2025年沪科版高三数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高三数学下册月考试卷473考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、如图是一个几何体的三视图；其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）

A.12πB.8πC.16πD.8π2、对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]=1，[-2.1]=-3．定义在R上的函数f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f（x），0＜x＜1}，则A中元素的最大值与最小值之和为（）A.11B.12C.14D.153、实数a=0是直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4、函数f（x）=x3-6b2x+3b在（0，1）内有极小值，则（）A.b＞0B.b＜C.0＜b＜D.b＜15、如果函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后；所得图象关于原点对称，那么函数f（x）的图象（）

A.关于点（0）对称。

B.关于直线x=对称。

C.关于点（0）对称。

D.关于直线x=对称。

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、观察下列等式。

照此规律，第100个等式12-22+32-42+-1002=____．7、已知函数f（x）=x（ex-e-x）-（2x-1）（e2x-1-e1-2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为____．8、二项式（2x2-）n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式的第3项的系数为____．9、已知两个单位向量，满足|+2|=，则，的夹角为____．10、已知展开式（x-1）6=a+a1x++a6x6，则a+a6的值为____．11、【题文】已知正三角形内切圆的半径是高的把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.评卷人得分三、判断题(共6题，共12分)12、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．13、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）14、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．15、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）16、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）17、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、其他(共3题，共12分)18、已知函数f（x）=

（Ⅰ）求f（f（））的值；

（Ⅱ）若f（a）=；求实数a的值；

（Ⅲ）求不等式f（x+1）＞的解集．19、已知定义在[-3；3]上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＜0．

（1）求证：函数f（x）是奇函数；

（2）求证：函数f（x）在[-3；3]上是减函数；

（3）解不等式f（2x-1）+f（3x+2）＜0．20、已知关于x的不等式（ax-5）（x2-a）＜0的解集为M．

（1）当a=4时；求集合M；

（2）当3∈M，且5∉M时，求实数a的取值范围．评卷人得分五、简答题(共1题，共10分)21、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，当E、F分别在线段AD、BC上，且AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直。1.判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；2.当直线AC与平面EFCD所成角为多少时，二面角A—DC—E的大小是60°。评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)22、已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）求经过点P（-2，0）分别作斜率为k1、k2（k1≠k2）的两条直线，两直线分别与椭圆C1交于M、N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1•k2的值．23、若点P（1，-1）在角φ（-π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为____．24、已知函数f（x）=ex-x-1（e为自然对数的底数；e=2.71828）

（1）判断函数f（x）的零点个数；并说明理由；

（2）已知n∈N*，且，An是等差数列{an}的前n项和，Bn是首项为e-1的等比数列{bn}的前n项和，请求出数列{an}，{bn}的通项公式；

（3）若{x|f（x）＞ax-1}∩{x|≤x≤2}=∅，求实数a的取值范围．25、点P是圆x2+y2=16上的一个动点；过点P作D垂直于x轴，垂足为D，Q为线段PD的中点．

（Ⅰ）求点Q的轨迹方程．

（Ⅱ）已知点M（1，1）为上述所求方程的图形内一点，过点M作弦AB，若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】【分析】由三视图判断出几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，求出对应的高和底面的边长，根据它的外接球是对应直三棱锥的外接球，由外接球的结构特征，求出它的半径，代入表面积公式进行求解．【解析】【解答】解：由三视图可知；底面是一个等腰直角三角形，高为2的三棱锥，则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球；

设几何体外接球的半径为R，因底面是等腰直角三角形，则底面外接圆的半径为；

∴4R2=8+4=12，∴外接球的表面积是4πR2=12π．

故选：A．2、A【分析】【分析】由新定义和分类讨论的思想，可得A中的所有元素，可得最大值和最小值，相加可得．【解析】【解答】解：∵[x]表示不超过x的最大整数；A={y|y=f（x），0＜x＜1}；

当0＜x＜时，0＜2x＜，0＜4x＜；0＜8x＜1，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+0=0；

当≤x＜时，≤2x＜，≤4x＜1；1≤8x＜2，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+1=1；

当≤x＜时，≤2x＜，1≤4x＜；2≤8x＜3，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1=2=3；

当≤x＜时，≤2x＜1，≤4x＜2；3≤8x＜4，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1+3=4；

当≤x＜时，1≤2x＜，2≤4x＜；4≤8x＜5，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+4=7；

当≤x＜时，≤2x＜，≤4x＜3；5≤8x＜6，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+5=8；

当≤x＜时，≤2x＜，3≤4x＜；6≤8x＜7，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+6=10；

