2023-2024学年人教版九年级数学上册专项突破：圆周角（解析版）

专题18圆周角

考点1：圆周角定理；考点2：圆内接四边形的性质。

题型01圆周角定理

1.（易错题）如图，AC,8c为。。的两条弦，D、G分别为NC,8c的中点，的半径为2.若/C=45°,则

3-

A.2B.V3C.-D.V2

解：如图，连接40、BO、AB,

VZC=45°,

；・N4OB=2/C=90°,

•・・。。的半径为2,

.\AO=BO=2,

:.AB=2®

・・,点。、G分别是4C、的中点,

1一

.\DG=^AB=y/2-

答案：D.

2.（易错题）如图，AB,4C是。O的弦，OB,OC是的半径，点尸为。5上任意一点（点?不与点5重合）,

连接CP若/B4c=70°,则N5尸C的度数可能是（)

A

A.70°B.105°C.125°D.155°

解：如图，连接BC,

三A

•：/BAC=70°,

AZBOC=2ZBAC=140°,

•：OB=OC,

180°-140°

：.ZOBC-ZOCB-2-20°,

•,・点尸为08上任意一点（点P不与点5重合），

.,.0°<ZOCP<20°,

VZBPC=Z5OC+ZOCP=140°+/OCP,

.'.140°<ZBPC<\60°,

答案：D.

3.如图，在。。中，半径04,05互相垂直，点C在劣弧48上.若/4BC=19°,贝I|NA4C=（

A

A.23°B.24°C.25°D.26°

解：连接。。,

VZABC=19°,

AZAOC=2ZABC=3S°,

•・•半径04,05互相垂直，

AZAOB=90°,

AZBOC=90°-38°=52°,

1

AABAC=-ZBOC=26°,

答案：D.

4.如图，AB,CD是。。的两条直径，E是劣弧瓦:的中点，连接BC,DE.若/4BC=22°,则NCQ£的度数为

()

A.22°B.32°C.34°D.44°

解：连接OE,

•：OC=OB,ZABC=22°,

：.ZOCB=ZABC=22°,

・・・N5OC=180°-22°X2=136°,

・・,E是劣弧能的中点，

CE=BE,

1

：.ZCOE=~x136°=68°,

11

由圆周角定理得：ZCDE=-ZCOE=2x68°=34°,

答案：C.

5.如图，点4,B,。在半径为2的。。上，ZACB=60°,ODLAB,垂足为£,交。。于点。，连接04,贝U0E

的长度为1.

解：如图，连接08,

VZACB=60°,

AZAOB=2ZACB=120°,

9

：OD.LABf

：.AD=Bb,ZOEA=90°,

1

AZAOD=ZBOD=-ZAOB=60°,

：.ZOAE=90°-60°=30°,

11

OE=—OA=5x2=1,

答案：1.

6.如图，是。。的直径，点D,M分别是弦NC,弧NC的中点，AC=\2,BC=5,则MD的长是4

解：•.•点加是弧NC的中点,

：.OM±AC,

・・・45是。。的直径，

：.ZC=90°,

•・・/C=12,BC=5,

••AB=V122+52=13,

：.OM=6.5f

••,点。是弦ZC的中点，

1

：.OD=-BC=2.5,OD//BC,

：.ODLAC,

・・・O、D、/三点共线，

：.MD=OM-OD=6.5-2.5=4.

答案：4.

7.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得

13

12cm,BC=5cm,则圆形镜面的半径为~cm-

解：连接ZC,

VZABC=90°,且N4BC是圆周角,

・・・4。是圆形镜面的直径，

由勾股定理得：AC=4AB1+BC2=71224-52=13(cm),

13

所以圆形镜面的半径为~cm,

13

答案:~cm.

8.如图，已知43是。。的弦，ZAOB=120°,OCLAB,垂足为C,OC的延长线交。。于点D若NAPD是俞

所对的圆周角，则N4尸。的度数是30°

,\AD=BD,

：./AOD=/BOD,

VZAOB^nO0,

1

ZAOD=ZBOD=-ZAOB=60°,

11

ZAPD=-ZAOD=2X60°=30°，

答案：30°.

9.(易错题)如图，OA,OB,OC都是的半径，NACB=2NBAC

(1)求证：ZAOB=2ZBOC；

(2)若45=4,BC=返,求OO的半径.

11

(1)证明：'：^.ACB=-Z-AOB,乙BAC=3乙BOC,NACB=2NBAC,

：.ZAOB=2ZBOC；

（2）解：过点O作半径45于点区连接。5,

,?ZAOB=2ZBOC,ZDOB=~ZAOB,

：.ZDOB=ZBOC.

：.BD=BC.

*8=4,BC=V5.

DB=V5，

在RtABDE中，ZDEB=90°,

DE=BD2-BE2=1)

在RtZsBOE中，/OEB=9G°,

OB2=(OB-1)2+22,

5

解得。8=

5

即OO的半径是

10.如图，四边形48CD内接于(DO,8。为。。的直径，AC平分/BAD,C£>=2五，点£在3C的延长线上，连

接DE.

