2025年北师大新版高三数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高三数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目（改编）：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的1份为（）A.10B.15C.20D.302、过双曲线x2-y2=1的右焦点且斜率是1的直线与双曲线的交点个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个3、若命题p的否命题是命题q，命题q的逆否命题是命题r，则r是p的（）A.逆否命题B.否命题C.逆命题D.原命题4、设D是由直线x=±π和y=±1所围成的矩形区域，E是D内函数y=cosx图象上方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E（阴影部分）中的概率为（）A.B.C.D.5、设向量=（-2，1），=（1，λ）（λ∈R），若、的夹角为135°，则λ的值是（）A.3B.-3C.3或-D.-3或6、设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()．A.∀x∈R，f(x)≤f(x0)B.－x0是f(－x)的极小值点C.－x0是－f(x)的极小值点D.－x0是－f(－x)的极小值点7、已知奇函数f（x）的定义域为R，且是以2为周期的周期函数，数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，则f（a1）+f（a2）++f（a10）的值为（）

A.0

B.1

C.-1

D.2

8、设f(x)是R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)=A．3B．1C．－1D．－3评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=____．10、在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，则两曲线交点间的距离是____．11、一元二次方程kx2+3kx+k-3=0有一个正根和一个负根，则实数k的取值范围为____．12、设双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且它的一条准线与抛物线y=的准线重合，则此双曲线的方程为____．13、关于函数y=xα（α为常数），下列说法：①当α=时，y=xα不是幂函数；②幂函数y=xα的图象都经过点（1，1）；③当α=0或α=1时，幂函数y=xα图象都是直线；④存在幂函数的图象经过第四象限．其中正确的是____．（把你认为正确的序号都填上）14、【题文】5555+15除以8的余数是____________．评卷人得分三、解答题(共3题，共6分)15、在△ABC中，已知c=21，b=19，B=，求a．16、某物品的价格从1965年的100元增加到2005年的500元，假设该物品的价格增长率是平均的，那么2011年该物品的价格是多少？（精确到元）17、（（本题满分13分）如图，在三棱柱中，顶点在底面上的射影恰为点B，且．（1）求棱与BC所成的角的大小；（2）在线段上确定一点P，使并求出二面角的平面角的余弦值．评卷人得分四、证明题(共2题，共6分)18、如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD；设E；F分别为PC、BD的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；

（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；

（Ⅲ）求二面角B-PD-C的正切值．19、已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′；四边形ABCD为正方形，AA′=2AB=2，E为棱CC′的中点．

（Ⅰ）求证：A′E⊥平面BDE；

（Ⅱ）设F为AD中点，G为棱BB′上一点，且；求证：FG∥平面BDE；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角G-DE-B的余弦值．评卷人得分五、综合题(共1题，共8分)20、已知数列{an}中，a2=2，前n项和为．

（I）证明数列{an+1-an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；

（II）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使不等式对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】【分析】由题意知，由此能求出结果．【解析】【解答】解：由题意知；

解得a1=10；d=5．

∴最小的1份为10．

故选：A．2、B【分析】【分析】由过右焦点F且与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点，可得结论．【解析】【解答】解：由题意可得a=1，b=1；故其中一条渐近线的斜率为1；

因为过右焦点F且斜率是1的直线与渐近线平行；

所以直线与双曲线的交点个数为1

故选：B．3、C【分析】【分析】利用四种命题之间的关系进行判断即可．【解析】【解答】解：设命题p的条件为m；结论为n，则p：m⇒n，则q：￢m⇒￢n；

因为q的逆否命题是命题r，所以r：n⇒m．

所以r是p的逆命题．

故选C．4、C【分析】【分析】由已知中D是图中所示的矩形区域，E是D内函数y=cosx图象上方的点构成的区域，分别求出D的面积和E的面积，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．【解析】【解答】解：∵矩形ABCD区域D的面积S=2×2π=4π

