2024年沪科版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科版高二数学上册阶段测试试卷416考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）A.假设都是偶数B.假设都不是偶数C.假设至多有一个是偶数D.假设至多有两个是偶数2、【题文】不等式组表示的平面区域的面积为A.B.C.D.3、【题文】要从容量为102的总体中用系统抽样法随机抽取一个容量为9的样本，则下列叙述正确的是()A.将总体分11组，每组间隔为9B.将总体分9组，每组间隔为11C.从总体中剔除2个个体后分11组，每组间隔为9D.从总体中剔除3个个体后分9组，每组间隔为114、【题文】已知椭圆：左右焦点分别为过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则的值是()A.1B.C.D.5、【题文】设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm+1＝3，则＝()A.3B.4C.5D.66、设则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、若平面α的法向量为=（3，2，1），平面β的法向量为=（2，0，﹣1），则平面α与β夹角的余弦是（）A.B.C.-D.-8、某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502）；且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为。

（）A.B.C.D.9、设条件pa鈮�0

条件qa2+a鈮�0

那么p

是q

的(

)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、双曲线与椭圆的中心在原点，其公共焦点在轴上，点是在第一象限的公共点．若的离心率是则双曲线的渐近线方程是．11、一只口袋内装有大小质量完全相同的5只球，其中2只白球，3只黑球，从中一次摸出一个球，则摸得黑球的概率是____．12、【题文】如图，在平面上，点点在单位圆上，若四边形的面积用表示，则的取值范围为____.13、【题文】若把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象,则的解析式为.14、【题文】为边,为对角线的矩形中,则实数____________.15、复数z=（i为虚数单位），则|z|=______．16、甲罐中有5

个红球；2

个白球和3

个黑球，乙罐中有4

个红球，3

个白球和3

个黑球.

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1A2

和A3

表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B

表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是______(

写出所有正确结论的编号)

．

垄脵P(B)=25

垄脷P(B|A1)=511

垄脹

事件B

与事件A1

相互独立；

垄脺A1A2A3

是两两互斥的事件；

垄脻P(B)

的值不能确定，因为它与A1A2A3

中哪一个发生有关．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）评卷人得分四、解答题(共4题，共28分)22、【题文】如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积23、【题文】(本题满分11分)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝

（1）若△ABC的面积等于求a，b；

（2）若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．24、某赛季甲；乙两名篮球运动员每场比赛得分可用茎叶图表示如下：

（1）求甲；乙运动员成绩的中位数；平均数，方差（结果精确到0.1）；

（2）估计乙运动员在一场比赛中得分落在区间[10；40]内的概率；

（3）比较两名运动员的成绩，谈谈你的看法．25、某学校制定学校发展规划时；对现有教师进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：

。学历35岁以下35至50岁50岁以上本科803020研究生x20y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35至50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本；将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有l人的学历为研究生的概率；

（Ⅱ）在该校教师中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取l人，此人的年龄为50岁以上的概率为求x、y的值．评卷人得分五、计算题(共4题，共20分)26、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．27、已知a为实数，求导数28、解不等式|x﹣2|+|x﹣4|＞6．29、求证：ac+bd≤•．评卷人得分六、综合题(共4题，共12分)30、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．31、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．32、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．33、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】【解析】

用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时假设都不是偶数【解析】【答案】B2、A【分析】【解析】

试题分析：因为根据可知得到直线y=x与x+2y=4的交点为（），且可知的交点为（-2，-2），而x+2y=4与y=-2的交点为（8，-2），可知底的长度为10，高为+2=由于围成了一个三角形，可知其面积为故答案为A.

考点：本题主要考查不等式组表示的平面区域的面积的求解运用。

点评：解决该试题的关键是利用已知不等式作出不等式区域，然后借助于三角形的面积公式得到底乘以高的一半求解面积的值。【解析】【答案】A3、D【分析】【解析】由于102不能被9整除，所以应先从总体中剔除3个个体后再分9组，每组间隔为11【解析】【答案】D4、D【分析】【解析】由题意知所以因为的最大值为5，所以的最小值为3，当且仅当轴时，取得最小值，此时代入椭圆方程得又所以即所以解得所以选D.【解析】【答案】D5、C【分析】【解析】∵{an}是等差数列。

∴Sm==0a1=－am=－(Sm－Sm－1)=－2；

又=－=3，∴公差=－=1；

∴3==－∴=5，故选C．【解析】【答案】C6、A【分析】【解答】因为当时，当时，所以是的充分不必要条件.7、A【分析】【解答】∵=（3，2，1），平面β的法向量为=（2；0，﹣1）

∴

=3×2+2×0+1×（﹣1）=5

因此，向量与的夹角θ满足cosθ=

又∵向量分别为平面α和平面β的法向量。

∴平面α与β夹角等于向量的夹角，故平面α与β夹角的余弦值等于

故选：A

【分析】根据向量与的坐标，分别算出的模和与的数量积，然后用向量的夹角公式算出它们夹角的余弦值，再根据两个平面所成角与它们法向量夹角之间的关系，即可得本题夹角的余弦值．8、B【分析】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为P=

设A={超过1000小时时；元件1；元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}

C={该部件的使用寿命超过1000小时}

则P（A）=1-（1-P）2，P（B）=

∵事件A；B为相互独立事件，事件C为A；B同时发生的事件。

∴P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=．

故选B．

先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时；

元件1；元件2至少有一个正常”和“超过1000小时；元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可．

本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识．【解析】【答案】B9、A【分析】解：若a鈮�0

则a2+a鈮�0

是充分条件；

若a2+a鈮�0

解得：a鈮�0

或a鈮�鈭�1

不是必要条件；

故选：A

．

根据充分必要条件的定义进行判断即可．

本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，本题属于基础题．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】试题分析：根据题意，可知，在椭圆中，因为椭圆的离心率为所以有所以故在双曲线中，故所以渐近线的斜率为所以所求的方程为考点：双曲线的渐近线方程.【解析】【答案】11、略

【分析】

因为从中一次摸出一个球；故总的基本事件属有5个；

符合条件的即摸得黑球共3中情况；

由古典概型可得摸得黑球的概率为：

故答案为：

【解析】【答案】由古典概型的求法分别求得总的基本事件数和符合条件的基本事件数即可得答案．

12、略

【分析】【解析】

试题分析：由题知=====1+

所以==因为所以所以＜≤1，所以-1＜≤故的取值范围为(-1,].

