【原创】江苏省2020-2021学年高二数学1-1随堂练习及答案：第二章-04双曲线的标准方程

高二数学随堂练习：双曲线及其标准方程1．3<m<5是方程eq\f(x2,m－5)＋eq\f(y2,m2－m－6)＝1表示的图形为双曲线的________条件．2．双曲线ky2－8kx2＋8＝0的一个焦点为(0,3)，则k＝________.3．已知双曲线eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为________．4．F1、F2为双曲线eq\f(x2,4)－y2＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．5．已知双曲线的焦点在y轴上，且a＋c＝9，b＝3，则双曲线的标准方程是________．6．椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1与双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值是________．7．F1、F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足PF1·PF2＝32，则∠F1PF2＝________.8．椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>n>0)与双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1·PF2的值为________．9．与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有公共焦点，且过点(3eq\r(2)，2)的双曲线的标准方程是________．10．设双曲线与椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．11.如图所示，在△ABC中，已知AB＝4eq\r(2)，且内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．12．设点P到点M(－1,0)，N(1,0)的距离之差为2|m|，到x轴、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．参考答案1解析：当3<m<5时，m－5<0，m2－m－6＝(m＋2)·(m－3)>0，∴该方程表示的图形为双曲线．当方程表示的图形为双曲线时，则(m－5)(m2－m－6)<0，即(m－5)(m＋2)(m－3)<0，解得m<－2或3<m<5.∴3<m<5是方程eq\f(x2,m－5)＋eq\f(y2,m2－m－6)＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要2解析：将ky2－8kx2＋8＝0化为标准方程kx2－eq\f(k,8)y2＝1.∵一个焦点为(0,3)，∴焦点在y轴上，即方程可化为eq\f(y2,－\f(8,k))－eq\f(x2,－\f(1,k))＝1，∴a2＝－eq\f(8,k)，b2＝－eq\f(1,k)，又∵c＝3，∴－eq\f(8,k)－eq\f(1,k)＝9，∴k＝－1.答案：－13解析：F1(－3,0)，设M(－3，y0)，代入双曲线方程求出|y0|＝eq\f(\r(6),2)，即MF1＝eq\f(\r(6),2)，又F1F2＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F1到直线F2M的距离d＝eq\f(MF1·F1F2,\r(MF\o\al(2,1)＋F1F\o\al(2,2)))＝eq\f(\f(\r(6),2)×6,\r(\f(6,4)＋36))＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)4解析：∵|PF1－PF2|＝2，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2＝4，即F1Feq\o\al(2,2)－2PF1·PF2＝4，∴20－4＝2PF1·PF2，∴PF1·PF2＝8.∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝4.答案：45解析：∵b＝3，∴c2＝a2＋9，又∵a＋c＝9，∴c＝5，a＝4，∴双曲线的标准方程是eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.答案：eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝16解析：∵双曲线的方程为eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1，∴a>0，∴焦点在x轴上．又∵椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1，∴a2<4.∵a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，∴a1＝－2(舍去)，a2＝1，故a＝1.答案：17解析：设∠F1PF2＝α，PF1＝r1，PF2＝r2.在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2cosα.∴cosα＝eq\f(r1－r22＋2r1r2－4c2,2r1r2)＝eq\f(36＋64－100,64)＝0.∴α＝90°.答案：90°8解析：如图，依据椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2eq\r(m)，∴(PF1＋PF2)2＝4m.①依据双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2eq\r(a)，∴(PF1－PF2)2＝4a.由①－②，得PF1·PF2＝m－a.答案：m－a9解析：法一：设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，∵双曲线过点(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(3\r(2)2,a2)－eq\f(22,b2)＝1.①∵c＝2eq\r(5)，∴a2＋b2＝(2eq\r(5))2.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝12，,b2＝8.))故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.法二：设双曲线方程为eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,4＋k)＝1(－4<k<16)，将点(3eq\r(2)，2)代入，得eq\f(3\r(2)2,16－k)－eq\f(22,4＋k)＝1，解得k＝4或k＝－14(舍去)，所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.答案：eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝110解：设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，所以c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为eq\r(15)，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(42,a2)－\f(\r(15)2,b2)＝1，,a2＋b2＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.))所以所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.11解：如图所示，以边AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(2)，0)．设△ABC三内角A，B，C所对边长分别为a′，b′，c′.由正弦定理eq\f(a′,sinA)＝eq\f(b′,sinB)＝eq\f(c′,sinC)＝2R及2sinA＋sinC＝2sinB得2a′＋c′＝2b′，即b′－a′＝eq\f(c′,2).∴CA－CB＝eq\f(1,2)AB＝2eq\r(2)<AB.由双曲线的定义知点C的轨迹为双曲线的右支．∵a＝eq\r(2)，c＝2eq\r(2)，∴b2＝c2－a2＝6.∴顶点C的轨迹方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1(x>eq\r(2))．12解：设点P的坐标为(x，y)，依题意，得eq\f(|y|,|x|)＝2，即y＝±2x(x≠0)①.因此，点P(x，y)，M(－1,0)，N(1,0)三点不共线且PM≠PN，则|PM－PN|<MN＝2.由于|PM－PN|＝2|m|>0，所以0<|m|<1.因此，点P在以M，N为焦点的双曲线上(除去与x轴的两个交点)，故eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,1－m2)＝1(y≠0)②.将①代入②，得x2(1－m2)－4m2x2＝m