根据对称性可知图中阴影部分两处标注I的面积相等；两处标注II的面积相等，把x轴下方的I补到x轴上方的I，x轴下方的II补到x轴上方的II；

则阴影部分的面积与x轴上方的矩形面积相等；长宽分别为1，2π，即面积为1×2π=2π

∴由几何概率的求解公式可得，P=

故选C

5、D【分析】【分析】利用向量的数量积计算公式，列出关于λ的方程，并解出即可．【解析】【解答】解：根据向量的数量积计算公式，得到-2+λ=××cos135°两边平方并化简整理得：3λ2+8λ-3=0

解得λ=-3或

故选D6、D【分析】A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；D正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．【解析】【答案】D7、A【分析】

∵奇函数f（x）的定义域为R；

∴f（0）=0；f（1）+f（-1）=0

又f（x）是以2为周期的周期函数；

∴f（2）=f（0）=0；f（1）=f（-1）

∴f（1）=0

f（a1）+f（a2）++f（a10）的值为0．

应选A．

【解析】【答案】分析知数列为以1为首项；1为公差的整数列，即给出了函数的定义域是非零的自然数，这是一个离散函数，且以2为周期，又是奇函数，根据这些性质建立方程求出函数的前二个值即可．

8、D【分析】【解析】试题分析：因为函数f(x)是R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，所以又因为f(x)是R上的奇函数，所以考点：本题主要考查的是奇函数的性质。【解析】【答案】D二、填空题(共6题，共12分)9、略

【分析】【分析】由正弦定理化简已知等式==，整理可得：a2+c2-b2=-ac，由余弦定理可得cosB==-，结合范围B∈（0，π）即可解得B的值．【解析】【解答】解：∵由正弦定理可得：sinA=，sinB=，sinC=；

∴==，整理可得：a2+c2-b2=-ac；

∴由余弦定理可得：cosB===-；

∴由B∈（0，π），可得：B=．

故答案为：．10、略

【分析】【分析】由曲线C1的参数方程是，平方相减可得y2-x2=4．以坐曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，展开为=1，化为y+x=2．联立求出交点，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解析】【解答】解：由曲线C1的参数方程是，平方相减可得y2-x2=4．

以坐曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，展开为=1，化为y+x=2．

联立，化为=0．解得x=0或2．

∴，．

则两曲线交点间的距离是=4．

故答案为：4．11、略

【分析】【分析】依题意，可得①或②，分别解之，取并即可．【解析】【解答】解：令f（x）=kx2+3kx+k-3；

∵一元二次方程kx2+3kx+k-3=0有一个正根和一个负根；

∴①或②；

∵f（0）=k-3；

∴由①得：0＜k＜3；由②得：x∈∅；

∴实数k的取值范围为：0＜k＜3．

故答案为：0＜k＜3．12、略

【分析】【分析】求出抛物线y=的准线方程，利用双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且它的一条准线与抛物线y=的准线重合，求出a，c可得b，即可求出双曲线的方程【解析】【解答】解：抛物线y=的准线方程为y=-1；

∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且它的一条准线与抛物线y=的准线重合；

∴=，=1；

∴a=；c=3；

∴b=；

∴双曲线的方程为；

故答案为：．13、略

【分析】【分析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论．【解析】【解答】解：①当α=时，函数y=xα是幂函数；故①不正确；

②所有幂函数y=xα的图象都经过点（1；1），故②正确；

③当α=0，幂函数y=xα图象都是直线y=1上去掉了点（0；1），故③不正确；

④对于所有的幂函数y=xα，由于当x＞0时，xα＞0；故它们的图象都不会经过第四象限，故④不正确．

故答案为②．14、略

【分析】【解析】

考点：带余除法．

分析：把5555等价转化为（56-1）55，其展开式是5655+5654?(-1)+5553?(-1)2++56?(-1)54+(-1)55，所以5555除以8余数的余数是7，故5555+15除以8余数就是22除以8的余数；由此能求出其结果．