考点:平面向量运算；平面向量数量积；三角变换；三角函数图像与性质【解析】【答案】(-1,]13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

试题分析：由题意又所以

考点：垂直向量.【解析】【答案】415、略

【分析】解：∵z==

=

∴．

故答案为：5．

利用复数代数形式的乘除运算化简z；然后直接利用复数模的公式求解．

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．【解析】516、略

【分析】解：易见A1A2A3

是两两互斥的事件，P(B)=P(B鈰�A1)+P(B鈰�A2)+P(B鈰�A3)=510隆脕511+210隆脕411+310隆脕411=922

．

故答案为：垄脷垄脺

本题是概率的综合问题；掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.

本题在A1A2A3

是两两互斥的事件，把事件B

的概率进行转化P(B)=P(B|?A1)+P(B?A2)+P(B?A3)

可知事件B

的概率是确定的．

概率的综合问题，需要对基本概念和基本运算能够熟练掌握．【解析】垄脷垄脺

三、作图题(共5题，共10分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．四、解答题(共4题，共28分)22、略

【分析】【解析】

【错解分析】将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围不等式法求最值忽略了适用的条件。

【正解】由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0由方程组消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,

∴|MN|=4点A到直线l的距离为d=∴S△=2(5+m)从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128∴S△≤8当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8【解析】【答案】直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为823、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4；2分。

又因为△ABC的面积等于所以absinC＝得ab＝4.4分。

联立方程组解得a＝2，b＝2.5分。

（2）由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA；即sinBcosA＝2sinAcosA，7分。

当cosA＝0时，A＝B＝a＝b＝8分。

当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组

解得a＝b＝10分。

所以△ABC的面积S＝absinC＝11分。

考点：本题主要考查正弦定理；余弦定理的应用；三角形内角和定理，两角和差的三角函数。

点评：典型题，本题在考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形内角和定理，两角和差的三角函数的同时，考查了函数方程思想，在两道小题中，均通过建立方程组，以便求的a,b,c等。【解析】【答案】（1）a＝2，b＝2.（2）S＝absinC＝24、略

【分析】

（1）根据中位数；平均数与方差的概念进行计算即可；

（2）利用频率估算概率即可；

（3）根据中位数；平均数比较得出甲的水平相对高些；比较方差得出甲的成绩相对稳定些．

本题考查了中位数、平均数与方差的概念与应用问题，是基础题目．【解析】解：（1）从上到下即是数据从小到大的排列；

甲有13次；最中间的一次成绩；是第7次为36，即中位数是36；

乙有11次；最中间的一次成绩；是第5次为26，即中位数是26；

甲的平均数为=×（12+15+24+25+31+31+36+36+37+39+44+49+50）=33；

方差为=×[（12-33）2+（15-33）2+（24-33）2++（50-33）2]≈127.2；

乙的平均数是=×（8+13+14+16+23+26+28+33+38+39+51）≈26.3；

方差是=×[（8-26.3）2+（13-26.3）2+（14-26.3）2++（51-26.3）2]≈157.8；

（2）乙运动员在一场比赛中得分落在区间[10，40]内的概率是p=

（3）根据甲的中位数是36；乙的中位数是26；

甲的平均数为33；乙的平均数是26.3知甲的水平相对高些；

根据甲的方差是127.2，乙的方差是157.8知甲的成绩相对稳定些．25、略

【分析】

（1）由题意得：抽到35岁至50岁本科生3人；研究生2人，由此利用列举法能求出从中任取2人，至少有l人的学历为研究生的概率．

（2）由题意得：由此能求出N，从而能求出x，y的值．

本题考查概率的求法，考查分层抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．【解析】解：（1）由题意得：抽到35岁至50岁本科生3人；研究生2人。

设本科生为A1，A2，A3，研究生为B1，B2；

从中任取2人的所有基本事件共10个：

A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A1A2，A1A3，A2A3，B1B2；

其中至少有一人的学历为研究生的基本事件有7个：

A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2；

∴至少有一人为研究生的概率为：p=．

（2）由题意得：解得N=78；

35至50岁中抽取的人数为78-48-10=20；

∴

解得x=40，y=5．五、计算题(共4题，共20分)26、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．27、解：【分析】【分析】由原式得∴28、解：当x＜2时；不等式即6﹣2x＞6，解得x＜0．

当2≤x＜4时；不等式即2＞6，解得x无解．

当x≥4时；不等式即x﹣6＞6，解得x＞12．

综上可得，不等式的解集为（﹣∞，0）∪（12，+∞）．【分析】【分析】将绝对值不等式的左边去掉绝对值，在每一段上解不等式，最后求它们的并集即可．29、证明：∵（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）•（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤•

∴ac+bd≤•【分析】【分析】作差（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可证明．六、综合题(共4题，共12分)30、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）31、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC