2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程-专项训练【A级基础巩固】1．经过坐标原点，且圆心坐标为(－1，1)的圆的一般方程是()A．x2＋y2－2x－2y＝0B．x2＋y2－2x＋2y＝0C．x2＋y2＋2x－2y＝0D．x2＋y2＋2x＋2y＝02．若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))) D．(－2，2)3．已知圆C经过A(0，0)，B(2，0)，且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝4B．(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y－2)2＝54．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A．4 B．5C．6 D．75．若k∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(4,5)，3))，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圆，则k的取值集合中元素的个数为()A．1 B．2C．3 D．46．(多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则()A．eq\f(y,x－1)的最大值为eq\r(3)B．eq\f(y,x－1)的最小值为－eq\r(3)C．eq\f(y,x－1)的最大值为eq\f(\r(3),3)D．eq\f(y,x－1)的最小值为－eq\f(\r(3),3)7．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是()A．圆M的圆心坐标为(1，3)B．圆M的半径为eq\r(5)C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点(2，3)在圆M内8．(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上B．满足条件的圆C有且只有一个C．点(2，－1)在满足条件的圆C上D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4eq\r(2)9．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．10．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为________．11．在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(－2，－1)的圆C和直线x－y＋1＝0相切，且圆心在直线y＝2x上，则圆C的标准方程为________________．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3，0)C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个D．所有圆的面积均为4π2．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是()A．1＋eq\f(3\r(2),2) B．4C．1＋3eq\r(2) D．723．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋eq\r(2))2＝4D．(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝45．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝4B．(x－2)2＋(y＋2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝4D．(x－2)2＋(y－2)2＝46．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．8．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．9．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是________．10．已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是________________．参考答案【A级基础巩固】1．解析：设圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝r2，经过坐标原点(0，0)，则r2＝2.所以(x＋1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＋2x－2y＝0.答案：C2．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋1＋1－1＋k＞0，,1＋1－4k＞0，))解得－2＜k＜eq\f(1,2).答案：C3．解析：∵圆心在弦的中垂线上，∴可设C(1，m).∵△ABC为直角三角形，|AB|＝2，∴|AC|＝eq\r(2)＝eq\r(1＋m2).∵m＞0，∴m＝1，∴圆心坐标为(1，1)，圆的半径为eq\r(2)，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案：C4．解析：由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为dmin＝eq\r((3－0)2＋(4－0)2)－1＝4.答案：A5．解析：方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆的条件为(k－1)2＋(2k)2－4k>0，即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k<eq\f(1,5).又知该方程不表示圆，所以k的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1)).又因为k∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(4,5)，3))，所以满足条件的k＝eq\f(4,5)，即k的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))).答案：A6．解析：由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0表示圆心坐标为(－1，0)、半径r＝1的圆，则eq\f(y,x－1)为圆上的点与点(1，0)连线的斜率的值．设过点(1，0)的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，即求直线kx－y－k＝0与圆相切时k的值，当直线与圆相切时，圆心到直线kx－y－k＝0的距离d＝r，即eq\f(|－2k|,\r(1＋k2))＝1，整理可得3k2＝1，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(y,x－1)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).即eq\f(y,x－1)的最大值为eq\f(\r(3),3)，最小值为－eq\f(\r(3),3).答案：CD7．解析：设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为eq\r(5).因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内．答案：ABD8．解析：因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；设圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；它们的圆心距为eq\r((5－1)2＋(－5＋1)2)＝4eq\r(2)，D正确．答案：ACD9．解析：依据圆的方程特征，得a2＝a＋2，解得a＝－1或2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心为(－2，－4)，半径是5；当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋eq\f(5,2)＝0，该方程不表示圆．答案：(－2，－4)510．解析：求△ABP面积的最小值，即求P到直线AB距离的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径．直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,－3)＝1，即3x－4y－12＝0，圆x2＋y2－2y＝0，即为x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1.∵圆心到直线AB的距离为d＝eq\f(|－4－12|,5)＝eq\f(16,5)，∴P到直线AB的最小值为eq\f(16,5)－1＝eq\f(11,5).∵|AB|＝eq\r(32＋42)＝5，∴△ABP面积的最小值为eq\f(1,2)×5×eq\f(11,5)＝eq\f(11,2).答案：eq\f(11,2)11．解析：根据题意，圆心在直线y＝2x上，则设圆心为(n，2n)，圆的半径为r.又圆C过点M(－2，－1)且与直线x－y＋1＝0相切，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((n＋2)2＋(2n＋1)2＝r2，,\f(|n－2n＋1|,\r(2))＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝－1，,r＝\r(2)，))则圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝2.答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．解析：圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0.∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0.∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．答案：ABD2．解析：法一：由x2＋y2－4x－2y－4＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝9，此方程表示以(2，1)为圆心、3为半径的圆．设t＝x－y，则x－y－t＝0.设圆心(2，1)到直线x－y－t＝0的距离为d，则d＝eq\f(|2－1－t|,\r(12＋(－1)2))＝eq\f(|1－t|,\r(2)).依题意知，直线x－y－t＝0与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9有公共点，∴d＝eq\f(|1－t|,\r(2))≤3，即|1－t|≤3eq\r(2)，∴－3eq\r(2)≤t－1≤3eq\r(2)，即1－3eq\r(2)≤t≤1＋3eq\r(2)，∴t的最大值为1＋3eq\r(2)，即x－y的最大值为1＋3eq\r(2).法二：由x2＋y2－4x－2y－4＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝9.设x＝2＋3cosθ，y＝1＋3sinθ，θ∈[0，2π)，∴x－y＝2＋3cosθ－1－3sinθ＝1＋3(cosθ－sinθ)＝1＋3eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).∵θ＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(9,4)π))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))∈[－1，1]，∴(x－y)max＝1＋3eq\r(2).答案：C3．解析：圆C与y轴相切于原点⇔圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a，0))，且半径r＝|a|.∴当E＝F＝0且D<0时，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，0))，半径为eq\f(|D|,2)，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0.答案：A4．解析：由题意得，圆C的半径为eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，圆心坐标为(1，eq\r(2))，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2.答案：A5．解析：根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－1,a＋1)＝－1，,\f(a－1,2)－\f(b＋1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.答案：B6．解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋4,2)，,y＝\f(y1－2,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－4，,y1＝2y＋2.))代入x2＋y2＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：A7．解析：设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，则eq\r(a2＋b2)＝10，a2＋b2＝100，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋0,2)＝x，,\f(0＋b,2)＝y，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2x，,b＝2y，))代入a2＋b2＝100，得4x2＋4y