解：5555=（56-1）55

=5655+5654?(-1)+5553?(-1)2++56?(-1)54+(-1)555655+5654?(-1)+5553?(-1)2++56?(-1)54+(-1)55；

∵展开式的前55项都能被8整除；

∴展开式的前55项的和能被8整除．

∵展开式的最后一项(-1)55=-1；

∴5555除以8余数的余数是7；

∴5555+15除以8余数就是22除以8的余数；

∵22÷8=26．

∴5555+15除以8余数是6．

故答案为：6．【解析】【答案】6三、解答题(共3题，共6分)15、略

【分析】【分析】利用余弦定理列方程解出a．【解析】【解答】解：由余弦定理得：cosB==；

即；

解得a=16或a=5．16、略

【分析】【分析】从1964年开始，设经过x年后物价为y，物价增长率为a%，则y=100（1+a%）x，由此能求出2011年该物品的价格．【解析】【解答】解：从1964年开始；设经过x年后物价为y，物价增长率为a%；

则y=100（1+a%）x；

将x=40，y=500代入，得500=100（1+a%）40；解得a=4.1；

故物价增长模型为y=100（1+4.1%）x；

到2010年，x=46，代入上式得y=100（1+4.1%）46≈635（元）．17、略

【分析】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则．故与棱BC所成的角是．6分（2）设则．于是（舍去），则P为棱的中点，其坐标为．8分设平面的法向量为则即令故11分而平面的法向量2=（1,0,0），则故二面角的平面角的余弦值是．14分【解析】略【解析】【答案】四、证明题(共2题，共6分)18、略

【分析】【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理：连接AC；只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证；

（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC；进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥PA；

（Ⅲ）设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）可证PD⊥平面EFM，则∠EMF是二面角B-PD-C的平面角，通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值；【解析】【解答】（Ⅰ）证明：ABCD为平行四边形；

连结AC∩BD=F；F为AC中点，E为PC中点；

∴在△CPA中EF∥PA；且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD；

∴EF∥平面PAD；

（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD；平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形；

∴CD⊥AD；CD⊂平面ABCD；

所以CD⊥平面PAD；∴CD⊥PA；

又；

所以△PAD是等腰直角三角形，且；即PA⊥PD；

CD∩PD=D；且CD；PD⊂面ABCD，PA⊥面PDC；

又PA⊂面PAB；

∴面PAB⊥面PDC；

（Ⅲ）解：设PD的中点为M；连结EM，MF，则EM⊥PD；

由（Ⅱ）知EF⊥面PDC；EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B-PD-C的平面角；

Rt△FEM中，，，；

故所求二面角的正切值为；19、略

【分析】【分析】（Ⅰ）由直四棱柱的结构特征；且底面四边形ABCD为正方形，我们可得BD⊥AC，BD⊥AA′，我们结合线面垂直的判定定理可得BD⊥面ACEA′，进而BD⊥A′E，再由AA′=2AB=2，由勾股定理可得A′E⊥BE，再由线面垂直的判定定理，即可得到A′E⊥平面BDE；

（Ⅱ）以D为原点；DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线FG的方向向量及平面BDE的法向量，根据两个向量的数量积为0，得到两个向量垂直，进而得到FG∥平面BDE；

（Ⅲ）结合（Ⅱ）中结合，再由出平面GDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角G-DE-B的余弦值．【解析】【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱柱为直四棱柱；

∴BD⊥AC；BD⊥AA′，AC∩AA′=A；

∴BD⊥面ACEA′．

∵A′E⊂面ACEA′；∴BD⊥A′E．

∵，，，∴A′B2=BE2+A′E2．∴A′E⊥BE．

又∵BD∩BE=B；∴A′E⊥面BDE．（4分）

解：（Ⅱ）以D为原点；DA为x轴