2024-2025学年北京师大附中高二（上）期末数学模拟试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京师大附中高二（上）期末数学模拟试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系Oxyz中，点M(2,−3,1)关于原点对称的点的坐标为(

)A.(−2,−3,−1) B.(2,3,−1) C.(−2,3,1) D.(−2,3,−1)2.已知直线l的一个方向向量为(−1,1)，则直线l的倾斜角为(

)A.45° B.90° C.120° D.135°3.抛物线y2=12x的焦点为F，点P在此抛物线上，|PF|=6，则点P的横坐标为(

)A.2 B.3 C.4 D.64.圆(x−3)2+(y+2)2=1A.相交 B.内切 C.外切 D.内含5.(x−2x2)A.−60 B.−15 C.15 D.606.某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为(

)A.6 B.12 C.24 D.367.已知正四棱锥P−ABCD的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，那么△HBD面积的最小值为(

)A.2

B.32

C.8.已知直线l：3x+y−4=0，圆Γ：x2+y2=r2(r>0)，若直线l上存在两点A，B，圆Γ上存在点A.[1,3] B.[2,3] C.[1,+∞) D.[2,+∞)9.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“cosA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.一个平面区域内，两点间距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线x2+y4A.432 B.3 C.22二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.直线l：x−2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为______．12.圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a的值为13.若(2x−1)4=a4x14.双曲线M：x2−y23=1的渐近线方程为______；若M与圆O：x2+y2=r215.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面AA1P⊥平面BB1E.给出下列四个结论：

①△AA1P的面积的最大值为5；

②满足使△AA1P的面积为2的点P有且只有4个；三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名．

(Ⅰ)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？

(Ⅱ)从6名中选出3人参加某公益活动．

(i)共有多少种不同的选择方法？

(ii)如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？17.(本小题13分)

已知A(2,4)，B(−1,1)，O为坐标原点，圆C为△AOB的外接圆．

(Ⅰ)求圆C的标准方程；

(Ⅱ)过原点的直线l被圆C截得的弦长为32，求直线l18.(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A19.(本小题15分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为22，直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)延长线段20.(本小题15分)

如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为BC的中点，点M在BD1上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题．

条件①：MA=MC；

条件②：EM⊥AD；

条件③：EM//平面CDD1C1．

(Ⅰ)求证：M为BD1的中点；

(Ⅱ)求直线EM21.(本小题15分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设A为椭圆E的右顶点，B为椭圆的上顶点，直线l：y=12x与椭圆交于C，D两点(C在第三象限)，P是椭圆上的动点(不与原点重合)，直线AP，BP分别交直线l于点参考答案1.D

2.D

3.B

4.C

5.D

6.D

7.D

8.C

9.A

10.B

11.212.−413.0

14.y=±3x15.①④

16.解：(Ⅰ)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法：A44A52=480种．

(Ⅱ)从6名中选出3人参加某公益活动．

(i)共有C63=2017.解：(Ⅰ)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

圆C过点A(2,4)，B(−1,1)，O(0,0)，

则22+42+2D+4y+F=01+1−D+E+F=0F=0，解得D=−2E=−4F=0，

故圆C的方程为x2+y2−2x−4y=0，

所以圆C的标准方程为(x−1)2+(y−2)2=5；

(Ⅱ)当直线的斜率不存在时，显然不符合题意，

当直线的斜率存在时，可设直线方程为kx−y=0，

过原点的直线l被圆C截得的弦长为32，

(x−1)2+(y−218.解：(Ⅰ)证明：由于CC1⊥CA，CC1⊥CB，AC⊥BC，

故以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，M(1,1,3)，C1(0,0,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，

所以C1M=(1,1,0),B1D=(2,−2,−2)，

因为C1M⋅B1D=(1,1,0)⋅(2,−2,−2)=2−2+0=0，

所以C1M⊥B1D，因此C1M⊥B1D；

(Ⅱ)因为AC⊥平面BCC1B1，所以平面C19.解：(Ⅰ)由题意可知，c=1，e=ca=22，

因为a2=b2+c2，所以a=2，b=1，

则椭圆的方程为x22+y2=1；

(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x−1)(k≠0)，

A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=k(x−1)x22+y2=1，消去y，得(2k2+1)x2−4k20.选条件①：

如图1所示，连接AC，BD相交于点N，连接MN，则N为AC的中点，

若M为BD1的中点，则MN/​/DD1，但由MA=MC得不出MN/​/DD1，

所以M点不唯一确定，不符合题意．

选条件②：

(Ⅰ)证明：如图2所示，连接CD1，

由正方体的性质知，BC⊥平面CDD1C1，CD1⊂平面CDD1C1，

所以BC⊥CD1，

因为EM⊥AD，AD//BC，所以EM⊥BC，

所以EM//CD1，

又E为BC的中点，所以M为BD1的中点．

(Ⅱ)解：以D为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，C(0,2,0)，E(1,2,0)，M(1,1,1)，

所以DC=(0,2,0)，DM=(1,1,1)，EM=(0,−1,1)，

设平面MCD的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅DC=2y=0m⋅DM=x+y+z=0，

令x=1，则y=0，z=−1，所以m=(1,0,−1)，

设直线EM与平面MCD所成的角为θ，

则sinθ=|cos<m，EM>|=|m⋅EM||m|⋅|EM|=|−1|2×2=12，

所以直线EM与平面MCD21.解：(Ⅰ)由椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4，

得12⋅2a⋅2b=2ab