高考数学总复习《计数原理》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《计数原理》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________复习要点1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．一分类加法计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．二分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．三利用两个计数原理解题的一般思路(1)弄清完成“一件事”是什么事．(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解．常/用/结/论两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可1．判断下列结论是否正确．(1)在分类加法计数原理中，每类方案中的每种方法都能直接完成这件事．(√)(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()(3)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(4)某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是16.(√)2．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有()A．7种B．8种D．9种C．6种解析：要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC电话卡、买2张IC电话卡、买3张IC电话卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事，买1张IC电话卡有2种方法，买2张IC电话卡有3种方法，买3张IC电话卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7(种)．答案：A3．如图，5个完全相同的圆盘用长度相同的线段连接成十字形．将其中两个圆盘染上红色，三个圆盘染上蓝色．并规定：若一种染色方法经过旋转后与第二种染色方法一致，则认为这两者是同一种染色方法．则不同的染色方法共有()A．2种 B．3种C．6种 D．10种解析：第一种：中心圆盘染蓝色，周围圆盘中有两个染红色且红色圆盘相邻；第二种：中心圆盘染蓝色，周围圆盘中有两个染红色且红色圆盘不相邻；第三种：中心圆盘染红色，周围圆盘中有一个染红色．答案：B4．(2024·河北沧衡八校联盟)将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张，不同的分法种数为()A．720 B．240C．120 D．60解析：第一步：第1张门票有10种不同分法．第二步：第2张门票有9种不同分法．第三步：第3张门票有8种不同分法．由分步乘法计数原理，共有10×9×8＝720(种)分法，故选A．答案：A5．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()A．12B．8C．6D．4解析：第一象限内不同的点有2×2＝4(个)，第二象限内不同的点有1×2＝2(个)，故共有4＋2＝6(个)．故选C．答案：C题型两个计数原理典例1(1)数独是一种运用纸、笔进行演算的数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有可先填某一行：3×2×1＝6，再用列举法填剩余两行．()A．12种B．24种C．72种D．216种(2)设I＝{1,2,3,4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，按其中一个子集中元素个数分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2个；,3个；,4个.))其中必有元素1,2.则符合此条件的“理想配集”有________个．解析：(1)先填第一行，有3×2×1＝6(种)不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理可知，共有6×2＝12(种)不同的填法．故选A．(2)对子集A分类讨论：当A是二元集{1,2}时，B可以为{1,2,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，{1,2}，共4种情况；当A是三元集{1,2,3}时，B可以为{1,2,4}，{1,2}，共2种情况；当A是三元集{1,2,4}时，B可以为{1,2,3}，{1,2}，共2种情况；当A是四元集{1,2,3,4}时，B为{1,2}，有1种情况．根据分类加法计数原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9(种)结果，即符合此条件的“理想配集”有9个．故答案为9.利用两个计数原理解决问题要扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．(1)分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．(2)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立、互不干扰，并确保连续性．对点练1(1)某学校有东、南、西、北四个校门，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序)，请问他们进入校园的方式共有()A．6种B．12种C．24种D．32种(2)(2024·山西太原模拟)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有________种．解析：(1)因为学生只能从东门或西门进入校园，所以3名学生进入校园的方式共23＝8(种)．因为教师只可以从南门或北门进入校园，所以2名教师进入校园的方式共有22＝4(种)．所以2名教师和3名学生进入校园的方式共有8×4＝32(种)．故选D．(2)根据题意知，a，b，c的取值范围都是区间[7,14]中的8个整数，故公差d的范围是区间[－3,3]中的整数．①当公差d＝0时，有Ceq\o\al(1,8)＝8(种)；②当公差d＝±1时，b不取7和14，有2×Ceq\o\al(1,6)＝12(种)；③当公差d＝±2时，b不取7,8,13,14，有2×Ceq\o\al(1,4)＝8(种)；④当公差d＝±3时，b只能取10或11，有2×Ceq\o\al(1,2)＝4(种)．综上，共有8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数法．答案：(1)D(2)32题型两个计数原理的应用的多维研讨维度1数字问题典例2(1)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数关键条件．数字0不在首位．的个数为()A．243B．252C．261D．279(2)(2024·河北沧州七校联考)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则即十位数字最小．称该数为“驼峰数”．比如102,546为“驼峰数”，由数字1,2,3,4构成的无重复数字的“驼峰数”有________个．解析：(1)由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B．(2)分三步：第一步选3个数，有Ceq\o\al(3,4)＝4(种)方法；第二步把选出的3个数中最小的数排在十位，有1种方法；第三步排个位和百位，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)方法．由分步乘法计数原理可知共有4×1×2＝8(个)“驼峰数”．故答案为8.与数字有关的问题的解题策略(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解．