点O,半径为QUOTE的圆是椭圆C的“伴随圆”,若椭圆C的一个焦点为F2(QUOTE,0),其短轴上的一个端点到F2的距离为QUOTE.(1)求椭圆C及其“伴随圆”的方程.(2)若过点P(0,m)(m<0)的直线与椭圆C只有一个公共点,且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2QUOTE,求m的值.(3)过椭圆C“伴随圆”上一动点Q作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,试推断直线l1,l2的斜率之积是否为定值,并说明理由.答案解析1.【解析】选D.由y=2x2得x2=QUOTEy,其焦点坐标为F(0,QUOTE),取直线y=QUOTE,则其与y=2x2交于A(-QUOTE,QUOTE),B(QUOTE,QUOTE),∴x1x2=(-QUOTE)·(QUOTE)=-QUOTE.【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探究其值即可.2.【解析】选C.设直线方程为y=k(x+2),与抛物线联立方程组,整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点.当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1且k≠0.综上-1≤k≤1.3.【解析】选D.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a2-b2=c2,由题意,QUOTE·2c·b=1,∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.∴a≥QUOTE.∴长轴的最小值为2QUOTE.4.【解析】选C.设P(x0,y0),则QUOTE+QUOTE=1即QUOTE=3-QUOTE,又∵F(-1,0),∴QUOTE·QUOTE=x0·(x0+1)+QUOTE=QUOTE+x0+3=QUOTE(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],∴(QUOTE·QUOTE)∈[2,6],所以(QUOTE·QUOTE)max=6.5.【思路点拨】画出图象,通过图象可知点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1,过焦点F作直线l的垂线,此时d1+d2最小,依据抛物线方程求得F的坐标,进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值.【解析】选D.如图所示,由抛物线的定义知,|PF|=d1+1,∴d1=|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|-1,明显当直线PF垂直于直线x-y+4=0时,d1+d2最小,此时d2+|PF|为F到直线x-y+4=0的距离.由题意知F点的坐标为(1,0),所以(d2+|PF|)min=QUOTE=QUOTE.∴(d1+d2)min=QUOTE-1.6.【解析】选B.由题意知|PF1|=r1=10,|PF2|=r2=2c,且r1>r2.e2=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE;e1=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.∵三角形两边之和大于第三边,2c+2c>10,即c>QUOTE,∴e1·e2=QUOTE=QUOTE>QUOTE,因此选B.7.【解析】由题意知:B(c,QUOTE),∴k=QUOTE=QUOTE=1-e.又QUOTE<k<QUOTE,∴QUOTE<1-e<QUOTE,解得QUOTE<e<QUOTE.答案:(QUOTE,QUOTE)8.【思路点拨】将QUOTE用a,b表示,利用基本不等式求最值.【解析】S1=QUOTE·2a·2b=2ab,S2=QUOTE·2QUOTE·2QUOTE=2(a2+b2),QUOTE=QUOTE(a>0,b>0),∴QUOTE=QUOTE≤QUOTE(当且仅当a=b时取等号).答案:QUOTE9.【解析】设直线PA的斜率为kPA,PB的斜率为kPB,由QUOTE=2px1,QUOTE=2px0,得kPA=QUOTE=QUOTE,同理kPB=QUOTE,由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,因此QUOTE=-QUOTE,即y1+y2=-2y0(y0>0),那么QUOTE=-2.答案:-210.【解析】(1)依题意有QUOTE⇒QUOTE故椭圆C的方程为:QUOTE+y2=1.(2)由QUOTE·QUOTE=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-QUOTEx+1(k≠0).将y=kx+1代入椭圆C的方程QUOTE+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-QUOTE,因此P的坐标为(-QUOTE,-QUOTE+1),即(-QUOTE,QUOTE),将上式中的k换成-QUOTE,得Q(QUOTE,QUOTE).直线l的方程为y=QUOTE(x-QUOTE)+QUOTE,化简得直线l的方程为y=QUOTEx-QUOTE,因此直线l过定点N(0,-QUOTE).11.【解析】(1)由题意得QUOTE解得:QUOTE.