2024年北师大新版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大新版高一数学下册阶段测试试卷78考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、定义在R上的偶函数f（x）满足条件f（x+2）=f（x）；且在[-3，-2]上递减，若α，β是锐角三角形的两内角，以下关系成立的是（）

A.f（sinα）＜f（cosβ）

B.f（sinα）＞f（cosβ）

C.f（sinα）＞f（sinβ）

D.f（cosα）＜f（cosβ）

2、下列四说法：

①不等式0.52x＞0.5x-1的解集为（-1；+∞）；

②已知2m=3n=36，则的值为

③函数y=3+loga（2x+3）；（a＞0，a≠1）的图象恒经过的定点P的坐标为（-1，3）；

④已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，则．

其中正确的说法是（）

A.②③

B.②③④

C.①③④

D.①②③④

3、设为同平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，则的值一定等于（）A.以为两边的三角形面积；B.以为邻边的平行四边形的面积；C.以为两边的三角形面积；D.以为邻边的平行四边形的面积．4、偶函数在单调递减,若是锐角三角形的两个内角,则()(A)(B)(C)(D)5、的值为A.B.C.D.6、【题文】直线a、b、c及平面α、β,下列命题正确的是（）A.若aα，bα,c⊥a,c⊥b则c⊥αB.若bα,a//b则a//αC.若a//α,α∩β=b则a//bD.若a⊥α,b⊥α则a//b7、【题文】下列四个函数中，在区间上为减函数的是（）A.B.C.D.8、点O为△ABC内一点，且满足++4=设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，则=（）A.B.C.D.9、已知函数y=f(x)定义域为[2,4]，则的定义域为（）A.B.[1,2]C.[2,4]D.[4,16]评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、设是R上的偶函数,且在上递减,若那么x的取值范围是.11、【题文】已知集合集合则____．12、【题文】设集合则_________.13、【题文】若则组成的集合为14、用二分法求函数y=f（x）在区间[2，4]上零点的近似解，经验证有f（2）•f（4）＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f（2）•f（x1）＜0，则此时零点x0∈____（填区间）15、如图茎叶图中一组数据的中位数是____．

16、已知向量=（2，3），=（﹣4，1），则向量在向量方向上的投影为____．17、设集合A={0，1}，B={a，b，c}，则从A到B的映射个数为______．评卷人得分三、证明题(共5题，共10分)18、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．19、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．20、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．21、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．22、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分四、计算题(共4题，共32分)23、若x2-6x+1=0，则=____．24、如果从数字1、2、3、4中，任意取出两个数字组成一个两位数，那么这个两位数是奇数的概率是____．25、（模拟改编）如图；在△ABC中，∠B=36°，D为BC上的一点，AB=AC=BD=1．

（1）求DC的长；

（2）利用此图，求sin18°的精确值．26、若不等式|2x+1|-|2x-1|＜a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是____．评卷人得分五、解答题(共2题，共10分)27、【题文】（本小题满分12分）

电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（注：图中MN//CD）.试问：

（Ⅰ）若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？

（Ⅱ）方案B从500分钟后；每分钟收费多少元？

（Ⅲ）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？28、【题文】（本题满分12分）已知是定义在上的奇函数，且当时，．

（1）求在上的解析式；

(2)证明在上是减函数；

（3）当取何值时，在上有解．评卷人得分六、综合题(共3题，共6分)29、如图；Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．

（1）求证：△BPM∽△BAC；

（2）求y与x的函数关系式；并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；

（3）当点P从点C向点B移动时；是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x；y的值；若不存在，请说明理由．

30、如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A；B两点．

（1）求A；B，C三点的坐标；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．31、设直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk，则S1+S2++S2009=____．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】