当≤x＜1时，≤2x＜2，≤4x＜4；7≤8x＜8，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+7=11；

∴A中所有的元素为：0；1，3，4，7，8，10，11；

∴A中元素的最大值与最小值之和为：0+11=11

故选：A3、C【分析】【分析】当a=0时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=0，故必要性成立．【解析】【解答】解：若“a=0“成立，则两条直线的方程为x=1；x=；此时两直线平行，故充分性成立．

直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行时，由斜率相等得=；解得a=0，故必要性成立

故“实数a=0是直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行”充要条件．

故选C4、C【分析】【分析】先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0求出x（用b表示）的值，再由x的范围确定b的范围．【解析】【解答】解：f′（x）=3x2-6b2，令f′（x）=0，得x=±b．

∵f（x）在（0；1）内有极小值；

∴0＜b＜1．

∴0＜b＜．

故选C．5、B【分析】

函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）．

再由所得图象关于原点对称，可得y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，k∈z，∴φ=-．

可得函数f（x）=sin（2x-）．

故当x=时，函数f（x）取得最大值为1，故函数f（x）的图象关于直线x=对称；

故选B．

【解析】【答案】根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得，所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x++φ）．根据y=sin（2x++φ）为奇函数，可得+φ=kπ；k∈z，求得φ的值，从而可得f（x）的对称性．

二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】【分析】观察可得：等式的左边是连续正整数的平方差相加的形式，根据这一规律得第100个等式左边为12-22+32-42++992-1002，利用分组求和法、等差数列的前n项和公式求出左边式子的和．【解析】【解答】解：观察下列等式：

12=1

12-22=-3

12-22+32=6

12-22+32-42=-10

当n=100时，左边=（12-22）+（32-42）++[（99）2-1002]

=-（3+7+11+199）=-=-5050；

故答案为：-5050．7、略

【分析】【分析】根据条件构造函数g（x），利用函数的奇偶性和单调性的性质解不等式即可【解析】【解答】解：构造函数g（x）=x（ex-e-x）；

则g（x）=x（ex-e-x）为偶函数；且当x＞0时，g（x）单调递增；

则由f（x）＞0，得x（ex-e-x）＞（2x-1）（e2x-1-e1-2x）；

即g（x）＞g（2x-1）；

∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x-1|）；

即|x|＞|2x-1|；

即x2＞（2x-1）2；

∴3x2-4x+1＜0；

解得：＜x＜1；

故答案为：（，1）．8、略

【分析】【分析】由展开式中第3项与第4项的二项式系数相等可得，从而求得n值，再代入通项得答案．【解析】【解答】解：由题意可得；∴n=5．

则展开式的第3项的系数为．

故答案为：80．9、略

【分析】【分析】利用向量的模的计算公式，求出向量的夹角即可．【解析】【解答】解：因为|+2|=；

所以|+2|2==（）2；

又，是两个单位向量；

所以；

∴=-；

又；

所以cos=；

，的夹角为．

故答案为．10、略

【分析】

∵（1-x）6=（x-1）6=a+a1x++a6x6，则a==1，a6==1；

∴a+a6的值为1+1=2；

故答案为2．

【解析】【答案】由题意利用二项展开式的通项公式求得a==1，a6==1，由此求得a+a6的值．

11、略

【分析】【解析】【解题思路】从方法的类比入手。

[解析]原问题的解法为等面积法，即类比问题的解法应为等体积法，即正四面体的内切球的半径是高

【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比；还要注意方法的类比。

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等【解析】【答案】正四面体的内切球的半径是高三、判断题(共6题，共12分)12、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．13、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×14、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．15、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×16、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√17、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、其他(共3题，共12分)18、略

【分析】【分析】（Ⅰ）由分段函数的特点代值计算即可；

（Ⅱ）f（a）=可转化为或；解不等式组可得；

（Ⅲ）不等式f（x+1）＞可转化为或，分别解不等式组可得．【解析】【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=；

∴f（）=log3=-2；

∴f（f（））=f（-2）=2-2=；

（Ⅱ）f（a）=可转化为或；

解得a=或a=-2；

（Ⅲ）不等式f（x+1）＞可转化为或；

解得x＞-1或-2＜x≤-1

∴所求不等式的解集为：{x|x＞-1或-2＜x≤-1}．19、略

【分析】【分析】（1）先令x=y=0；求得f（0）=0，再令y=-x，即可证函数f（x）是奇函数；

（2）设-3≤x1＜x2≤3，作差f（x1）-f（x2）后化简；利用单调性的定义即可证明函数f（x）在[-3，3]上是减函数；

（3）函数f（x）是奇函数，f（2x-1）+f（3x+2）＜0⇔f（2x-1）＜-f（3x+2）=f（-3x-2），利用（2）函数f（x）在[-3，3]上是减函数，即可求得x的范围．【解析】【解答】（1）证明：令x=y=0；则f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．

