二次根式性质VIP

二次根式性质一、基本概念1.二次根式：形如√a的式子，其中a为非负实数，成为二次根式。2.被开方数a称为二次根式的被开方数，a≥0。3.开方号称为二次根式的根号，记作。4.如果二次根式化简之后仍然是二次根式，则称为真二次根式，否则称为假二次根式。5.当被开方数是完全平方数时，二次根式可进行化简为有理数，反之则不能。二、化简二次根式化简二次根式的基本思路是化简根号下的被开方数。（一）、化简根号下的正整数1.完全平方式的化简若a=k^2(k为正整数)，则有√a=√k^2=k2.非完全平方式的化简a=p×q(p、q均为正整数，且p、q互质)，则有√a=√p×q=√p×√q（根号下相乘）（二）、化简根号下的分数a=c/b(c、b为正整数，且c、b互质)√a=√c/b=√c/√b（即根号下添上约分后的分母）（三）、化简根号下的二次根式一般可以采用分子有理化的方法，去掉根号下的分母。也可以采用“倒扣法”计算式子:设x=√a+√b，则x^2=a+b+2√ab,即2√ab=x^2-a-b,从而可以解出√ab；进而将二次根式化为一个式子。（四）、化简混合根式就是根号下含有分数和正整数的根式。常用的方法：1.分子有理化法2.“倒扣法”3.结合规律即3√3×√12=3×√3×√4×√3=6√3（将部分项先合并）（五）、分解质因数最后不行化简再分解质因数（六）、倍增、约减如果遇到开平方数很复杂的二次根式，可以将被开方数简化为较小的数，再逐步推导出化简形式。三、加减乘除二次根式（I）、加减二次根式同类项相加减，不同类项按一下规则化公式：化简(√a±√b)±(√a∓√b)时，考虑式子包含的两个根号内的因数组合(1).同类项的加减表达式情况1：两根号为同类，则直接合并两根号下的数即可，以(3√3)为例：3√3+2√3=(3+2)√3=5√3。情况2：两根号不同类，需化公共项，以√2+√7为例，化为(√2+√7)×(1+√4/√7-1)=(√2+√7+2√2-√7)/√7=(√2+2√7)/√7情况3：两根号相加减的式子中含有分数，以1/√2+2√2为例子，应化为：1/√2+2√2=√2/(√2×√2)+2√2=√2/2+2√2=(√2+4√2)/2=5√2/2(2).非同类项的加减(√a±√b)±(√c±√d)是不可以直接进行加减的，此时需要使用倍增法。方法：1.化简2.合并同类项3.最后将非同类的、同次幂的和并即可如：（3√2+2√3）+（4√3-5√2）化简为（-2√2+7√3）后，合并同类项即可。（II）、乘法运算(1)化简√a×√b即如何将根式相乘简化为含根式的最简形式。时常采用正反合并法或化为同次幂法。化简规律：1.同类项相乘2.不同类项相乘先将两个因数中含根号的项全部提取出来，两两相乘，然后两两相加a×√a=a2a×√ab=a×√a×√b=a√ab（2）乘方运算式中含有二次根式的情况。当二次根式中有含变量的因数时，询问是否解出变量；当二次根式中有含参数和实数的因数时，直接化简为有理数即可。（III）、除法运算将根式分子分母都化成简化后的最简形式后，分别除以分母的化简式，并提取根号，最终得到含根式的有理数。四、二次根式的应用应用广泛，尤其在勾股定理、三角恒等式、立方差公式的推导中，二次根式能更直观、简洁地表达式子，方便运算。（一）、勾股定理由于√2不是有理数，所以在证明勾股定理时，需要使用二次根式的性质。勾股定理成立的证明原理主要是基于勾股定理成立的几何关系，可以用平方的运算来证得。由于构造勾股定理三元组的时候需要用到的√2不是有理数，所以在证明勾股定理的过程中，涉及了二次根式的性质。（二）、三角恒等式三角恒等式中超出了基本的几何定理，还需要通过二次根式的运算来完成求解。如sinα±sinβ、cosα±cosβ以及tanα±tanβ等二次根式的展开与化简，在推导三角恒等式时有着广泛应用。（三）、立方差公式立方差公式常常用于求两个数之积、差、和。求解