即椭圆E的方程为QUOTE+QUOTE=1.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.又交点为P(t,0),故|PA|=|PB|,即(x1-t)2+QUOTE=(x2-t)2+QUOTE,∴t=QUOTE+QUOTE①∵A,B在椭圆上,∴QUOTE=4-QUOTE,QUOTE=4-QUOTE.将上式代入①,得t=QUOTE.又∵-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,∴-6<x1+x2<6,则-QUOTE<t<QUOTE,即实数t的取值范围是(-QUOTE,QUOTE).【一题多解】(1)同原题.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.(ⅰ)若y1=y2,则线段AB的垂直平分线方程为x=0,即t=0.(ⅱ)若y1≠y2,则线段AB的垂直平分线方程为y-QUOTE=-QUOTE(x-QUOTE).∵P(t,0)在直线上,∴t=QUOTE+QUOTE①∵A,B在椭圆上,∴QUOTE=4-QUOTE,QUOTE=4-QUOTE.将上式代入①,得t=QUOTE.又∵-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,∴-6<x1+x2<6,则-QUOTE<t<QUOTE.综合(ⅰ)(ⅱ)得实数t的取值范围是(-QUOTE,QUOTE).12.【思路点拨】(1)依据抛物线的方程,求出其焦点坐标,然后求出椭圆的焦点坐标,通过定义建立方程,化简即可得到椭圆C1的方程.(2)设出点T的坐标,将抛物线方程代入圆的方程,得到一元二次方程,利用此方程恒成立求解.【解析】(1)∵抛物线C2:y2=4x的焦点坐标为(1,0),∴点F2的坐标为(1,0).∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(-1,0),抛物线C2的准线方程为x=-1.设点P的坐标为(x1,y1),由抛物线的定义可知|PF2|=x1+1,∵|PF2|=QUOTE,∴x1+1=QUOTE,解得x1=QUOTE.由QUOTE=4x1=QUOTE,且y1>0,得y1=QUOTE.∴点P的坐标为(QUOTE,QUOTE).在椭圆C1:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)中,c=1.2a=|PF1|+|PF2|=QUOTE+QUOTE=4,∴a=2,b=QUOTE=QUOTE,∴椭圆C1的方程为QUOTE+QUOTE=1.(2)设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r,∵圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4,∴|MN|=2QUOTE=4,∴r=QUOTE,∴圆C3的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=4+QUOTE(*),∵点T是抛物线C2:y2=4x上的动点,∴QUOTE=4x0(x0≥0),∴x0=QUOTE.把x0=QUOTE代入(*)消去x0整理得:(1-QUOTE)QUOTE-2yy0+(x2+y2-4)=0(**)方程(**)对任意实数y0恒成立,∴QUOTE解得QUOTE∵点(2,0)在椭圆C1:QUOTE+QUOTE=1上,∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上确定点(2,0).13.【解析】(1)由题意得:a=QUOTE,半焦距c=QUOTE,则b=1,椭圆C方程为QUOTE+y2=1,“伴随圆”方程为x2+y2=4.(2)设过点P且与椭圆有一个交点的直线为:y=kx+m.则QUOTE整理得(1+3k2)x2+6kmx+(3m2-3)=0,所以Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)=0,解3k2+1=m2①.又由于直线截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2QUOTE,则有2QUOTE=2QUOTE,化简得m2=2(k2+1)②.联立①②解得:k2=1,m2=4,所以k=±1,m=-2(∵m<0).(3)当l1,l2都有斜率时,设点Q(x0,y0),其中QUOTE+QUOTE=4,设经过点Q(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=k(x-x0)+y0由QUOTE消去y得到x2+3[kx+(y0-kx0)]2-3=0,即(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0,Δ=[6k(y0-kx0)]2-4·(1+3k2)[3(y0-kx0)2-3]=0,经过化简得到:(3-QUOTE)k2+2x0y0k+1-QUOTE=0,由于QUOTE+QUOTE=4,所以有(3-QUOTE)k2+2x0y0k+(QUOTE-3)=0,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,由于l1,l2与椭圆都只有一个公共点,所以k1,k2满足方程(3-QUOTE)k2+2x0y0k+(QUOTE-3)=0,因而k1k2=-1,即直线l1,l2的斜率之积为定值-1.【变式备选】在平面直角坐标系xOy中,椭圆G的中心为坐标原