令y=-x；则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，即。

f（-x）=-f（x）．

故函数f（x）是奇函数．

（2）证明：对于[-3，3]上的任意两个值x1，x2，且x1＞x2；

则f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）；

又x1＞x2，则x1-x2＞0；又当x＞0时，f（x）＜0．

∴f（x1-x2）＜0；

即f（x1）＜f（x2）．

故函数f（x）在[-3；3]上是减函数．

（3）解：由（2）知：函数f（x）在R上是减函数．

∵f（2x-1）+f（3x+2）＜0；

∴f（2x-1）＜-f（3x+2）=f（-3x-2）．

∴2x-1＞-3x-2；

解得x＞-．又；

所以解集为（-，]．20、略

【分析】【分析】（1）当a=4时，不等式即（ax-5）（x2-a）＜0，即（x-）（x-2）（x+2）＜0；用穿根法求出它的解集．

（2）当3∈M，且5∉M时，可得（3a-5）（9-a）＜0，且（5a-5）（25-a）≥0，由

求得实数a的取值范围．【解析】【解答】解：（1）当a=4时，不等式即（ax-5）（x2-a）＜0，即（x-）（x-2）（x+2）＜0；

由数轴标根法得x＜-2，或＜x＜2；

故M={x|x＜-2，或＜x＜2}．

（2）当3∈M；且5∉M时，可得（3a-5）（9-a）＜0，且（5a-5）（25-a）≥0；

∴，解得1≤a＜；或9＜a≤25；

故实数a的取值范围是{a|1≤a＜，或9＜a≤25}．五、简答题(共1题，共10分)21、略

【分析】

1.是异面直线，（1分）法一（反证法）假设共面为．．又．这与为梯形矛盾．故假设不成立．即是异面直线．（5分）法二：在取一点M，使又是平行四边形．则确定平面与是异面直线．2.法一:延长相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，设则△NDE中，平面平面平面．过E作于H，连结AH，则．是二面角的平面角，则．（8分）此时在△EFC中，．（10分）又平面是直线与平面所成的角,．（12分）即当直线与平面所成角为时，二面角的大小为法二：面面平面．又．故可以以E为原点，为x轴，为轴，为Z轴建立空间直角坐标系，可求设．则得平面的法向量则有可取．平面的法向量．．（8分）此时，．设与平面所成角为则．即当直线AC与平面EFCD所成角的大小为时，二面角的大小为．（12分）【解析】略【解析】【答案】六、综合题(共4题，共28分)22、略

【分析】【分析】（1）由椭圆的离心率和且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．

（2）设直线PM：y=k1（x+2），与椭圆联立，求出M，同理求出N，由直线MN与y轴垂直，得，由此能求出k1k2的值．【解析】【解答】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=；

且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同；

∴，解得a=2，c=；

b2=4-3=1；

∴椭圆C1的方程为．

（2）由题意，当k1=0时；M点的纵坐标为0，直线MN与y轴垂直，则点N的纵坐标也为0；

∴k1=k2=0，与k1≠k2矛盾，∴k1≠0；

设直线PM：y=k1（x+2）；

由，得；

解得或y=0（舍）；

∴M（，），同理N（，）；

∵直线MN与y轴垂直，∴=；

化简，得；

∴（k2-k1）（4k1k2-1）=0；

又由k1≠k2，得4k1k2-1=0；

∴k1k2=．23、略

【分析】【分析】由条件利用余弦函数的单调性，求得函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间．【解析】【解答】解：∵点P（1，-1）在角φ（-π＜φ＜0）终边上，∴φ=-；

函数y=3cos（x+φ）=3cos（x-），令2kπ≤x-≤2kπ+π；

求得2kπ+≤x-≤2kπ+．可得函数的减区间为[2kπ+，2kπ+]；k∈Z．

再结合x∈[0，π]，可得函数y=3cos（x+φ）的单调减区间为[；π]；

故答案为：[，π]．24、略

【分析】【分析】（1）求导数；确定函数的单调性，可得最小值，即可确定函数f（x）的零点个数；

（2）利用定积分，可得An+Bn=-+en-1；由等差数列