2023-2024学年云南省曲靖市沾益一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年云南省曲靖市沾益一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−3x<0}，B={1,2,3,4}，则(A.{4} B.{3,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3}2.已知复数z满足2z−z−=1+3i，则zA.−1+i B.1−i C.1+i D.−1−i3.若方程x24−m2−y21+mA.(−∞,−2) B.(−2,−1) C.(−2,2) D.(−1,1)4.两平行直线l1：x+y−1=0和l2：x+y−3=0之间的距离为(

)A.2 B.2 C.225.等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3A.3 B.13 C.3或13 6.函数f(x)=2cosx−12x−A. B.

C. D.7.已知向量m=(1,2,−1),n=(t,1,−t)，且m⊥平面α,n⊥平面β，若平面α与平面β的夹角的余弦值为2A.12或−1 B.15或1 C.−1或2 8.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x−a)2+(y−a)2=a2(a>0)，A(−3,0)，若圆C上存在点A.(0,1] B.[1,2] C.[3,2]二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若直线a⊄平面α，且直线a不平行于平面α，给出下列结论正确的是(

)A.α内的所有直线与a异面 B.α内存在直线与a相交

C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线10.在等差数列{an}中，其前n的和是Sn，若a1=−9A.{an}是递增数列 B.其通项公式是an=3n−12

C.当Sn取最小值时，n的值只能是11.设点F1，F2分别为椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得A.1 B.3 C.5 D.412.已知抛物线C：y2=12x，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点M(4,3)，则下列说法正确的是(

)A.抛物线C的准线方程为x=−3

B.若|PF|=7，则△PMF的面积为23−32

C.|PF|−|PM|的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.设a,b为单位向量，且|a+b14.过点A(3,−1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是______．15.已知四位数4521，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______．16.已知各项均为正数的递增等差数列{an}，其前n项和为Sn，公差为d，若数列{四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=15，S12=222．

(1)求{an}的通项公式；

(2)18.(本小题12分)

已知圆C：x2+y2+mx+ny+1=0，直线l1：x−y=0，l2：x−2y=0，且直线l1和l2均平分圆C．

(1)求圆C的标准方程；

(2)直线3x+y+a−219.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S=34(a2+b2−c2)．

(Ⅰ20.(本小题12分)

已知双曲线C：x22−y2b2=1(b>0)，直线l与双曲线C交于P，Q两点．

(1)若点(4,0)是双曲线C的一个焦点，求双曲线C的渐近线方程；

(2)若点P的坐标为(−221.(本小题12分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=4，AD=2，AE=14AB．22.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长和焦距相等，长轴长是22．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线l与椭圆C相交于P，Q两点，原点O到直线l的距离为3参考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.C

6.A

7.B

8.D

9.BD

10.ABD

11.BD

12.ACD

13.314.x+y−2=0或x+3y=0

15.1216.3

17.解：(1)由题知，等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=15，S12=222，

所以S3=a1+a2+a3=15S12=12(a1+a12)2=222，即a1+d=52a1+11d=37，

18.解：(1)因为直线l1和l2均平分圆C，所以两条直线都过圆心，

因为x−y−1=0x−2y=0，解得x=2y=1，所以直线l1和l2的交点坐标为(2,1)，

所以圆心C的坐标为(2,1)，

因为圆C：x2+y2+mx+ny+1=0，所以圆心坐标为(−m2,−n2)，

所以−m2=2−n2=1，解得m=−4n=−2，

所以圆C的方程为x2+y2−4x−2y+1=0，即(x−2)2+(y−1)2=4；

(2)由(1)得圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=419.解：(I)S=12absinC=34(a2+b2−c2)，所以sinC=3⋅a2+b2−c22ab=3cosC20.解：(1)∵点(4,0)是双曲线C的一个焦点，∴c=4，

又c2=a2+b2且a2=2，解得b2=14，

∴双曲线C的方程为x22−y214=1，

∴双曲线C的渐近线方程为y=±7x；

(2)设直线l的方程为y=x+2且Q(x1,y1)，

联立y=x+21.解：(1)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，建系如图：

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，

E(2,1,0)，D1(0,0,4)，C1(0,4,4)，

∴AC=(−2,4,0)，DE=(2,1,0)，DD1=(0,0,4)，

∴AC⋅DE=(−2)×2+4×1=0，AC⋅DD1=0，

∴AC⊥DE，AC⊥DD1，又DE∩DD1=D，DE，DD1⊂平面DD1E，22.解：(1)设椭圆C的焦距为2c，

因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长和焦距相等，长轴长是22，

所以2b=2c2a=22a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=1，

故椭圆C的标准方程为x22+y2=1．

(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程