【创新设计】2022届-数学一轮(理科)-浙江专用-课时作业-第八章-解析几何-7-

第7讲抛物线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2021·合肥质量检测)抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))解析抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).答案D2．(2022·西宁复习检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)解析曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝2，故选A.答案A3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2 D．y＝eq\f(1,12)x2或y＝－eq\f(1,36)x2解析分两类a>0，a<0可得y＝eq\f(1,12)x2，y＝－eq\f(1,36)x2.答案D4．(2021·福建质量检查)已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(2)，一条渐近线为l，抛物线C2：y2＝4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝()A．2B．3C．4D．5解析依题意，不妨设直线l：y＝x，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝4x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))此时点P(4,4)，|PF|＝4＋1＝5，故选D.答案D5．(2022·新课标全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.eq\f(\r(30),3)B．6C．12D．7eq\r(3)解析焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，直线AB的斜率为eq\f(\r(3),3)，所以直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，即y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),4)，代入y2＝3x，得eq\f(1,3)x2－eq\f(7,2)x＋eq\f(3,16)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(21,2)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12，故选C.答案C二、填空题6．(2021·北京西城区模拟)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，且点M的横坐标为2，则|MF|＝________.解析由抛物线的定义可知|MF|＝xM＋eq\f(p,2)＝2＋1＝3.答案37．(2022·台州高三模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的左顶点，则p＝________.解析由题意知抛物线的准线为x＝－eq\f(p,2)，双曲线x2－y2＝1的左顶点为(－1,0)，所以－eq\f(p,2)＝－1，p＝2.答案28．(2022·银川质量检测)已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．解析依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有yeq\o\al(2,1)＝2x1，yeq\o\al(2,2)＝2x2，两式相减得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝2(x1－x2)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2,y1＋y2)＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.答案x－y－1＝0三、解答题9.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．解设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－eq\f(1,k)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y2＝2px，))得x＝0或x＝eq\f(2p,k2).∴A点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p,k2)，\f(2p,k)))，同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4p2\f(k2＋1,k4)＝1，①,4p2k2k2＋1＝64，②))②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.则p2＝eq\f(16,k2k2＋1)＝eq\f(4,5).又p>0，则p＝eq\f(2\r(5),5)，故所求抛物线方程为y2＝eq\f(4\r(5),5)x.10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|；(2)求证：eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))是一个定值．(1)解∵由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.(2)证明设直线l的方程为x＝ky＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋1，,y2＝4x，))得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，eq\o(OA,\s\up8(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(x2，y2)．∵eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))是一个定值．力量提升题组(建议用时：35分钟)11．(2021·太原模拟)已知P是抛物线y2＝2x上动点，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()A．4B.eq\f(9,2)C．5D.eq\f(11,2)解析由于点P在抛物线上，所以d1＝|PF|－eq\f(1,2)(其中点F为抛物线的焦点)，则d1＋d2＝|PF|＋|PA|－eq\f(1,2)≥|AF|－eq\f(1,2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－\f(1,2)))2＋42)－eq\f(1,2)＝5－eq\f(1,2)＝eq\f(9,2)，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号，故选B.答案B12．(2022·四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.eq\f(17\r(2),8)D.eq\r(10)解析如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，则eq\o(OA,\s\up8(→))＝(m2，m)，Oeq\o(B,\s\up8(→))＝(n2，n)，eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2,0)．S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)×2×m＋eq\f(1,2)×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×m＝eq\f(1,8)m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋eq\f(1,8)m＝eq\f(9,8)m－n＝eq\f(9,8)m＋eq\f(2,m)≥2eq\r(\f(9,8)m·\f(2,m))＝3，当且仅当eq\f(9,8)m＝eq\f(2,m)，即m＝eq\f(4,3)时等号成立．故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.答案B13．(2022·湖南卷)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．解析设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋k，))得ky2－4y＋4k＝0.当k＝0时，明显不符合题意；当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k＜0，化简得k2－1＞0，解得k＞1或k＜－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)14．(2021·福建卷)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．解(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝eq\r(5)，所以|MN|＝2eq\r(|CO|2－d2)＝2eq\r(5－4)＝2.(2)设C(eq\f(y\o\al(2,0),4)，y0)，则圆C的方程为(x－eq\f(y\o\al(2,0),4))2＋(y－y0)2＝eq\f(y\o\al(4,0),16)＋yeq\o\al(2,0)，即x2－eq\f(y\o\al(2,0),2)x＋y2－2y0y＝0.由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋eq\f(y\o\al(2,0),2)＝0，设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4y\o\al(2,0)－41＋\f(y\o\al(2,0),2)＝2y\o\al(2,0)－4>0，,y1y2＝\f(y\o\al(2,0),2)＋1.))由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，所以eq\f(y\o\al(2,0),2)＋1＝4，解得y0＝±eq\r(6)，此时Δ>0.所以圆心C的坐标为(eq\f(3,2)，eq\r(6))或(eq\f(3,2)，－eq\r(6))，从而|CO|2＝eq\f(33,4)，|CO|＝eq\f(\r(33),2)，即圆C的半径为eq\f(\r(33),2).15．设点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，动圆P经过点F且和直线y＝－eq\f(3,2)相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.(1)求曲线W的方程；(2)过点F作相互垂直的直线l1，l2分别交曲线W于A，B和C，D.求四边形ACBD面积的最小值．解(1)过点P作PN垂直于直线y＝－eq\f(3,2)于点N，依题意得|PF|＝|PN|，所以动点P的轨迹是以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))为焦点，直线y＝－eq\f(3,2)为准线的抛物线，即曲线W的方程是x2＝6y.(2)如图所示，依题意，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为y＝kx＋eq\f(3,2)，由l1⊥l2得l2的方程为y＝－eq\f(1,k)x＋eq\f(3,2).将y＝kx＋eq\f(3,2)代入x2＝6y，化简得x2－6kx－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6k，x1x2＝－9，∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝6(k2＋1)．同理可得|CD|＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1))，∴四边形ACBD的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·|CD|＝18(k2＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1))＝18eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2)＋2))≥72.当且仅当k2＝eq\f(1,k2)，即k＝±1时，Smin＝72，故四边形ACBD面积的最小值是72.16．(2022·台州质量评估)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点K(0，－1)的直线l与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上；(2)设eq\o(FA,\s\up8(→))·eq\o(FB,\s\up8(→))＝eq\f(8,9)，求∠DBK的平分线与y轴的交点坐标．(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(－x1，y1)，l的方程为y＝kx－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs