2025年仁爱科普版高二数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、“函数是奇函数”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件2、【题文】已知过点和的直线与直线平行；

则的值为（）A.B.C.D.3、【题文】已知z1=2－i,z2=1+3i，则复数的虚部为A.1B.－1C.iD.－i4、已知全集U={-1，1，3}，且A={-1}，则集合∁UA为（）A.{-1，1，3}B.{-1}C.{1，3}D.{-1，1}5、用柯西不等式求函数y=的最大值为（）A.B.3C.4D.5评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)6、计算抛物线与直线y=x+4所围图形面积s=____．7、已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2则x1＋x2＝－8．以上命题中所有正确命题的序号为________．8、执行程序框图，输出的T=______．

9、点（2，-2）的极坐标为______．10、已知x

和y

之间的一组数据：

。x1357y2345则y

与x

的线性回归方程y鈭�=b鈭�x+a鈭�

必过点______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)11、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

12、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）13、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共40分)18、已知圆O：x2+y2=4和点M（1；a）；

（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切；求实数a的值，并求出切线方程；

（2）若过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．

19、已知求证:≥20、【题文】已知等比数列公比为

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）当求证：21、设函数f(x)=13x3鈭�12x2+2xg(x)=12ax2鈭�(a鈭�2)x

(I)

对于任意实数x隆脢[鈭�1,2]f隆盲(x)鈮�m

恒成立，求m

的最小值；

(II)

若方程f(x)=g(x)

在区间(鈭�1,+隆脼)

有三个不同的实根，求a

的取值范围．评卷人得分五、计算题(共3题，共15分)22、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．23、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．24、在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），求f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）的值．评卷人得分六、综合题(共2题，共10分)25、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．26、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】【解析】

因为“函数是奇函数，则可知a=0,b=0,”是“”的充要条件,选D【解析】【答案】D2、B【分析】【解析】本题考查斜率公式,两直线平行的条件.

直线的斜率为因为直线与直线平行，所以直线的。

斜率等于则由斜率公式的解得故选B【解析】【答案】B3、C【分析】【解析】本题考查复数代数式的除法运算.只需把分子；分母同乘以分母的共轭复数；化简后求解.同时注意复数的虚部是i的系数.

解：=i.【解析】【答案】C4、C【分析】解：∵全集U={-1；1，3}，且A={-1}；

∴∁UA={1；3}．

故选：C．

由全集U；以及A，求出A的补集即可．

此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．【解析】【答案】C5、C【分析】解：由柯西不等式可得，函数y=≤•=4；

当且仅当==时；等号成立；

故函数y的最大值为4；

故选：C．

由柯西不等式可得，函数y=≤•从而求得函数的最大值．

本题主要考查了二维形式的柯西不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），在求解函数最值中的应用，属于基础题．【解析】【答案】C二、填空题(共5题，共10分)6、略

【分析】

联立解得x=-2或x=4．

∴抛物线与直线y=x+4所围图形面积S===18．

故答案为18．

【解析】【答案】先求出直线与抛物线的交点的横坐标；即可得到积分的上下限，再利用微积分基本定理即可得出．

7、略

【分析】试题分析：令由知①正确；进一步得定义在上，所以函数为周期函数，最小正周期为又函数为偶函数，对称轴为据周期性，为一条对称轴，②正确；函数在上单调递减，则在上也单调递减，③错误；函数的一条对称轴为在内，可知两根和为④正确．考点：函数的奇偶性，单调性,数形结合的数学思想方法．【解析】【答案】①②④8、略

【分析】解：模拟执行程序框图；可得。

S=0；T=0，n=0

不满足条件T＞S；S=5，n=3，T=3

不满足条件T＞S；S=10，n=6，T=9

不满足条件T＞S；S=15，n=9，T=18

满足条件T＞S；退出循环，输出T的值为18．

故答案为：18．

模拟执行程序框图；依次写出每次循环得到的S，n，T的值，当S=15，T=18时满足条件T＞S，退出循环，输出T的值为18．

本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n，T的值是解题的关键，属于基础题．【解析】189、略

【分析】解：∵点（2；-2）中。

x=2；y=-2；

∴

tanθ=∴取．

∴点（2，-2）的极坐标为（2-）

故答案为（2-）．

先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2；将点（2，-2）的直角坐标，化成极坐标即可．

本小题主要考查点的极坐标与直角坐标方程的互化，属于基础题．【解析】（2-）10、略

【分析】解：隆脽x.=1+3+5+74=4y.=2+3+4+54=3.5

隆脿

线性回归方程yy鈭�=b鈭�x+a鈭�

所表示的直线必经过点(4,3.5)

故答案为(4,3.5)

．

先利用数据平均值的公式求出xy

的平均值，以平均值为横；纵坐标的点在回归直线上．

本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．【解析】(4,3.5)

三、作图题(共9题，共18分)11、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

12、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．13、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共40分)18、略

【分析】

（1）由条件知点M在圆O上；

∴1+a2=4

∴a=±

当a=时，点M为（1，），kOM=

此时切线方程为：y-=-（x-1）

即：x+y-4=0

当a=-时，点M为（1，-），kOM=-

此时切线方程为：y+=（x-1）

即：x-y-4=0

∴所求的切线方程为：x+y-4=0或即：x-y-4=0

（2）当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（+）

当AC的斜率存在且不为0时；

设直线AC的方程为y-=k（x-1）；

直线BD的方程为y-=（x-1）；

由弦长公式l=2

可得：AC=2

BD=2

∵AC2+BD2=4（+）=20

∴（AC+BD）2=AC2+BD2+2AC×BD≤2（AC2+BD2）=40

故AC+BD≤2

即AC+BD的最大值为2

【解析】【答案】本题考查的是圆的切线方程；即直线与圆方程的应用．（1）要求过点M的切线方程，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．（2）由于直线AC；BD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．

19、略

【分析】本试题主要是考查了不等式的证明，可以运用综合法也可以运用分析法。一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明。证明：方法一（综合法）：5分8分又而10分∴12分故13分即14分方法二（分析法）：要证成立1分只需证明3分即证7分即证9分即证11分即证12分又而13分上式显然成立，所以原不等式成立。14分【解析】【答案】见解析20、略

【分析】【解析】

（Ⅰ）求出等比数列的首项和公比得其通项公式为7分。

（Ⅱ）证明：10分。

14分【解析】【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）证明见解析。21、略

【分析】

(I)

先求导函数；再求导函数的最大值，从而求出m

的最小值；

(II)

先令令h(x)=f(x)鈭�g(x)=16x[2x2鈭�3(a+1)x+6a]

从而等价于2x2鈭�3(a+1)x+6a=0

有两个大于鈭�1

且不等于0

的根，进而可以解决．

本题研究恒成立问题，只需要转化为求函数的最大值即可，(II)

中等价化简是简化解题的关键【解析】解：(I)f隆盲(x)=x2鈭�x+2鈮�m

对称轴x=12隆脢[鈭�1,2]f隆盲(x)max=f隆盲(鈭�1)=4鈮�m

即m

的最小值为4

(II)

令h(x)=f(x)鈭�g(x)=16x[2x2鈭�3(a+1)x+6a]

依题意得2x2鈭�3(a+1)x+6a=0

有两个大于鈭�1

且不等于0

的根；

隆脿{鈻�=9(a+1)2鈭�48a>0x=3(a+1)4>鈭�12+3(a+1)+6a=9a+5>0a鈮�0

从而解得鈭�59<a<13(a鈮�0)

或a>3

．五、计算题(共3题，共15分)22、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．23、解：f（x）=（t4+）|1x=x4+﹣2f（1﹣i）=（1﹣i）4+﹣2=+

f（i）=i4+﹣2=﹣1﹣i

f（1﹣i）f（i）=6+5i【分析】【分析】先根据定积分求出函数f（x）的解析式，然后分别求出f（1﹣i）与f（i）即可求出所求．24、解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：C63C40=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是C62C41=60；f（2，1）=60；

含x1y2的系数是C61C42=36；f（1，2）=36；

含x0y3的系数是C60C43=4；f（0，3）=4；

∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120【分析】【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．六、综合题(共2题，共10分)25、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+