(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.eq\o(\s\up7(),\s\do5())对点练2(1)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则所产生的不同对数值的个数为()A．56B．54C．53D．52(2)(2024·河北秦皇岛模拟)用0,1,2,3，…，9这十个数字可组成________个不同的小于500且没有重复数字的自然数．解析：(1)在这8个数字中任取2个不同的数字共可产生8×7＝56(个)对数值，在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，则满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．故选D．(2)满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有9×9＝81(个)，三位自然数有4×9×8＝288(个)，由分类加法计数原理知，共有10＋81＋288＝379(个)不同的小于500且没有重复数字的自然数．答案：(1)D(2)379维度2住店问题典例3(1)5名旅客投宿到一个旅店的3个房间“旅客”选“房间”．(假设每个房间都有至少5个床位)，问共有多少种不同的住店方法？(2)5名学生争夺3项比赛的冠军，每项比赛只有1名冠军，获得“冠军”选“学生”．冠军的可能情况有多少种？解：(1)∵每名客人只能住一个房间，而每个房间可以容纳多名客人，∴完成这件事需以客为主，安排5名客人分成5步：①安排第1名旅客有3个房间(3种方法)．②安排第2名旅客也有3个房间(3种方法)……∴共有3×3×3×3×3＝243(种)不同的住店方法．(2)每个冠军只能有一个人获得，而每人可获得多个冠军，所以“冠军”相当于“客”，“学生”相当于“房间”，3人住5个房间，共有53＝125(种)可能的情况．此类问题均可以类比本例(1)，用“住店法”求解．用“住店法”解题时需要确定所给的两类元素，哪一类是“客”(只能有一个选择的元素为“客”)，哪一类是“房间”(可以容纳多个元素的为“房间”).eq\o(\s\up7(),\s\do5())对点练3有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(六名同学不一定都能参加)(1)每人必须且只参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，但每人参加的项目不限；(3)每项限报一人，且每人至多参加一项．解：(1)每人都可以从这三个竞赛项目中任意选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729(种)．(本题相当于6个人住3个房间)(2)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六名同学中选出一个参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216(种)．(本题相当于3个人住6个房间)(3)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．维度3实际应用典例4(1)甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为()3天奇数日，2天偶数日，分两步，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(第一步：奇数日：23，,第二步：偶数日\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(不排甲：22，,排甲：2×2.))))A．5B．24C．32D．64(2)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由分类加法计数原理及分步乘法计数原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式“1＋a＋b＋ab”表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来，以此类推．下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()考场应试技巧：可用特殊值排除法，蓝球取法B，C，D均错误．A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)解析：(1)5日至9日，即5,6,7,8,9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)．第二步安排偶数日出行，分两类：第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)；第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)．共计4＋4＝8(种)．根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为8×8＝64.故选D．(2)分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个、1个、…、5个，表示为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，表示为1＋b5；第三步，从5个有区别的黑球中任取0个、1个、…、5个，表示为(1＋c)5，所以所有的取法可表示为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5.故选A．利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步．对点练4(1)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为()A．24 B．14C．10 D．9(2)(2024·广东东莞高三联考)东莞近三年连续被评为“新一线城市”，“东莞制造”也在加速转型升级步伐．现有4个项目由东莞市政府安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，其中项目A和B不能安排在同一个地区，则不同的安排方式有()A．4种B．8种C．12种D．16种解析：(1)第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12(种)选择方式；第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法．由分类加法计数原理可知，共有12＋2＝14(种)选择方式．(2)先把A，B两个项目安排到两个地区，然后剩下的两个项目再选择地区，共有安排方式Aeq\o\al(2,2)×22＝8(种)．故选B．答案：(1)B(2)B维度4涂色、种植问题典例5(2024·甘肃白银检测)用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．解析：可分四步：第一步，涂区域1，有4种选择；第二步，涂区域2，有3种选择；第三步，涂区域3，有2种选择；第四步，涂剩下的两个区域，有2种选择；【扫清障碍】区域4，由于与区域1,3不同色，故只有2种选择．若区域4与区域2同色，由于4色都得涂，故区域5只能选余下一种颜色；若区域4与区域2不同色，由于区域5与区域1,2,4不同色，故区域5只能有一种颜色可选.故剩下的两个区域一共有2种选择．故不同的涂色方法有4×3×2×2＝48(种)．【另解】也可以按照两个不相邻的区域同色与不同色分类求解，区域2,4同色(也就是区域3,5不同色)，或区域3,5同色(也就是区域2,4不同色)，则不同的涂色方法共有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)＝48(种)．故答案为48.对于涂色、种植问题的解题策略(1)分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素．(2)注意对每个区域逐一进行，分步处理，一般先涂(种)与其他区域相邻最多的区域．(3)可按颜色(作物)的种数分类，也可按不同的区域分步完成.eq\o(\s\up7(),\s\do5())对点练5(2024·湖南郴州模拟)现要将5种不同的花卉种植在如图所示的5个区域上，5种花