∵定义在R上的偶函数f（x）满足条件f（x+2）=f（x）；且在[-3，-2]上递减；

∴f（x）在[-1；0]减，在[0，1]增；

又α；β是锐角三角形的两内角；

∴α+β＞即α＞-β，β＞-α

∴0＜sin（-β）＜sinα＜1，0＜sin（-α）＜sinβ＜1

∴0＜cosβ＜sinα＜1；0＜cosα＜sinβ＜1

∴f（cosβ）＜f（sinα）；f（cosα）＜f（sinβ）

考察四个选项；B符合要求。

故选B

【解析】【答案】由题设条件可以得出偶函数f（x）在[-1；0]减，在[0，1]增，根据α，β是锐角三角形的两内角比较出其函数值大小就可根据函数的单调性找出正确选项。

2、B【分析】

①由0.52x＞0.5x-1得2x＜x-1；解得x＜-1，解集不是区间形式，故①不对；

②由条件得，故②正确；

③令x=-1可得y=3故③正确；

④由y=log2x，x＞1得y＞0，∴A=y|y＞0}，故④正确．

综上所述；正确答案为②③④

故选B．

【解析】【答案】根据指数函数与对数函数的性质对四个结论逐一进行判断；可以得到正确的结论．

3、B【分析】【解析】试题分析：由题意可以画出图形：记记因为这三向量的起点相同，且满足与不共线，所以，由平面向量数量积的定义，=||OB||OC|cos|，又由于S△BOC=|OB||OC|sin所以||OB||OC|sin|=S四边形OBDC．故选B．考点：本题主要考查平面向量的数量积，平面向量在几何中的应用。【解析】【答案】B4、A【分析】偶函数在单调递减，则在单调递增，因是锐角三角形的两个内角，所以所以【解析】【答案】A5、B【分析】【解析】【答案】B6、D【分析】【解析】

试题分析：A中a,b可能是平行直线，所以得不出c⊥α；B中可能aα，所以得不出a//α；C中a//α，但是a与α内的直线的位置关系不确定，所以得不出a//b；由线面垂直的性质定理知D正确.

考点：本小题主要考查空间中直线与直线；直线与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力和思维的严密性.

点评：要正确解决这类题目，就要准确掌握空间中线线、线面之间的平行、垂直的判定定理与性质定理并且灵活应用.【解析】【答案】D7、C【分析】【解析】显然在上是增函数，在上也是增函数。

而对求导得对于

，所以在区间上为增函数，从而应选择C【解析】【答案】C8、B【分析】【解答】延长OC到D；使OD=4OC；

延长CO交AB与E；

∵O为△ABC内一点，且满足++4=

∴

∴O为△DABC重心；E为AB中点；

∴OD：OE=2：1；∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2；

∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC；

∵△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2；

∴=．

故选：B．

【分析】延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，由已知得O为△DABC重心，E为AB中点，推导出S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，由此能求出结果。9、D【分析】【分析】因为函数定义域为所以所以选D。二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】试题分析：因是R上的偶函数，所以又在上递减，所以解得考点：函数性质与不等式【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：集合中的元素在中的只有1，所以

考点：交集的概念.【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：因为那么可知集合A,B的交集表示的为两个直线的交点，联立方程组可知交点坐标为（1，2），那么{(1,2)}。

考点：集合的交集。

点评：主要是考查了集合的交集运算，属于基础题。【解析】【答案】{(1,2)}13、略

【分析】【解析】

由已知，或对集合

若则方程无解，此时集合为空集，满足

若则方程解为当或即或时；满足题意.

综上，组成的集合为【解析】【答案】{-1,0,1/3,}14、（2，3）【分析】【解答】解：由题意可知：对于函数y=f（x）在区间[2；4]上；

有f（2）•f（4）＜0；

利用函数的零点存在性定理；所以函数在（2，4）上有零点．

取区间的中点x1==3；

∵f（2）•f（x1）＜0；

∴利用函数的零点存在性定理；函数在（2，3）上有零点．

故答案为：（2；3）．

【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由f（2）•f（x1）＜0知，f（x）零点所在的区间为（2，x1），进而得到答案15、50【分析】【解答】解：茎叶图中的数据为28；31，39，44，56，57，58，66；