(1)求直径8。的长；

(2)若BE=5五,计算图中阴影部分的面积.

解：（1）为O。的直径,

：./BCD=NDCE=90°,

平分NB4D,

・•・NBAC=ADAC,

:,BC=DC=2瓜

••BD—2xs/2.=4；

(2)•:BE=5瓜

:.CE=3®

■:BC=DC,

1厂厂

:・S阴影=5X2V2X3v2=6.

题型02圆内接四边形的性质

11.（易错题）如图，四边形45cZ）内接于。。，BC//AD,AC.LBD.若//。。=120°，4。=百，则NCZO的度

数与BC的长分别为（）

A.10°，1B.10°,V2C.15°，1D.15°,V2

解：连接05,OC,

,:BC〃AD,

：.ZDBC=AADB,

'.AB=CD,

：.ZAOB=ZCOD,ZCAD=ZBDA,

■:DBL4C,

：.ZAED=90°,

：.ZCAD=ZBDA=45°，

：.ZAOB=2ZADB=90°,NCOD=2/CAD=90°,

VZAOD=nO°,

Z5OC=360°-90°-90°-120°=60°,

"：OB=OC,

:.XOBC是等边三角形，

：.BC=OB,

'：OA=OD,ZAOD=120°,

：.ZOAD=ZODA=30°,

•'•AD=百CM=V3，

：.OA=\,

：.BC=\,

：.ZCAO=ZCAD-ZOAD=45°-30°=15°.

答案：C.

12.如图，圆内接四边形/BCD中，/BCD=105°,连接08,OC,OD,BD,ZBOC=2ZCOD.则NC5。的度

数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

解：•・,四边形/BC。是。。的内接四边形，

・・・N/+N5CD=180°,

VZBCD=105°,

ZA=75°,

AZBOD=2ZA=150°,

•・・ZBOC=2ZCOD,

：.ZBOD=3ZCOD=150°,

：.ZCOD=50°,

1

：.ZCBD=-ZCOD=25°,

答案：A.

13.如图，四边形4BCD是。。的内接四边形，若NBCD=121°,则的度数为（）

A.138°B.121°C.118°D.112°

解：：四边形N3CD是的内接四边形，

AZA+ZBCD^1SO0,

/.Z^=180°-121°=59°,

AZBOD=2ZA=2X59°=118°,

答案：C.

14.如图，四边形/BCD内接于OO,延长ND至点E,已知//OC=140°那么如C£>£=70

解：ZCDE+ZADC=^0°,Z5+Zy4Z)C=180°,

：.ZCDE=ZB,

11

VZB=-ZAOC=-x140°=70°,

:.NCDE=70°.

答案：70.

15.如图，四边形/BCD是。。的内接四边形，8c是。。的直径，BC=2CD,则/34D的度数是120

解：如图，连接OD,

0

•・・3。是。。的直径，BC=2CD,

：.OC=OD=CD,

・•・△COD为等边三角形，

AZC=60°,

,/四边形ABCD是O。的内接四边形，

ZBAD+ZC=180°,

AZBAD=nO°,

答案：120.

16.（易错题）如图，四边形45。。内接于O。，它的3个外角NE4BZFBC,/GCD的度数之比为1：2：4,则

ZD=72°.

D'AE

解：如图，延长ED到凡

“二

•.•四边形/BCD内接于OO,

ZABC+ZADC=ZBAD+ZBCD=180a,

又＜/EAB,ZFBC,NGCD的度数之比为1：2：4,

ZEAB,NFBC,ZGCD,/CD/f的度数之比为1：2：4：3,

VZEAB+ZFBC+ZGCD+ZCDH=360°,

3

：.ZCDH=360°、诲寸1°8。，

：.ZADC=180°-108°=72°，

答案：72.

17.（易错题）如图，的内接四边形/5CZ）两组对边的延长线分别交于点E、F.

(1)若NE=N/时，求证：ZADC=ZABC；

(2)若/E=NF=42°时，求N4的度数;

(3)若NE=a,ZF=p,且a#0.请你用含有a、0的代数式表示N4的大小.

解：(1)/E=/F,

•・•ZDCE=/BCF,

NADC=/E+/DCE,NABC=NF+/BCF,

：.ZADC=ZABC；

(2)由(1)知N4DC=N4BC,

•・•ZEDC=/ABC,

：.ZEDC=ZADC,

：.ZADC=90°,

AZA=90°-42°=48°；

（3）连接跖，如图,

A

•..四边形/BCD为圆的内接四边形,

NECD=NA,

,?ZECD=Z1+Z2,

：.ZA=Z1+Z2,

'：ZA+Z1+Z2+ZAEB+ZAFD=18O°,

；.2N/+a+B=180°,

a+B

：.ZA=90°

18.（易错题）如图，圆内接四边形/BCD的对角线NC,BD交于点、E,BD平分NABC,ZBAC=ZADB.

(1)求证DB平分/