它们的中位数是=50．

故答案为50．

【分析】根据茎叶图中的数据，利用中位数的定义求出即可．16、【分析】【解答】解：向量在向量方向上的投影为：=．

故答案为：．

【分析】根据投影的计算公式，所求投影为从而根据数量积的坐标运算及根据坐标求向量长度的公式即可求出答案．17、略

【分析】解：根据映射的定义可知；对应集合A中的任何一个元素必要在B中，有唯一的元素对应．

则0可以和a对应，也可以和b对应．也可以和c对应；同理1可以和a对应，也可以和b对应；也可以和c对应．

所以0有三个结果，1也有三个结果，所以共有32=9种不同的对应．

故答案为：9

根据映射的定义；可知0有三个对应结果，1也有三个对应结果，所以可以得到从集合A到集合B的不同映射个数．

本题主要考查了映射的定义以及应用，要求熟练掌握映射的定义．【解析】9三、证明题(共5题，共10分)18、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．19、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．20、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．21、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．22、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．四、计算题(共4题，共32分)23、略

【分析】【分析】两边都除以x求出x+，两边平方后能求出x2+的值，代入求出即可．【解析】【解答】解：∵x2-6x+1=0；

∴x-6+=0；

∴x+=6；

两边平方得：x2+2•x•+=36；

∴x2+=36-2=34；

∴x2+-1=34-1=33．

故答案为：33．24、略

【分析】【分析】列表列举出所有情况，看两位数是偶数的情况数占总情况数的多少即可解答．【解析】【解答】解：列表如下。12341121314221232433132344414243共有12种等可能的结果，其中是奇数的有6种，概率为=．

故答案为．25、略

【分析】【分析】（1）利用已知条件可以证明△ADC∽△BAC；再利用其对应边成比例即可求出CD的长．

（2）作AD的高，可将所求角的值转化在直角三角形中求出．【解析】【解答】解：（1）∵∠B=36°；AB=AC=BD=1；

∴∠C=36°；∠BDA=∠BAD=72°，∠DAC=36°；

∴∠DAC=∠B；∠C=∠C；

∴△ADC∽△BAC；

∴=；

即DC×（DC+1）=1；

∴DC1=，DC2=（舍去）；

∴DC=；

（2）过点B作BE⊥AD，交AD于点E，

∵AB=BD=1；

∴∠ABE=18°，AE=DE=AD

∵∠DAC=∠C；

∴DC=AD=2DE=；

∴sin18°==．26、略

【分析】【分析】将x的值进行分段讨论，①x＜-，②-≤x＜，③x≥，从而可分别将绝对值符号去掉，得出a的范围，综合起来即可得出a的范围．【解析】【解答】解：当①x＜-时；原不等式可化为：-1-2x-（1-2x）＜a，即-2＜a；

解得：a＞-2；

②当-≤x＜时；原不等式可化为：2x+1-（1-2x）＜a，即4x＜a；

此时可解得a＞-2；

③当x≥时；原不等式可化为：2x+1-（2x-1）＜a，即2＜a；

解得：a＞2；

综合以上a的三个范围可得a＞2；

故答案为：a＞2．五、解答题(共2题，共10分)27、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】28、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：设则1分。

∴2分。

∵为奇函数∴

∴3分。

又∴4分。

综上：5分。

（2）（解法一）证明：设

则-=7分。

∵∴∴又

∴

∴在上是减函数.9分。

（解法二）证明：∵7分。

∵∴即又

∴∴在上是减函数.9分。

(3)是定义在上的奇函数，且由（2）知，在上单调递减。

∴在上单调递减；

∴当时，有即11分。

∴要使方程在上有解，只需故12分六、综合题(共3题，共6分)29、略

【分析】【分析】（1）由∠B=∠B；∠C=∠BMP=90°证明；

（2）勾股定理求出AB的长；相似三角形求出y与x的函数关系式，求出取值范围；

（3）根据内切圆的特点，求出x，y的值．【解析】【解答】（1）证明：∵AB切⊙P于点M；

∴∠PMB=∠C=90°．